正比例函数定义

正比例函数定义

记叙文四要素-食品安全班会教案

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初中函数知识点总复习

姓名

2

正比例函数的概念

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做

x的正比例函数。

正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即

一次函数y=kx+b中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示

为：y=kx（k为比例系数）

当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大．

当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．

正比例函数的性质

1.定义域：R（实数集）

2.值域：R（实数集）

3.奇偶性：奇函数

4.单调性：当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于

象限，y随x的增大而减小（单调递减）。

5.周期性：不是周期函数。

6.对称轴：直线，无对称轴。

正比例函数解析式的求法

设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析

式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y

值即可。

正比例函数的图像

正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截

距都为0。

正比例函数图像的作法

1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值

2.根据第一步求的x、y的值描出点

3.做过第二步描出的点和原点的直线

正比例函数的应用

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然

还有，y=kx是y=k/x的图像的对称轴。

①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值

（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如

果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同

时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判

断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，

但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能

3

成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。

反比例函数的定义

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反

比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。

[编辑本段]反比例函数表达式

y＝k／x其中X是自变量，Y是X的函数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^-1

y=kx(k为常数(k≠0），x不等于0）

反比例函数的自变量的取值范围

①k≠0;②一般情况下,自变量x的取值范围是x≠0的一切实数;③函数y的取值范围也是一切

非零实数.

[编辑本段]反比例函数图象

反比例函数的图象属于双曲线,

曲线越来越接近X和Y轴但不会（K≠0）。

反比例函数性质

1.当k>0时，图象分别位于象限；当k<0时，图象分别位于象限。

2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大

而。

k>0时，函数在x0上同为函数；k<0时，函数在x<0上为函数、

在x>0上同为函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能

与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩

形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5.反比例函数的图象既是对称图形，又是对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，

二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

反比例函数的应用

【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P

到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分

别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：

（1）直线与双曲线的解析式；

4

（2）点A、A1的坐标.

一次函数

【解释】函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的

值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为y＝Kx＋b（其中b

为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表

示为y=kx

[编辑本段]基本定义

变量：变化的量

常量：不变的量

自变量x和X的一次函数y有如下关系：

y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的函数。即：y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过。

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k≠0)（k不等于0，且k，b为常数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).

3为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)

形、取、象、交、减。

4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为函数，是特殊的一次函数.

5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像；当k不同，且b相等，图像；当

k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直

线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交

点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k＞0时，直线必通过象限，y随x的增大而；

当k＜0时，直线必通过象限，y随x的增大而。

y=kx+b时：

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过象限。

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过象限。

5

当k0,这时此函数的图象经过象限。

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过象限。

当b＞0时，直线必通过象限；

当b＜0时，直线必通过象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过象限，不会通过象限。当k＜0时，直线只通过

象限，不会通过象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

解析式类型

①[一般式]

②[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，

则该直线的斜率k=tg(a)

常用公式

1.求函数图像的k值：

2.求与x轴平行线段的中点：

3.求与y轴平行线段的中点：

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1

y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0，则分子为0)

xy

++在第一象限

+-在第四象限

-+在第二象限

--在第三象限

8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

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10.y=k（x-n）+b就是向平移n个单位

y=k（x+n）+b就是向平移n个单位

口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变k）

y=kx+b+n就是向平移n个单位

y=kx+b-n就是向平移n个单位

口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）

生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b

（k为任意正数）

数学问题

一、确定字母系数的取值范围

例1已知正比例函数，则当k<0时，y随x的增大而减小。

二、比较x值或y值的大小

例2.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2

的大小关系是（）

A.x1>x2B.x1

三、判断函数图象的位置

例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

典型例题

例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂

上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹

簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

例2某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元

外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？

例3如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析

式。

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二次函数

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式：1：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函

数。顶点坐标

2：顶点式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k(两个式子实质一样,

但初中课本上都是第一个式子)

3：交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方

向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式）

求根的方法还有十字相乘法和配方法

二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有1本身图像，旁边注名函数。

2画出对称轴，并注明X=什么

3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴侧；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就

是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是

-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴。

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当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在

{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

7.特殊值的形式

①当x=1时y=a+b+c

②当x=-1时y=a-b+c

③当x=2时y=4a+2b+c

④当x=-2时y=4a-2b+c

8.定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，

正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位

置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式顶点坐标对称轴

y=ax^2;(0，K)x=0

y=ax^2+K(h，0)x=0

y=a(x-h)^2;(0，0)x=h

y=a(x-h)^2+k(h，k)x=h

y=ax^2+bx+c(-b/2a，4ac-b^2/4a)x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向平行移动个单位得到，

当h<0时，则向平行移动个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向平行移动个单位，再向移动个单位，就

可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向平行移动个单位，再向移动个单位可得

到y=a(x-h)^2-k的图象；

当h0时，将抛物线向平行移动个单位，再向移动个单位可得到

y=a(x+h)²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向平行移动个单位，再向移动个单位可得到

y=a(x-h)²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式，可确定其

顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，

顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的

增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为；

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(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|=√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对

对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，

图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：

y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．