数学期望的性质
同一首歌歌谱-GK1C
2023年2月21日发(作者：扎红头绳简谱)第9讲随机变量的数学期望与方差
教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。
2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。
教学重点：
1．随机变量的数学期望
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2．随机变量函数的数学期望
3．数学期望的性质
4．方差的定义
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5．方差的性质
教学难点：数学期望与方差的统计意义。
教学学时：2学时。
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教学过程：
第三章随机变量的数字特征
§3.1数学期望
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在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率
分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较
难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要
知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征
是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望
我们来看一个问题：
某车间对工人的生产情况进行考察。车工小每天生产的废品数X是一个随机变量，
如何定义X取值的平均值呢？
若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，
21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为
27.1
100
21
3
100
17
2
100
30
1
100
32
0
这个数能作为X取值的平均值吗？
可以想象，若另外统计100天，车工小不出废品，出一件、二件、三件废品的天
数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是
1.27。
对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是,,
21
xx，相应的概率为,,
21
PP，
则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数
很大，出现
k
x的频率会接近于
K
P，于是试验值的平均值应接近
1k
kk
px
由此引入离散随机变量数学期望的定义。
定义1设X是离散随机变量，它的概率函数是
,2,1,)()(kPxXPxp
KKk
如果
1
||
k
kk
px收敛，定义X的数学期望为
1
)(
k
kk
pxXE
也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地
试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数
的数学期望。
解设试开次数为X，则
n
kXp1)(
，
n,,2,1k
于是
n
k
n
kXE
1
1
)(
2
)1(1nn
n
2
1
n
2.连续随机变量的数学期望
为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数
为
)(xf
，把区间
),(
分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意
小区间
],(dxxx
的概率，则有
)(dxxXxp
=dxx
x
dxtf)(
dxxf)(
由于区间
],(dxxx
的长度非常小，随机变量X在
],(dxxx
的全部取值都可近似为x，
而取值的概率可近似为
dxxf)(
。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连
续随机变量数学期望的定义。
定义2设X是连续随机变量，其密度函数为
)(xf
。如果
dxxfx)(||
收敛，定义连续随机变量X的数学期望为
dxxfxXE)()(
也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。
由连续随机变量数学期望的定义不难计算：
若),(~baUX，即X服从),(ba上的均匀分布,则
2
)(
ba
XE
若X服从参数为的泊松分布，则
)(XE
若X服从则),,(2N
)(XE
3.随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X
的某个函数的数学期望，比如说
)(Xg
的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量
函数的数学期望计算问题。
一种方法是，因为
)(Xg
也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的
X的分布求出来。一旦我们知道了
)(Xg
的分布，就可以按照数学期望的定义把
)]([XgE
计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数
)(Xg
的分布，一般是比较复杂的。
那么是否可以不先求
)(Xg
的分布，而只根据X的分布求得
)]([XgE
呢？答案是肯定的，
其基本公式如下：
设X是一个随机变量，
)(XgY
，则
连续
离散
Xdxxfxg
Xpxg
XgEYEk
kk
,)()(
,)(
)]([)(1
当X是离散时,X的概率函数为,2,1,)()(kPxXPxP
KKk
；
当X是连续时，X的密度函数为)(xf。
该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X
的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。
4.数学期望的性质
（1）设C是常数，则E(C)=C。
（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。
（3）)E(X)E(X)XE(X
2121
。
推广到n个随机变量有
n
i
i
n
i
i
XEXE
11
)(][。
（4）设X、Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)。
推广到n个随机变量有
n
i
i
n
i
i
XEXE
11
)(][
5.数学期望性质的应用
例2求二项分布的数学期望。
解若
),(~pnBX
，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来
求X的数学期望。
若设
次试验失败如第
次试验成功如第
i
i
X
i0
1
i=1,2，…，n
则
n
XXXX
21
，因为PXP
i
)1(，qPXP
i
1)0(
所以ppqXE
i
10)(，则
)(XE
npXEXE
n
i
i
n
i
i
11
)(][
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
例3设随机变量X服从柯西分布,概率密度为
xxf
x
,)(
)1(
1
2
求数学期望)(XE。
解依数学期望的计算公式有
dxXE
x
x
1
1
2
)(
因为广义积分
dx
x
x
12
不收敛，所以数学期望
)(XE
不存在。
§3.2方差
前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随
机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是
不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的
方差的概念。
1.方差的定义
定义3设随机变量X的数学期望
)(XE
存在，若]))([(2XEXE存在，则称
]))([(2XEXE(3.1)
为随机变量X的方差，记作
)(XD
，即]))([()(2XEXEXD。
方差的算术平方根)(XD称为随机变量X的标准差，记作
)(X，即
)()(XDX
由于
)(X与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数
学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较
大。若方差
)(XD
=0，则随机变量X以概率1取常数值。
由定义1知，方差是随机变量X的函数2)]([)(XEXXg的数学期望，故
连续时当
离散时当
XdxxfXEx
pXEx
XD
k
k
kk
,)()]([
X,)]([
)(
2
1
2
当X离散时,X的概率函数为,2,1,)()(kPxXPxP
KKk
；
当X连续时，X的密度函数为)(xf。
计算方差的一个简单公式：
22)]([)()(XEXEXD
证
22
22
2
)]([)(
])]([)(2[
]))([()(
XEXE
xEXXEXE
XEXEXD
请用此公式计算常见分布的方差。
例4设随机变量X服从几何分布，概率函数为
1)1(k
k
ppP,k=1,2,…,n
其中0 )(XD 。 解记q=1-p 1 1)( k kkpqXE 1 )'( k kqp 1 )'( k kqp)' 1 ( q q p p 1 1 122)( k kpqkXE])1([ 1 1 1 1 k k k kkqqkkp 1 )( k kqqp+E(X) pq q qp 1 ) 1 ( pq qp 1 )1( 2 3 pp q12 2 22)]([)()(XEXEXD 2 2 p p 2 1 p 2 1 p p 2.方差的性质 （1）设C是常数,则D(C)=0。 （2）若C是常数,则)()(2XDCCXD。 （3）若X与Y独立，则 )()()(YDXDYXD 。 证由数学期望的性质及求方差的公式得 )()( )]([)()]([)( )()(2)]([ )]([)()(2)()( )]()([]2[ )]([])[()( 2222 2 222 222 22 YDXD YEYEXEXE YEXEYE XEYEXEYEXE YExEXYYXE YXEYXEYXD 可推广为：若 1 X, 2 X，…， n X相互独立，则 n i i n i i XDXD 11 )(][ n i ii n i ii XDCXCD 1 2 1 )(][ （4）D(X)=0 P(X=C)=1，这里C=E(X)。 请同学们思考当X与Y不相互独立时，?)(YXD 下面我们用例题说明方差性质的应用。 例5二项分布的方差。 解设 ),(~pnBX ,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。 若设 次试验失败如第 次试验成功如第 i i X i0 1 i=1,2，…，n 则 n i i XX 1 是n次试验中“成功”的次数，ppqXE i 10)(，故 )1()]([)()(22 2ppppXEXEXD iii ， 1,2,,in 由于 n XXX,,, 21 相互独立，于是 n i i XDXD 1 )()(=np(1-p)。 例6设随机变量X的数学期望 )(XE 与方差)()(2XXD都存在， 0)(X,则 标准化的随机变量 )( )( * X XEX X 证明0)(*XE,1)(*XD。 证由数学期望和方差的性质知 _() * () () * () 22 [()] ()[]0 () [()]() ()[]1 ()() XEX X XEX X EXEX EXE X DXEXDX DXD XX 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse. NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden. Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales. толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсяв коммерческихцелях. 以下无正文