双曲线离心率

双曲线离心率

自我认知怎么写-二年级的比喻句

2023年2月19日发(作者：老挝与中国的关系)

双曲线的渐近线和离心率

第34练双曲线的渐近线和离心率

题型一双曲线的渐近线问题

例1(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝

1(a>0，b>0)的离心率为

5

2

，则C的渐近线方程

为()

A．y＝±

1

4

xB．y＝±

1

3

x

C．y＝±

1

2

xD．y＝±x

破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的

比例关系，进而求出渐近线．

答案C

解析由e＝

c

a

＝

5

2

知，a＝2k，c＝5k(k∈R

＋

)，

由b2＝c2－a2＝k2，知b＝k.所以

b

a

＝

1

2

.

即渐近线方程为y＝±

1

2

x.故选C.

题型二双曲线的离心率问题

例2已知O为坐标原点，双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，

b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线

的渐近线交于异于原点的两点A，B，若(AO

→

＋

AF

→

)·OF

→

＝0，则双曲线的离心率e为()

A．2B．3

C.2D.3

破题切入点数形结合，画出合适图形，找出a，

b间的关系．

答案C

解析如图，设OF的中点为T，

由(AO→＋AF→

)·OF

→＝0可知AT⊥OF，

又A在以OF为直径的圆上，∴A















c

2

，

c

2

，

又A在直线y＝

b

a

x上，

∴a＝b，∴e＝2.

题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题

例3已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP

→

⊥BP

→

.

若双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P

的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围

是________．

破题切入点先由直接法确定点P的轨迹(为一

个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关

系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解．

答案(1,2)

解析设P(x，y)，由题设条件，

得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝

0，

即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径

的圆．

又双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y

＝±

b

a

x，即bx±ay＝0，

由题意，可得

2a

a2＋b2

>1，即

2a

c

>1，

所以e＝

c

a

<2，

又e>1，故1

总结提高(1)求解双曲线的离心率的关键是找

出双曲线中a，c的关系，a，c关系的建立方法

直接反映了试题的难易程度，最后在求得e之后

注意e>1的条件，常用到数形结合．

(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求

法．由y＝±

b

a

x⇔

x

a

±

y

b

＝0⇔

x2

a2

－

y2

b2

＝0，所以可以把

标准方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”

替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描

述双曲线“张口”大小的一个数据，由于

b

a

＝

c2－a2

a

＝e2－1，当e逐渐增大时，

b

a

的值就逐

渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．

1．已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)以及双曲线

y2

a2

－

x2

b2

＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1的离心率为()

A．2或

23

3

B.6或

23

3

C．2或3D.3或6

答案A

解析由题意，可知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1的渐近线的

倾斜角为30°或60°，

则

b

a

＝

3

3

或3.

则e＝

c

a

＝

c2

a2

＝

a2＋b2

a2

＝1＋

b

a

2＝

23

3

或2，故选A.

2．已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左，

右焦点分别为F

1

，F

2

，过F

2

作双曲线C的一条

渐近线的垂线，垂足为H，若F

2

H的中点M在

双曲线C上，则双曲线C的离心率为()

A.2B.3C．2D．3

答案A

解析取双曲线的渐近线y＝

b

a

x，则过F

2

与渐近

线垂直的直线方程为y＝－

a

b

(x－c)，可解得点H

的坐标为















a2

c

，

ab

c

，则F2

H的中点M的坐标为

















a2＋c2

2c

，

ab

2c

，代入双曲线方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1可得

a2＋c22

4a2c2

－

a2b2

4c2b2

＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝

c

a

＝2，故应选A.

3．(2014·绵阳模拟)已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，

b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0

相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双

曲线的方程为()

A.

x2

5

－

y2

4

＝1B.

x2

4

－

y2

5

＝1

C.

x2

3

－

y2

6

＝1D.

x2

6

－

y2

3

＝1

答案A

解析∵双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1的渐近线方程为y＝±

b

a

x，

圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，

∴圆心为C(3,0)．

又渐近线方程与圆C相切，

即直线bx－ay＝0与圆C相切，

∴

3b

a2＋b2

＝2，∴5b2＝4a2.①

又∵

x2

a2

－

y2

b2

＝1的右焦点F2

(a2＋b2，0)为圆心

C(3,0)，

∴a2＋b2＝9.②

由①②得a2＝5，b2＝4.

∴双曲线的标准方程为

x2

5

－

y2

4

＝1.

4．已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左，右焦

点分别为F

1

(－c,0)，F

2

(c,0)，若双曲线上存在点

P使

a

sin∠PF

1

F

2

＝

c

sin∠PF

2

F

1

，则该双曲线的离

心率的取值范围是()

A．(1，2＋1)B．(1，3)

C．(3，＋∞)D．(2＋1，＋∞)

答案A

解析根据正弦定理得

|PF

2

|

sin∠PF

1

F

2

＝

|PF

1

|

sin∠PF

2

F

1

，

由

a

sin∠PF

1

F

2

＝

c

sin∠PF

2

F

1

，

可得

a

|PF

2

|

＝

c

|PF

1

|

，即

|PF

1

|

|PF

2

|

＝

c

a

＝e，

所以|PF1

|＝e|PF

2

|.

因为e>1，

所以|PF1

|>|PF

2

|，点P在双曲线的右支上．

又|PF1

|－|PF

2

|＝e|PF

2

|－|PF

2

|＝|PF

2

|(e－1)

＝2a，

解得|PF2

|＝

2a

e－1

.

因为|PF2

|>c－a(不等式两边不能取等号，否则题

中的分式中的分母为0，无意义)，

所以

2a

e－1

>c－a，即

2

e－1

>e－1，

即(e－1)2<2，解得e<2＋1.

又e>1，所以e∈(1，2＋1)．

5．(2014·湖北)已知F

1

，F

2

是椭圆和双曲线的公

共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F

1

PF

2

＝

π

3

，

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值

为()

A.

43

3

B.

23

3

C．3D．2

答案A

解析设|PF

1

|＝r

1

，|PF

2

|＝r

2

(r

1

>r

2

)，

|F

1

F

2

|＝2c，椭圆长半轴长为a

1

，双曲线实半轴长

为a2

，椭圆、双曲线的离心率分别为e

1

，e

2

，

由(2c)2＝r2

1

＋r2

2

－2r

1

r

2

cos

π

3

，

得4c2＝r2

1

＋r2

2

－r

1

r

2

.

由





r

1

＋r

2

＝2a

1

，

r

1

－r

2

＝2a

2

，

得





r

1

＝a

1

＋a

2

，

r

2

＝a

1

－a

2

，

所以

1

e

1

＋

1

e

2

＝

a

1

＋a

2

c

＝

r

1

c

.

令m＝

r2

1

c2

＝

4r2

1

r2

1

＋r2

2

－r

1

r

2

＝

4

1＋

r

2

r

1

2－

r

2

r

1

＝

4



r

2

r

1

－

1

2

2＋

3

4

，

当

r

2

r

1

＝

1

2

时，mmax

＝

16

3

，

所以(

r

1

c

)

max

＝

43

3

，

即

1

e

1

＋

1

e

2

的最大值为

43

3

.

6．(2014·山东)已知a>b>0，椭圆C

1

的方程为

x2

a2

＋

y2

b2

＝1，双曲线C

2

的方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1，C

1

与C

2

的离心率之积为

3

2

，则C

2

的渐近线方程为()

A．x±2y＝0B.2x±y＝0

C．x±2y＝0D．2x±y＝0

答案A

解析由题意知e

1

＝

c

1

a

，e2

＝

c

2

a

，

∴e

1

·e

2

＝

c

1

a

·

c

2

a

＝

c

1

c

2

a2

＝

3

2

.

又∵a2＝b2＋c2

1

，c2

2

＝a2＋b2，

∴c2

1

＝a2－b2，

∴

c2

1

c2

2

a4

＝

a4－b4

a4

＝1－(

b

a

)4，

即1－(

b

a

)4＝

3

4

，

解得

b

a

＝±

2

2

，∴

b

a

＝

2

2

.

令

x2

a2

－

y2

b2

＝0，解得bx±ay＝0，

∴x±2y＝0.

7．若椭圆

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)与双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1

的离心率分别为e

1

，e

2

，则e

1

e

2

的取值范围为

________．

答案(0,1)

解析可知e2

1

＝

a2－b2

a2

＝1－

b2

a2

，

e2

2

＝

a2＋b2

a2

＝1＋

b2

a2

，

所以e2

1

＋e2

2

＝2>2e

1

e

1

⇒0

1

e

2

<1.

8．过双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左焦点F作

圆x2＋y2＝

a2

4

的切线，切点为E，延长FE交双曲

线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线

的离心率为________．

答案

10

2

解析设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF

的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以

EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且

|PF′|＝2×

a

2

＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得

|FF′|＝10a.所以双曲线的离心率为

10a

2a

＝

10

2

.

9．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲

线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点

A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的

离心率是________．

答案

5

2

解析双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1的渐近线方程为y＝±

b

a

x.

由











y＝

b

a

x，

x－3y＋m＝0，

得A(

am

3b－a

，

bm

3b－a

)，

由











y＝－

b

a

x，

x－3y＋m＝0，

得B(

－am

a＋3b

，

bm

a＋3b

)，

所以AB的中点C坐标为(

a2m

9b2－a2

，

3b2m

9b2－a2

)．

设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，

因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，

所以kPC

＝－3，化简得a2＝4b2.

在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，

所以e＝

c

a

＝

5

2

.

10．(2013·湖南)设F

1

，F

2

是双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝

1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF

1

|

＋|PF

2

|＝6a，且△PF

1

F

2

的最小内角为30°，则

双曲线C的离心率为________．

答案3

解析不妨设|PF

1

|>|PF

2

|，

则|PF1

|－|PF

2

|＝2a，

又∵|PF1

|＋|PF

2

|＝6a，

∴|PF

1

|＝4a，|PF

2

|＝2a.

又在△PF1

F

2

中，∠PF

1

F

2

＝30°，

由正弦定理得，∠PF2

F

1

＝90°，

∴|F

1

F

2

|＝23a，

∴双曲线C的离心率e＝

23a

2a

＝3.

11．P(x

0

，y

0

)(x

0

≠±a)是双曲线E：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，

b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶

点，直线PM，PN的斜率之积为

1

5

.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲

线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上

一点，满足OC

→

＝λOA

→

＋OB

→

，求λ的值．

解(1)点P(x

0

，y

0

)(x

0

≠±a)在双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1上，

有

x2

0

a2

－

y2

0

b2

＝1.

由题意又有

y

0

x

0

－a

·

y

0

x

0

＋a

＝

1

5

，

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，

则e＝

c

a

＝

30

5

.

(2)联立





x2－5y2＝5b2，

y＝x－c，

得4x2－10cx＋35b2＝

0.

设A(x1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)．

则











x

1

＋x

2

＝

5c

2

，

x

1

x

2

＝

35b2

4

.

①

设OC→＝(x3

，y

3

)，OC

→＝λOA→＋OB→，

即





x

3

＝λx

1

＋x

2

，

y

3

＝λy

1

＋y

2

.

又C为双曲线上一点，即x2

3

－5y2

3

＝5b2，

有(λx1

＋x

2

)2－5(λy1

＋y

2

)2＝5b2.

化简得λ2(x2

1

－5y2

1

)＋(x2

2

－5y2

2

)＋2λ(x

1

x

2

－5y

1

y

2

)＝

5b2.

又A(x1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)在双曲线上，

所以x2

1

－5y2

1

＝5b2，x2

2

－5y2

2

＝5b2.

由(1)可知c2＝6b2，

由①式又有x1

x

2

－5y

1

y

2

＝x

1

x

2

－5(x

1

－c)(x

2

－c)＝

－4x1

x

2

＋5c(x

1

＋x

2

)－5c2＝10b2.

得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

12．(2014·江西)如图，已知双曲线C：

x2

a2

－y2＝

1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐

近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐

标原点)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过C上一点P(x

0

，y

0

)(y

0

≠0)的直线l：

x

0

x

a2

－y

0

y

＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝

3

2

相交于

点N.证明：当点P在C上移动时，

|MF|

|NF|

恒为定

值，并求此定值．

解(1)设F(c,0)，

直线OB方程为y＝－

1

a

x，

直线BF的方程为y＝

1

a

(x－c)，解得B(

c

2

，－

c

2a

)．

又直线OA的方程为y＝

1

a

x，

则A(c，

c

a

)，k

AB

＝

c

a

－－

c

2a



c－

c

2

＝

3

a

.

又因为AB⊥OB，所以

3

a

·(－

1

a

)＝－1，

解得a2＝3，

故双曲线C的方程为

x2

3

－y2＝1.

(2)由(1)知a＝3，则直线l的方程为

x

0

x

3

－y0

y＝1(y

0

≠0)，即y＝

x

0

x－3

3y

0

.

因为c＝a2＋b2＝2，所以直线AF的方程为x

＝2，

所以直线l与AF的交点为M(2，

2x

0

－3

3y

0

)；

直线l与直线x＝

3

2

的交点为N(

3

2

，

3

2

x

0

－3

3y

0

)．

则

|MF|2

|NF|2

＝

2x

0

－32

3y

0

2

1

4

＋



3

2

x

0

－32

3y

0

2

＝

2x

0

－32

9y2

0

4

＋

9

4

x

0

－22

＝

4

3

·

2x

0

－32

3y2

0

＋3x

0

－22

.

因为P(x0

，y

0

)是C上一点，则

x2

0

3

－y2

0

＝1，

代入上式得

|MF|2

|NF|2

＝

4

3

·

2x

0

－32

x2

0

－3＋3x

0

－22

＝

4

3

·

2x

0

－32

4x2

0

－12x

0

＋9

＝

4

3

，

即

|MF|

|NF|

＝

2

3

＝

23

3

为定值．