等差数列的性质

等差数列的性质

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2023年2月20日发(作者：符合气)

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：daa

nn



1

（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*

11

(1)()

n

aanddnadnN，首项:

1

a，公差:d，末项:

n

a

推广：dmnaa

mn

)(．从而

mn

aa

dmn





；

3．等差中项

（1）如果

a

，A，b成等差数列，那么A叫做

a

与b的等差中项．即：

2

ba

A



或baA2

（2）等差中项：数列

n

a是等差数列)2(2

11-





naaa

nnn21

2





nnn

aaa

4．等差数列的前n项和公式：

1

()

2

n

n

naa

S





1

(1)

2

nn

nad



2

1

1

()

22

d

nadn2AnBn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n时，

1n

a



是项数为2n+1的等差数列的中间项



121

211

21

21

2

n

nn

naa

Sna





（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若

daa

nn



1

或

daa

nn



1

(常数Nn)

n

a是等差数列．

（2）等差中项：数列

n

a是等差数列)2(2

11-





naaa

nnn21

2





nnn

aaa．

⑶数列

n

a是等差数列bkna

n

（其中bk,是常数）。

（4）数列

n

a是等差数列2

n

SAnBn

,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若

daa

nn



1

或

daa

nn



1

(常数Nn)

n

a是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前

n

和公式中，涉及到5个元素：

1

a、d、

n

、

n

a及

n

S，其中

1

a、d称作为

基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

1

(1)

n

aand

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差0d时，

等差数列的通项公式

11

(1)

n

aanddnad是关于

n

的一次函数，且斜率为公差d；

前

n

和2

11

(1)

()

222n

nndd

Snadnan



是关于

n

的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有

qpnm

aaaa

，特别地，当2mnp时，则有

2

mnp

aaa

.

注：

12132nnn

aaaaaa



，

（4）若

n

a、

n

b为等差数列，则

12nnn

abab，都为等差数列

(5)若{

n

a}是等差数列，则

232

,,

nnnnn

SSSSS，…也成等差数列

（6）数列{}

n

a为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(

23

,,,,

mmkmkmk

aaaa



)仍为等差数列

（7）设数列

n

a是等差数列，d为公差，

奇

S是奇数项的和，

偶

S

是偶数项项的和，

n

S是前n项的和

1.当项数为偶数

n2

时，



121

135212

n

nn

naa

Saaaana







奇



22

246212

n

nn

naa

Saaaana







偶



11

=

nnnn

SSnananaand





偶奇

11

nn

nn

S

naa

Snaa



奇

偶

2、当项数为奇数12n时，则

21

(21)(1)

1

n

SSSnaSna

S

n

SSaSna

Sn



























n+1n+1

奇偶奇

奇

n+1n+1

奇偶偶

偶

（其中

a

n+1

是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）

n

a、{}

n

b的前

n

和分别为

n

A、

n

B，且()n

n

A

fn

B

，

则21

21

(21)

(21)

(21)

nnn

nnn

anaA

fn

bnbB











.

（9）等差数列

{}

n

a的前n项和

m

Sn，前m项和

n

Sm，则前m+n项和

mn

Smn





(10)求

n

S的最值

法一：因等差数列前

n

项和是关于

n

的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

*nN。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前

n

项和的最大值是所有非负项之和

即当，，00

1

da由













0

0

1n

n

a

a

可得

n

S达到最大值时的

n

值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前

n

项和的最小值是所有非正项之和。

即当，，00

1

da由













0

0

1n

n

a

a

可得

n

S达到最小值时的

n

值．

或求

n

a中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对

称轴最近的整数时，

n

S取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为

2

pq

n





注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于

1

a和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．