标准差计算公式
九江学院教务系统-陶瓷产品设计
2023年2月20日发(作者：第一单元测试卷)标准差公式
标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareer
ror），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均
后的方根，用S（σ）表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能
反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式：
1n
xx
S
n
1i
2
i
或1n
n
x
x
S
2
n
1i
i
n
1i
2
i
即：
1n
xx
1n
n
x
x
S
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
如是总体，标准差公式根号内除以n
如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)
因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)
公式意义
所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或
个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。
标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准
差越低,代表实验的数据越精确
简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一
个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较
小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是
7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重
复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决
定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如
果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认
为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在
一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数
值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相
反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分
数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、
67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标
准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生
之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
求证下列公式：
1n
xx
1n
n
x
x
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
由题意可知，求证下列式子即可：
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
xx
n
x
x
假设x
i
=x
_+ai，既有xi-x_=ai，
即求证下列式子即可：
n
1i
2
n
1i
2
i
i
axx
因为：
n
x......xxx
n
x
xn321
n
1i
i
所以：
0xn
a......aaa(xn
)ax(......)ax()ax()ax(
x......xxxxn
n321
n321
n321
）
所以：
n
1i
n321i
0a......aaaa
所以：
n
1i
2
2
n
1i
22
2
n
1i
2
n
1i
i
2
2
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
2
n
1i
2
n
1i
n
1i
i
2
ii
2
n
1i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
i
i
i
a
xna0xn
xn
n
1
aax2xn
0x
n
1
aax2x
ax
n
1
aax2x
n
ax
ax
n
x
x
）（
）（）（）（
）（
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，
则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或
DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而
σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准
差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程
度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望
的离散程度。若X的取值比较集中，则方
差D(X)较小；若X的取值比较分散，则方
差D(X)较大。因此，D（X）是刻画X取
值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程
度的一个尺度。
方差的计算
由定义知，方差是随机变量X的函数
g(X)=[X-E(X)]^2的数学期望。即：
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2证明：
D(X)=E[X-E(X)]^2
=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}
=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2
=E(X^2)-[E(X)]^2方差其实就是标准差的
平方。
方差的几个重要性质
（1）设c是常数，则D(c)=0。（2）
设X是随机变量，c是常数，则有
D(cX)=(c^2)D(X)。（3）设X与Y是两
个随机变量，则D(X+Y)=
D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}特别
的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式
中右边第三项为0（常见协方差），则
D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多
个相互独立的随机变量之和的情况.（4）
D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数
值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。X服从(0—1)分布，则
E(X)=pD(X)=p(1-p)X服从泊松分布，即
X~π(λ),则E(X)=λ，D(X)=λX服从均匀
分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2,
D(X)=(b-a)^2/12X服从指数分布，即
X~e(λ),E(X)=λ^(-1)，D(X)=λ^(-2)X服从
二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np,
D(X)=np(1-p)X服从正态分布，即
X~N(μ,σ^2),则E(x)=μ,D(X)=σ^2X服从
标准正态分布，即X~N(0,1),则E(x)=0,D(X)=1