向量余弦公式
秋浦歌-爱的重量
2023年2月21日发(作者：智慧城市运营中心)3.1.1《两角差的余弦公式》教学设计
主讲教师：卫金娟
教学目标
1、知识目标：
通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其
解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标：
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问
题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力
3、情感目标：
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认
识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
学情分析：
1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚
记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；
但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困
难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.
2能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能
力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活
跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；
从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密
的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.
3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较
好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习.
教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。
教学难点：两次探究过程的组织和引导。
教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合
知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式
教学准备：多媒体、圆规，三角板
教学流程：
教学过程
（同学们好，请坐！今天大家这么精神，我想考你们一个问题：C0S15等于多少？）
一、设置悬念、引入课题（1分钟）
问题：在初中时，我们知道cos452，cos303，而cos1522
么大家猜想一下，cos15等于多少呢？是不是等于cos45cos30呢？这就是我们
今天要学习的内容：两角差的余弦公式•
、探究新知，共同学习
根据刚才的设想，我们把问题一般化，首先来做一个猜想：（1-2分钟）
猜想：设、是任意角，则cos（）=coscos恒成立吗？反例验证.（我们换组角来验证一下，反例
验证60、30）
结论：cos（）=coscos不恒成立
那么如何用、的函数值来表示cos（）呢？我们来做下面的探究活动。
探究途径：提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为
研究途径。（怎样构造角、、-?由于我们要求两角差的余弦，涉及三角函数问题，故可考虑运用单位圆中
的向量知识和角的余弦线来证明。）
探究1:借助向量知识来推导cos（）公式（6分钟）
（分组活动：6-8人一组，小组讨论，由小组代表总结并阐述本组的讨论结果，小组间互评，补充
纠正）.
如右图，在单位圆中作出角，，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，先假设
0n,且，提出以下问题：
问题1:图中哪个角可以表示？
问题2:此时的取值范围是多少？
问题:3:可以看作是哪两个向量的夹角？
uuvuuv
冋题4:向量OA、OB的坐标分别是什么？（3-4分钟）
uuvuuv
OAcos,sinOBcos,sin
由向量数量积的概念，有C）A?C）BC!A||C）Bcoscos
uuvuuv
由向量数量积的坐标表示，有OA?OBcoscos
1
Ct终边-
K
1y
终
边v0J
小结
作业
cos(4530)，那
sinsin
①
比较①②，可得
cos()coscossinsin
（2）
由图（1）知，-=，由图（2）知-二，根据终边相同的角的性质有:
首先，我们从最简单的情况进行讨论：设、都为锐角，且
作单位圆O,（在这里我们取单位圆的四分之一）设角的终边与单位圆0交于点R,
即X0P1，作POR,贝UxOP.作PMx轴，垂足为M
问题1:那么cos（）表示哪条线段长？
问题2:如何用线段分别表示sin和cos?
问题3:coscos=0Acos，它表示哪条线段长？sinsin=APsin，它表示哪条线段长？
问题4:利用OMOBBMOBCP，你能得到什么结论？
探究过程：
①作PMx轴，垂足为M,则OMcos（）。（即0M就是角-的余弦线，我们要设法用、的正弦、余
弦线来表示OM）
②作PAOR,垂足为A，则APsin,OAcos;作ABx轴，垂足为B，则OBOAcoscoscos。
J
+2k,kZ
所以，
cos()cos(+2k)cos()cos
结论：对任意角、
有
cos()coscossinsin
探究2:借助三角函数线来推导cos（
）公式（10-11分
钟）
③作PCAB，垂足为C,则/PA（=，进而得CPzAPsin=sinsin。
2
④所以则有OMOBBMOBCPcoscossinsin
对任意角、有
cos（）coscossinsin
此公式称两角差的余弦公式，简记c（）
注意：（1）公式中的、是“任意角”；
（2）公式的结构特点：“同名积，符号反”；结构简记“CC+SS.
（3）对于、，只要知道其正弦、余弦，就可以求出cos（）.
三、小试身手、巩固新知（6-8分钟）
例1.利用差角的余弦公式求cos15。的值.（提示思路，学生独立完成，并由2名学
生分别板演两种拆法，纠错讲评，3-4分钟）
分析：15°可以拆为两个特殊角之差，如15°=45°-30°或者15°=60°-45°，学生
自主解决；
解法1：
cos15°cos45°30°
cos4ocos38sin45sin3(P
_2_3^21
TTT2
；62
4
解法2：
cos1$cos60o45°
即:cos()coscos
sinsin
（公式及其特征分析，1-2分钟）
coscrcos/?
结论归纳：两角差的余弦公式
cosizcos/J申sin<7sin/?
cos60°cos45°sin60osin45o
2
12312、6
2TT24
总结：
可，注意角拆分的多样性.
变式训练1：(分析特征，师生共同完成,
(1)cos60cos15sin60sin15
(2)cos70ocos40ocos20°cos50°
解：
(1)cos60cos15sin60sin15cos(60
15)
cos45
~2
3-4分钟)
(2)cos70°cos40°cos20°cos50°cos70°cos40°
cos(90o70°)cos(90°40°)cos70°cos40°sin
70°sin40°
cos(70o40o)
cos30o
J
2
总结：求值化简时，要注意差角公式的逆用，通常观察三角式的结构特征，利用诱导公式作适当变
形，再灵活应用公式•四、当堂训练，共同提高（提示思路，学生独立完成，8分钟）
(2)cos80sin55cos10sin35cos80cos35sin80sin35cos(8035)
cos45o
返
2.
五、课堂小结（1分钟）
通过本节课的学习你有哪些收获?
1.先后用向量与三角函数线的相关知识，探索并证明了两角差的余弦公式:
cos()coscossinsin
2.所涉及的数学思想方法：化归与转化、数形结合；
3.注意公式的特征，公式的正用、逆用.
75cos15sin75sin195的值为(B)
A.0
B.丄
C.D.--
222
3.计算：
(1)cos+cossin+sin
(2)cos80sin55cos10sin35
44
(40)cos20sin(40)sin20
2
解：(1)cos—cossin-sin
44
般的，对于非特殊角，我们将其拆分成两个特殊角之差，灵活运用公式求值即
cos[(丁)]
4
cos—
4
辺
六、课后作业(1分钟)
1.作业：P137:2、3、4
45
2.课后提升：已知sin£,(三，),cos-5,是第三象限角，求cos()的值.
5213
提示：在求解cosa、sinB的过程中，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的