平面的点法式方程
adc芯片-过去完成时结构
2023年2月21日发(作者：wind数据库)第五节平面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面——平面，为下学期学习重积分、线
面积分打下基础.
教学重点：1.平面的方程
2.两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用
教学内容：
一．平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
2．平面的点法式方程
已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n＝
{A,B,C}，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量
MM
0n，即
n
0
0
MM
代入坐标式有：
0)()()(
000
zzCyyBxxA
（1）
此即平面的点法式方程.
1.例子：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方程.
解：先找出这平面的法向量n，
kji
kji
n
914
132
643
3121
MMMM
由点法式方程得平面方程为
0)4()1(9)2(14zyx
即：
015914zyx
二．平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示.
平面的一般方程为：
0DCzByAx
几个平面图形特点：
二．D＝0：通过原点的平面.
三．A＝0：法线向量垂直与x轴，表示一个平行于x轴的平面.
同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面.
四．A＝B＝0：方程为Cz＋D＝0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平
面.
同理：Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面.
五．反之：任何的三元一次方程，例如：5x＋6y－7z＋11＝0都表示一个平面，该平面
的法向量为n＝{5,6,-7}
三．两平面的夹角
定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.
定曲线C：准线动直线L：母线
四．几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为n1＝{A1,B1,C1}和n2＝{A2,B2,C2}
两平面垂直：
0
212121
CCBBAA
（法向量垂直）
两平面平行：2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
（法向量平行）
平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0（x0，y0，z0），平面的方程为
0DCzByAx
，则点到平面的距离为
222
000
CBA
DCzByAx
d
小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法，了解
平面与其法向量之间的关系等等.
§7.7平面及其方程
一平面的点法式方程
若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法线向量。
显然，平面上的任一向量均与平面的法线向量垂直。由于过空间一点可以作
而且只能作一个平面垂直于一已知直线。
因此，当平面
上一点
Mxyz
0000
(,,)
和它的一个法线向量
n
给定之后，
平面的位置就确定下来了。
下面，我们来建立这种平面方程。
设
Mxyz(,,)
是
上的任一点，那未，
MMn
0
，即
MMn
0
0
而
MMxxyyzz
0000
{,,}
若设
nABC{,,}
，故
AxxByyCzz()()()
000
0
（1）
这表明：平面
上任一点
Mxyz(,,)
的坐标满足方程(1)。
反过来，若点
Mxyz(,,)
不在平面
上，向量
MM
0就不垂直于
n
，从而
MMn
0
0
，即
AxxByyCzz()()()
000
0
亦即：不在平面
上的点
Mxyz(,,)
的坐标不适合方程(1)。
故，方程(1)就是平面
的方程，而平面
便是方程(1)的图形。
因为方程(1)是由平面
上一点
Mxyz
0000
(,,)
及它的一个法线向量
nABC{,,}
唯一确定的，因此，方程(1)也称之为平面的点法式方程。
二平面的一般方程
注意到，方程(1)是
xyz,,
的一次方程，我们可断言：任一平面都可以用三
元一次方程来表示。
这是因为任一平面都可以由它的法线向量与它上面的一点唯一决定，而平面
的点法式方程本身就是三元一次方程。
反过来，若有三元一次方程
AxByCzD0
（2）
任取满足该方程的一组数
xyz
000
,,
，即
AxByCzD
000
0
两式相减得
AxxByyCzz()()()
000
0
（3）
显然，方程(3)是过点
Mxyz
0000
(,,)
且以
nABC{,,}
为法线向量的平面方
程，而方程(2)与方程(3)是同解的，由此可知，三元一次方程(2)所代表的图形
是平面。
方程(2)称为平面的一般方程，该平面的法向量是由
xyz,,
的系数所作成的
向量
nABC{,,}
。
对于一些特殊的三元一次方程，它们所代表的平面具有一些特殊性。
1、当
D0
时，(2)式成为
AxByCz0
，它表示一个通过原点的平面，
因为
O(,,)000
的坐标显然适合该方程。
2、当
A0
时，(2)式成为
ByCzD0
，法线向量为
nBC{,,}0
，因
prjnn
x
0cos
，(
n0
)，故
cos0
，
90
nx轴
，从而平面
ByCzD0
平行于
x
轴。
类似地，方程
AxCzD0
表示平行于
y
轴的平面；方程
AxByD0
表示平行于
z
轴的平面。
3、当
AB0
时，(2)式成为
CzD0
或
z
D
C
，法线向量
nC{,,}00
同时垂直于
x
轴，
y
轴，故方程表示过点
(,,}00
D
C，且平行于
xoy
面的平面。
类似地，方程
AxD0
表示过点
(,,)
D
A
00
且平行于
yoz
面的平面；方
程
ByD0
表示过点
(,,)00
D
B且平行于
xoz
面的平面。
【例一】画出下列平面的图形
(1)、
x10
(2)、
xy10
(3)、
xyz10
【例二】求通过
x
轴和点
(,,)431
的平面方程。
解：平面过
x
轴，则该平面的法线向量垂直于
x
轴，且平面过原点，
故设该平面的方程为
Bycz0
由平面过点
(,,)431
，有
30BC
CB3
将此式代入所设方程有
ByBz30
约去非零因子
B0
，得平面方程
yz30
注明：为什么
B0
呢?
若
B0
，那么该平面的法线向量
nBCBB{,,}{,,}0030
，这与平面
法线向量必须为非零向量的规定相矛盾。
【例三】设一平面与
x
轴，
y
轴，
z
轴分别交于三点
Pa(,,)00
，
Qb(,,)00
，
Rc(,,)00
求此平面的方程(其中：
abc0
)。
解：设所求的平面方程为
AxByCzD0
，
将三点的坐标分别代入得
aAD
bBD
cCD
0
0
0
及
A
D
a
B
D
b
C
D
c
,,
代入所设方程有
D
a
x
D
b
y
D
c
zD0
两边同除以
D()0
有
x
a
y
b
z
c
1
(4)
方程(4)称之为平面的截距式方程，而
abc,,
依次称作平面在
xyz,,
轴上的
截距。
三两平面间的夹角
两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角。
下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理
性。
如图所示，设想平面
1与平面
2重合在一起的，于是它们的法线向量应平
行，即
nn
12
//
。将平面
2的一侧向上提起，与
1之间产生倾角
。与此同
时，
2的法线向量
n
2发生转动，与平面
1的法线向量
n
1产生的角度
。
下面，我们导出计算两平面夹角
的公式
设有平面
1
AxByCzD
1111
0
和平面
2
AxByCzD
2222
0
则
1与
2的法线向量分别为
nABCnABC
11112222
{,,},{,,}
，
两向量间夹角的余弦为
cos
AABBCC
ABCABC
121212
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
(5)
由(5)式，立刻可给出如下结论：
1、
12121212
0AABBCC
2、
12
1
2
1
2
1
2
//
A
A
B
B
C
C
【例四】一平面过两点
M
1
111(,,)
和
M
2
011(,,)
且垂直于平面
xyz0
，求它的方程。
解：设所求平面的法线向量为
nABC{,,}
显然，
MM
12
011111102{,,}{,,}
在所求平面上，
故
MMn
12
，
MMn
12
0
，即
AC20
又
n
垂直于平面
xyz0
的法线向量
n{,,}111
，故有
ABC0
解方程组
AC
ABC
20
0
得：
AC
BC
2
据点法式方程有
21110CxCyCz()()()
约去非零因子
C()0
得
21110()()()xyz
故所求方程为
20xyz
【例五】设
Pxyz
0000
(,,)
是平面
：
AxByCzD0
外一点，求
点
P
0到平面
的距离。
解：在平面
任取一点
Pxyz
1111
(,,)
，作平面
的法线向量
},,{CBAn
，
如图，作向量
PP
10
，记
PP
10
与
n
之间的夹角为
，
P
0到平面
的距离
PNPP
010
cos
考虑到夹角
可能是钝角，取距离为
dPN
0
PNPP
010
cos
PP
10
PPn
PPn
10
10
PPn
10
n
A
ABC
B
ABC
C
ABC
{,,}
222222222
PPxxyyzz
10010101
{,,}
则
PPn
AxByCzAxByCz
ABC
10
000111
222
而
AxByCzD
111
PPn
AxByCzD
ABC
10
000
222
故
d
AxByCzD
ABC
000
222