定积分中值定理
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2023年2月19日发(作者：上海工商局)2017考研数学二复习之积分中值定理
来源：智阅网
高数是考研数学二中，很重要的一个内容。在考研数学二高数部
分，积分中值定理，也是常考的内容。那么，就让我们一起熟悉一下
积分中值定理的内容吧！
该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结
论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积
分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，理
由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析，不
过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，
理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不
含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?
这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和
零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积
分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自
明了。
若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一
下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某
点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定
理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就能达到
我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有
迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定
积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的
A。
接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定
理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的
最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点
的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条
件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个
实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值
的范围，不难想到比较定理(或估值定理)。
了解了上面内容的朋友们，还可以去做做汤家凤老师的2017《考研
数学15年真题解析与方法指导》（数学二），巩固我们的认识。想
买这本书的同学，还可以去智阅网上购买，最近智阅网上，有很多购
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Andnoddingbythefire,takedownthisbook,
Andslowlyread,anddreamofthesoftlook
Youreyeshadonce,andoftheirshadowsdeep;
Howmanylovedyourmomentsofgladgrace,
Andlovedyourbeautywithlovefalseortrue,
Butonemanlovedthepilgrimsoulinyou,
Andlovedthesorrowsofyourchangingface;
Andbendingdownbesidetheglowingbars,
Murmur,alittlesadly,howlovefled
Andpaceduponthemountainsoverhead
Andhidhisfaceamidacrowdofstars.
Thefurthestdistanceintheworld
Isnotbetweenlifeanddeath
ButwhenIstandinfrontofyou
Yetyoudon'tknowthat
Iloveyou.
Thefurthestdistanceintheworld
IsnotwhenIstandinfrontofyou
Yetyoucan'tseemylove
Butwhenundoubtedlyknowingthelovefromboth
Yetcannotbetogether.
Thefurthestdistanceintheworld
Isnotbeingapartwhilebeinginlove
ButwhenIplainlycannotresisttheyearning
Yetpretendingyouhaveneverbeeninmyheart.
Thefurthestdistanceintheworld
Isnotstrugglingagainstthetides
Butusingone'sindifferentheart
Todiganuncrossableriver
Fortheonewholovesyou.
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