极坐标参数方程

极坐标参数方程

形近字大全-欠条样本

极坐标与参数方程知识点总结

2

第一部分：坐标系与参数方程

【考纲知识梳理】

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一

点,在变换











•



•



0,

0,

:







yy

xx的作用下,点yxP,对

应到点yxP



,,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,

简称伸缩变换.

(1)极坐标系

如图(1)所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O

引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度

单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样

就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平

面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背

景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对

应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐

标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M

的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM

叫做点M的极角,记为.有序数对,叫做点M的极坐标,

3

记作M,.一般地,不作特殊说明时,我们认为,0可取

任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为

R,0。20,0,那么除极点外,平面内的点可用唯一

的极坐标,表示;同时,极坐标,表示的点也是唯一确

定的.

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半

轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图

(2)所示:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标

是yx,,极坐标是0,,于是极坐标与直角坐标的互化

公式如表:

点M

直角坐标

yx,

极坐标,

互化公式















sin

cos

y

x

0tan

222





x

x

y

yx





在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限

最小正角.

曲线图形极坐标方程

圆心在极点,半

径为r的圆

20r

4

圆心为0,r,半径

为r的圆















22

2







r

圆心为











2

,



r,半径

为r的圆

0sin2r

过极点,倾斜角

为的直线

(1)

RR或

(2)

00或

过点0,a,与极轴

垂直的直线















22

cos







a

过点











2

,



a,与极

轴平行的直线

0sina

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即

,,,,2,,,点











4

,

4



M可以表示为











































4

5

,

4

2

4

,

4

2

4

,

4











MMM或或等多种形式,其中,只有











4

,

4



M

的极坐标满足方程.

二、参数方程

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐

5

标yx,都是某个变数t的函数















tgy

tfx①,并且对于t的每一个

允许值,由方程组①所确定的点yxM,都在这条曲线上,那

么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数yx,的变

数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给

出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,

一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数yx,中的一个与参数t的关系,例如tfx,

把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系tgy,

那么















tgy

tfx就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程

的互化中,必须使yx,的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯

一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，

如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的

形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置

0

M出发，

按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设Myx,，则

为参数















sin

cos

ry

rx。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数

方程，其中的几何意义是

0

OM转过的角度。圆心为ba,，

6

半径为r的圆的普通方程是2

22rbyax，

它的参数方程为：为参数















sin

cos

rby

rax。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x其参数方程为为参数















sin

cos

by

ax，其中参数称

为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

01

2

2

2

2

ba

b

x

a

y其参数方程为为参数















sin

cos

ay

bx其中参数仍为

离心角，通常规定参数的范围为2,0。

注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任

一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，

除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即

在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都

不相等。但当

2

0



时，相应地也有

2

0



，在其他象限

内类似。

5．双曲线的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程

为0,01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x其参数方程为为参数















tan

sec

by

ax，其中



2

3

,

2

2,0







且。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程是0,01

2

2

2

2

ba

b

x

a

y其参

7

数方程为为参数















csc

cot

ay

bx，其中且2.0

以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线022ppxy的参数

方程为为参数t

pty

ptx











2

22

7．直线的参数方程

经过点

000

,yxM，倾斜角为













2



的直线l的普通方程是



00

tanxxyy而过

000

,yxM，倾斜角为的直线l的参数方程

为为参数t

tyy

txx















sin

cos

0

0。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点

000

,yxM，

倾斜角为的直线l的参数方程为为参数t

tyy

txx















sin

cos

0

0，其中t

表示直线l上以定点

0

M为起点，任一点yxM,为终点的有

向线段MM

0

的数量，当点M在

0

M上方时，t＞0；当点M在0

M

下方时，t＜0；当点M与

0

M重合时，t=0。我们也可以把

参数t理解为以

0

M为原点，直线l向上的方向为正方向的

数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的

单位长度相同。

【要点名师透析】

一、坐标系

（一）平面直角坐标系中的伸缩变换

8

〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换











yy

xx

/

/

2

3

:

（1）求点











2,

3

1

A经过变换所得的点A

的坐标；

（2）点B经过变换得到点

1

(3,)

2

B



，求点B的坐标；

（3）求直线:6lyx经过变换后所得到直线的l

方程；

（4）求双曲线

2

2:1

64

y

Cx经过变换后所得到曲线C

的焦点

坐标。

（二）极坐标与直角坐标的互化

〖例2〗在极坐标系中，如果

5

(2,),(2,)

44

AB



为等边三角形

ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(0,02)。

（三）求曲线的极坐标方程

〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，

∠AOB=

3

，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐

标方程。

9

（四）极坐标的应用

〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰

直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次

按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹

形状。

二、参数方程

（一）把参数方程化为普通方程

〖例〗已知曲线C：（t为参数），C：

（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表

示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为

2



t，Q为C上的动

点，求中点到直线











ty

tx

C

2

23

:

3

（t为参数）距离的最小

值。

（二）椭圆参数方程的应用

在平面直角坐标系中，点是椭圆

上的一个动点，求的最大值

解答：

10

（三）直线参数方程的应用

〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于

点，求的值及相应的的值。

解析：

（四）圆的参数方程的应用

〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数)，且

曲线C与直线=0相交于两点A、B

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长

【感悟高考真题】

1．在极坐标系中，点（2，3



）到圆2cos的圆心的距

离为()

（A）2(B)

2

4

9



(C)

2

1

9





11

（D)3

2．在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（）

（A）(1,)

2



（B）(1,)

2



（C）(1,0)（D）(1,)

3．在直角坐标系xOy中，曲线1

C的参数方程为















sin1

cos

y

x

,).(为参数在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同

的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）

中，曲线2

C的方程为21

,01)sin(cosCC与则的交点个数为

______

4．直角坐标系xOy中，曲线1

C的参数方程为















sin3

cos2

y

x

).(为参数在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同

的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）

中，曲线2

C的方程为21

,01)sin(cosCC与则的交点个数为___

5.（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方

程为=2sin4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建

立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程

为.

6．（2011·陕西高考理科·T15C）直角坐标系xoy中，以

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，

B分别在曲线1

C：

3cos

4sin

x

y













（为参数）和曲线2

C：1上，

则||AB的最小值为．

7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以

12

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，

B分别在曲线1

C：

3cos

sin

x

y













（为参数）和曲线2

C：1上，

则||AB的最小值为．

8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C的参数方程

为











ty

tx

8

82（t为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C的焦

点，且与圆2

224(0)xyrr相切，则r=________.

9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分

别为

5cos

(0)

sin

x

y





















≤＜和

2

5

()

4

xt

tR

yt















，它们的交点坐标

为.

10．（2）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，

曲线C的参数方程为

x3cos

ysin





















（为参数）.（I）已知在极坐标系

（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O

为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为











2

,4

，

判断点P与直线l位置关系；

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的

距离的最小值.

11.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在

平面直角坐标系xOy中，求过椭圆

5cos

3sin

x

y













（为参数）的

右焦点，且与直线

42

3

xt

yt









（t为参数）平行的直线的普通

13

方程。

12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系

xOy中，曲线C1的参数方程为

2cos

22sin

x

y













（为参数）M

是C1上的动点，P点满足2OPOM,P点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

射线3



与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极

点的交点为B，求AB.

13.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐标系

xOy中，曲线C1的参数方程为

2cos

22sin

x

y













（为参数）M是C1上的动点，P点满足2OPOM,P

点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

射线3



与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极

点的交点为B，求AB.

14.（2011·辽宁高考理科·Ｔ23）（本小题满分10分）

（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy

中，曲线C1的参数方程为









)(

,sin

,cos

为参数





y

x

，曲线C2的参

数方程为











),0(

,sin

,cos

为参数





ba

by

ax

.在以O为极点，x轴的正半

14

轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与C1，C2各有

一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=2

π

时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当=4

π

时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，

当a=-4

π

时，l与C1，

C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

15.极坐标cosp和参数方程

1

2

xt

yt









（t为参数）所表示的

图形分别是（D）

A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线

16．极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是

（A）两个圆（B）两条直线（C）一个

圆和一条射线（D）一条直线和一条射线

17．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ=2sin与

cos1p的交点的极坐标为______．

18．已知P为半圆C:















sin

cos

y

x（为参数，0）上的点，

点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP

上，线段OM与C的弧的长度均为

3

。

（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

求点M的极坐标；

15

（II）求直线AM的参数方程。

【考点模拟演练】

一、选择题

1．已知极坐标平面内的点P

















2，－

5π

3

，则P关于极点的

对称点的极坐标与直角坐标分别为

()

A.

















2，

π

3

，(1，3)B.

















2，－

π

3

，(1，－3)

C.

















2，

2π

3

，(－1，3)D.

















2，－

2π

3

，(－1，－3)

2．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，

－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极

坐标系，则点P的极坐标可以是()

A.

















1，－

π

3

B.

















2，

4π

3

C.

















2，－

π

3

D.

















2，－

4π

3

3．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以

O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，

θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．

4．过点

















2，

π

4

平行于极轴的直线的极坐标方程是()

A．ρcosθ＝4B．ρsinθ＝4C．ρsinθ＝2

D．ρcosθ＝2答案：C

16

5．曲线的参数方程是







x＝1－

1

t

y＝1－t2

(t是参数，t≠0)，它的

普通方程是()

A．(x－1)2(y－1)＝1B．y＝

xx－2

1－x2

C．y＝

x

1－x2

＋1D．y＝

1

1－x2

－1

6．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝

π

4

对称的直线方程为()

A．ρcosθ＝－2B．ρsinθ＝2C．ρsinθ＝－2

D．ρ＝2sinθ

7．已知直线l的参数方程为











x＝－1－

2

2

t

y＝2＋

2

2

t

(t为参数)，

则直线l的斜率为()

A．1B．－1C.

2

2

D．－

2

2

8．直线3x－4y－9＝0与圆：





x＝2cosθ

y＝2sinθ

，(θ为参数)

的位置关系是()

A．相切B．相离C．直线

17

过圆心D．相交但不过圆心

9．设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，

则它的极坐标方程为________．

10．在极坐标系中，直线ρsin

















θ＋

π

4

＝2被圆ρ＝4截得

的弦长为________．

二、填空题

11．在极坐标系中，直线θ＝

π

6

截圆ρ＝2cos

















θ－

π

6

(ρ∈R)

所得的弦长是________．

12．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝

0，则坐标变换公式是________．

13．（皖南八校2011届高三第二次联考）已知平面直角

坐标系xOy内，直线l的参数方程式为2

xt

yt









（t为参数），

以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C

的极坐标方程为22sin()

4



，则直线l的圆C的位置关

系是。















sin

cos

0

0

tyy

txx,分别以t和为参数得到两条不同的曲线,这两条

曲线公共点个数为.

15.已知2x2+3y2-6x=0（x,y∈R），则x2+y2的最大值

为.

18

∶cos=4相交于点M，在OM上取一点P，使

OM·OP=12，则点P的轨迹方程为.

三、解答题

17．在极坐标系中，已知圆C的圆心C

















3，

π

6

，半径r

＝3，

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶

|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

18．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝

π

3

(ρ∈R)，

以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标

系，曲线C的参数方程为





x＝2cosα，

y＝1＋cos2α

(α为参数)，求

直线l与曲线C的交点P的直角坐标．