一线三等角模型
简历自我评价简洁大气-关于汉字的名言
2023年2月20日发(作者：圣贤教育)一线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型,上
构成的相似图形，这个角可以是直角,不同的
称呼，“K形图”，
二•一线三等角的分类全等篇
指的是有三个等角的顶点在同一条直线也可
以是锐角或钝角。不同地区对此有“弦图”
三、“一线三等角”
1.一般情况下，如图
2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等易得
△AE3ABDE.
.如图3-1，若CE=ED则厶AE3ABDE.
锐角
同侧
异侧
相似篇
锐角
同侧
异侧
“三垂直”,
等，以下称为“一线三等角”。
的性质
3-1，由/
1=/2=73,
A
V
A
BOC
ff
构造模型解题
在图3-4
造“一线三等角
如图3-4
如图3-3，当/仁/2且BOC90
4•“中点型一线三等角“的变式（了
中点时，△BD0ACFSADFE.
阳3-1
3.中点型“一线三等角”
如图3-2，当/仁/2=73,且D是BC
^3-3图3^
“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，
1
90BAC这是内心的性质，反之未必是内心.
2
（右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是厶PEF的旁心
-BAC时，点0是厶ABC的内心.可以考虑构
2
5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明
图3-5
其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型
的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等
c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题•
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三
角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题•
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x
轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段•
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似
则tmZAEC=tanZBFD=taDGiWlZAEC=ZBFD=a=ZA?B^^iPAE«iBPF・
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D
两点作直线I的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握•
解题示范
在DC的延长銭上截取CE=—,CD的延怅:規上藪取DF=—>
贝I」mZAEP=t3nZPFB=t3M
J
»JZAEP=ZPFH=a=ZAPR,所1^APAlwABPF.
在CP上蔵取CE=—,1£DP蒙取DF=—,
例1如图所示，一次函数yx4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上
一个动点（不包括A、B两端点），C是线段0B上一点，/OPC=45°若△OPC是等腰三角形，求点P
的坐标•
例2如图所示，四边形ABCD中，/C=90°/ABD=/DBC=22.5°AE丄BC于E,/
ADE=67.5°AB=6,贝UCE=.
例3如图，四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5.求BC的长.
x-3
例4如图，△ABC中，/BAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.
一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙•找出相似形,
比例不能少•巧设未知数，妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5如图，在△ABC中，/BAC=135,AC=.2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=2,
求ZABC的面积
当然有45°或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种
大练身手:
】.如團，A4占＜7中，tan厶6=—=90°,AD=2,5C=4.求的比
Z如图*△彳RQ中，zJ¥= 王如图，在四边形脑CD中*ABADZACB=ZAC1>45* fAC4,求2£〔4的周比 C En 4•在直角三角形ABC,ZC=90°.Z沪30°J04,D为XC的中点■若“DEF为止三角形，求CF的长. 5•如图.在Rt^ABC中，ZACB-30Q■场平分ZCAB.若ZCDB-60。,CA二価求应）的长. 巧、 / 6•如图・在等腰宜角三角形中.ZBAO909•D为仙上一鼠连接CdP为CD上一民ZBFD二45°，若CP=6, MCD的面积为18,则线段D〃的长为• &如樹，△仙C中.ZBAO909■肋=2血■点D悝BC边上.BC^JiCD,DE丄PCLLDE=DCDE 交AC边与点=V5,则/IC的长为_______________・ 9•如图，任平向岂角坐标条中.点4（4.0〉，点（0.2歼点C在第一欽限内，若AMC为等边三角形，则 点C的坐标为_____________ 10•矩形ABCD坐标系的位置如图所示，点*（2届,0）点C（05）,反比例浙敬的图像交边血、 BCTD.E两点•且ZDOE45*，则匕_____________. 11•如用.点线—2—4交坐标轴与不〃两点•交双曲线y--(x>0)于点G点P在点C AT 的右侧的双曲线匕ZPBC=45°•则点P的坐标为_____________. 12.在MBC中，AB=2>=45%以点4为直角顶点作寻腰直角△/<%•点D^.BC上■点EgAC上, 若CE^JS■则CD的长为________________. 13•如图，直角ZXMC中.ZC==8.£>是斜边的中点.E为BC上动点,DF丄4E于点F,连接DE. 若ADEF是等腰頁角三角形.求DE的长度. 14•在^ABC中.Z£=45a,ZC=30°,点D足BC上一点.连接Q・过点4作4G丄应>・在4G上取 点氏连接£>F・延长IM至民使AE=AF.连接,=DF. (1)若AB=142AB=2.求BC的长； (2)tHlRJb当点G在AC时，求证IBD^-CGx 2 (3)如用2,当点G在ACM直平分线上时，直接写出笔的值. x 例7:在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),D是线段AB上一 点，CD交y轴于E，且S^BCE=2S^AOB. (1)求直线AB的解析式； (2)求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若F为射线CD上一点，且/DBF=45°求点F的坐标. 例8如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧)，BC=2AC,点 P是抛物线上一点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值； (3)若点P在直线AB的上方，且/BPC=45°求所有满足条件的点P的坐标. 练1•如图，抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点0,点B的横坐标为—3. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为抛物线上的一点，且△B0D的面积等于△B0C的面积，请直接写出点D的坐标； (3)若点E的坐标为 (0,2),点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得/OPE x =45°若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 课后作业： 如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y=-x+5上一点，若/APB=45°，求点P的坐标 在四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90°，/ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长. 如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证: BE+GC=3BC 如图，△ABC:△DBA,且AC=2BC,求证：CD=2AB. 如图，在四边形ABCD中，/ABC=90°AB=3,BC=4,CD=10,DA=5^5，求BD的长 如图，点A是反比例（X>0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0,2）,点厶ABC 是等边三角形时，求点A的坐标. 掀物线y=*牡门与坐标轴交于水R、C三点.点尸隹撫物钱上.PE丄RU于点&若PE=2CE. 求尸点坐拆- 如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 17 直线I：y=-2X+m经过点A,与抛物线交于另一点D(5,--)，点P是直线I上方的抛物线上的动点，连接 PCPD. (1)求抛物线的解析式； (2)当厶PCD为直角三角形时，求点P的坐标； (3)设厶PCD的面积为S,请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由. 4222 1•如图1,已知直线y=kx与抛物缎27X~3交于点A（3，6）. （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、0不 重合）,交直线0A于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明 理由； （3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段0A上（与点0、A不重合），点D （m,0）是x轴正半轴上的动点，且满足/BAE=ZBED=ZA0D.继续探究：m在什么范围 时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 如图，直线AC:y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过A、C两 点，与x轴交于另一点B(B在A的右侧)，且△0B8AOCA. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上一点，/DCA=45°求点D的坐标；