向量的内积
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2023年2月19日发(作者：二维码的原理)关于向量内积的基本知识点：
基本概念：
设V是实数R上的线性空间.如果V中任意两个向量α,β都按某一法则对应于R中
一个唯一确定的数,记作(α,β),且满足
(i)(α,β)=(β,α);
(ii)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ);
(iii)(kα,β)=k(α,β);
(iv)当α
时,(α,α)>0;
其中的α,β,γ是V中任意向量,k是任意实数.则称(α,β)为向量α,β的内积.而
V叫做对这个内积来说的一个欧几里德(Euclid)空间,简称欧氏空间.
举例说明：
例1：在R
n
里,对于任意两个向量
),,,(
21n
xxx
,
),,,(
21n
yyy
,
规定：
nn
yxyxyx
2211
),(
容易验证,关于内积的公理被满足,因而R
n
对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空
间。
例2：在Rn里,对于任意两个向量
),,,(
21n
xxx
,
),,,(
21n
yyy
,
规定：
nn
ynxyxyx
2211
2),(
不难验证,这样Rn也作成一个欧氏空间.由以上两个例子可以看出,对同一个线性空间
可以引人不同的内积,使它作成欧氏空间
例3：令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的线性空间.关于任意f(x),g(x)
C[a,b],规定:
dxxgxfgf
b
a
)()(),(
根据定积分的基本性质可知,关于内积的公理都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏
空间.
一些性质：
关于欧氏空间V中的向量α,β,γ和实数a有以下基本性质：
(1)(0,α)=(α,0)=0;
(2)(2)(α,β十γ)=(α,β)十(α,γ);
(3)(3)(α,aβ)=a(α,β).
进一步,对于V向量r
,,,
21
,s
,,,
21
及R中实数r
aaa,,,
21
和
s
bbb,,,
21
,必有
),(),(
1111
s
j
jiji
r
i
s
j
jj
r
i
ii
baba
长度:由于对欧氏空间的任意向量α来说,句（α,α）总是一个非负实数,我们可
以合理地引人向量长度的概念.设α是欧氏空间的一个向量.非负实数(α,α)的算术平
方根
),(
,叫做α的长度,记作|α|,即|α|=
),(
.
由定义可知,欧氏空间中每个向量都有确定的长度.零向量的长度是0,非零向量的长度
是正数.对欧氏空间的任意向量α和任意实数k,
|kα|=
),(kk
=
),(2k
=|k||
|
即实数k与向量α的数量乘积的长度等于k的绝对值与α长度的积.
长度为1的向量叫做单位向量.如果α是非零向量,则
1
是一单位向量,用这种方式得到单位向量叫做α的单位化.以下定理给出了一个重要的
不等式,通常称为哥西一施瓦兹不等式
定理1:在在一个欧氏空间里,关于任意向量α,卢有不等式
),)(,(),(2
等号成立当且仅当α，
线性相关
证明思路：应用二次函数。
由定理1，我们可以得到很多重要不等式。如：哥西(Cauchy)不等式；施瓦兹
(Schwarz)不等式等。
夹角:设的
,
是欧氏空间中两个非零向量.则由哥西一施瓦兹不等式得
1
),(
1
这样
),(
arccos
有意义,称其为
,
的夹角.
这样,欧氏空间任意两个非零向量有唯一的夹角
)0(
。为方便起见,我们规定:
零向量与任何向量的夹角为
2
，
如果(
,
)=0,则称欧氏空间的二个向量
,
是正交的.
不难知道,
,
正交,当且仅当
,
的夹角为
2
。容易验证,在欧氏空间Rn中,
单位向量i
=(0,…,0,1,0,…,0),i=1,2,…,n.两两正交.
定理2:在一个欧氏空间中,如果向量α与
,,,,
21r
中每一个正交,则α与
,,,,
21r
的任意一个线性组合也正交.
距离:在欧氏空间里,定义向量α,卢的距离为|
|,通常用d(
,
)表示
,
的距离.
容易证明,距离有如下性质
(i)当
时,d(
,
)>0.
(ii)d(
,
)=d(
,
).
(iii)d(
,
)d(
,
)+d(
,
),
其中
,,
是欧氏空间的任意向量.不等式(iii)称为三角形不等式.在解析几何里,这
个不等式的意义就是一个三角形两边之和大于第三边.
最后,值得一提的是,如果W是欧氏空间V的一个子空间,那么W关于V的内
积来说,W也作成一个欧氏空间.
基本定义：
正定矩阵的行列式必大于零，但是，我们判断矩阵是否为正定矩阵，要看各级顺序主子
式都要大于零。
如果两个矩阵是相似的，则它们的特征多项式是相同的；若两个矩阵的特征多项式相
同，则这两个矩阵是相似的。
知道基础解系的基本定义：
第一．就是要最多有r个线性无关向量，再加一个向量就是线性相关的;
第二．其他任意一个向量都可由这r个向量线性表示。
接着，要会求基础解系，然后找出这个r个线性无关向量。