新知杯
简易方程思维导图-西峪水库
2023年2月20日发(作者：印度插头)2011上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．方程组
27121
1
xxy
xy
的解集是。
2．在平面直角坐标系中，长度为1的线段
AB
在x轴上移动（点
A
在点
B
的左边），点(0,1)P与点
A
连
成直线，点(1,2)Q与点
B
连成直线，则直线
PA
与直线QB的交点
R
轨迹的普通方程是。
3．已知
M
是椭圆
22
1
169
xy
在第一象限的弧上一动点，MNy轴，垂足为N，当OMN面积最大
时，它的内切圆半径r。
4．已知
ABC
的外接圆半径为1，角
ABC、、
的平分线分别交
ABC
的外接圆于点
111
ABC、、，则
111
coscoscos
222
sinsinsin
ABC
AABBCC
ABC
的值为。
5．设3()sin[(1)]12fxaxbx，其中,ab为实常数，若(lg5)5f，则(lg20)f的值为。
6．在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，点(3,),(3,)AaBb使45AOB，其中,ab为整数，且
ab
，
则满足条件的数对(,)ab共有组。
7．已知圆
C
的方程为224210xyxy（圆心为点
O
），直线(tan10)2yx与圆
C
交于
AB、
两点，则直线
ACBC，
的倾斜角之和为。
8．甲、乙两运动员乒乓比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜，若甲、
乙两人每局取胜的概率都是
1
2
，则甲最后获胜的概率是。（用最简分数作答）
二、解答题（共60分）
9．（本题满分14分）对于两个实数,ab，min{,}ab表示,ab中的较小数，求所有的非零实数x，使
41
min{,4}8min{,}xx
xx
。
10．（题满分14分）如图，在
ABC
中，
O
为
BC
的中点，点
MN，
分别在
边
ABAC，
上，且
6443AMMBANNC，，，
，90MON；
求
A
的大小。
11．（本题满分16分）对整数
k
，定义集合{|5050(1),}
k
SnknknZ，问
012599
SSSS，，，，
这600个集合中，有多少个集合不含有完全平方数？
12．（本题满分16分）求所有大于1的正整数n，使得对任意正实数
12
,,,
n
xxx，都有不等式
2
1212231
()()
nn
xxxnxxxxxx。