抛物线公式
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2023年2月19日发(作者：嘲笑英文)1/6
北京四中
撰稿：安东明编审：安东明责编：辛文升
本周重点：圆锥曲线的定义及应用
本周难点：圆锥曲线的综合应用
本周内容：
一、圆锥曲线的定义
1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫
做椭圆。即：{P||PF
1
|+|PF
2
|=2a,(2a>|F
1
F
2
|)}。
2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨
迹叫做双曲线。即{P|||PF
1
|-|PF
2
||=2a,(2a<|F
1
F
2
|)}。
3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆
锥曲线。当0 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：-=1（a>0,b>0）或-=1（a>0,b>0）（其中，c2=a2+b2） 3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0） 三、圆锥曲线的性质 1.椭圆：+=1（a>b>0） （1）范围：|x|≤a，|y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0) （4）离心率：e=∈(0,1) （5）准线：x=± 2.双曲线：-=1（a>0,b>0） （1）范围：|x|≥a,y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0) 2/6 （4）离心率：e=∈(1,+∞) （5）准线：x=± （6）渐近线：y=±x 3.抛物线：y2=2px(p>0) （1）范围：x≥0,y∈R （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0） （4）离心率：e=1 （5）准线：x=- 四、例题选讲： 例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。 解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。 注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的 位置的影响。 例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。 （2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。 注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主 观丢掉一解。 例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F 1 为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点， 3/6 PF 1 ⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。 解：设椭圆的右焦点为F 2 ，由第一定义：|PF 1 |+|PF 2 |=2a, ∵PF 1 ⊥x轴，∴|PF 1 |2+|F 1 F 2 |2=|PF 2 |2， 即(|PF 2 |+|PF 1 |)(|PF 2 |-|PF 1 |)=4c2, ∴|PF 1 |=。 ∵PO//AB，∴ΔPF 1 O∽ΔBOA, ∴=c=ba=c,∴e==。 又解，∵PF 1 ⊥x轴，∴设P(-c,y)。 由第二定义：=e|PF 1 |=e(x 0 +)=(-c+)=, 由上解中ΔPF 1 O∽ΔBOA，得到b=ce=。 例4.已知F 1 ，F 2 为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F 1 PF 2 =，求ΔF 1 PF 2 的面积。 分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关 系，我们选用面积公式S=absinC。 解法一：S Δ =|PF 1 |·|PF 2 |·sin |PF 1 |+|PF 2 |=2a=20， 4×36=4c2=|F 1 F 2 |2=|PF 1 |2+|PF 2 |2-2|PF 1 ||PF 2 |cos， 即(|PF 1 |+|PF 2 |)2-3|PF 1 ||PF 2 |=4×36， |PF 1 |·|PF 2 |= ∴S Δ =××=。 解法二：S Δ =|F 1 F 2 |·|y P |=×12×y P =6|y P |， 由第二定义：=e|PF 1 |=a+ex P =10+x P ， 4/6 由第一定义：|PF 2 |=2a-|PF 1 |=10-x P ， 4c2=|F 1 F 2 |2=(10+x P )2+(10-x P )2-2(10+x P )(10-x P )cos， 144=100+=，=64(1-)=64×， S Δ =6|y P |=6×=。 注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法 都试试。 例5.椭圆+=1的焦点为F 1 和F 2 ，点P在椭圆上，若线段PF 1 的中点在y轴上，求： |PF 1 |，|PF 2 |。 分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF 1 |，|PF 2 |的表达式写出来，再求 解。 解：如图，∵O为F 1 F 2 中点，PF 1 中点在y轴上，∴PF 2 //y轴，∴PF 2 ⊥x轴， 由第一定义：|PF 1 |+|PF 2 |=2a=4， |PF 1 |2-|PF 2 |2=|F 1 F 2 |2， (|PF 1 |-|PF 2 |)(|PF 1 |+|PF 2 |)=4×9=36， 。 例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F 1 ，F 2 为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF 1 | 的最值。 解：|PA|+|PF 1 |=|PA|+2a-|PF 2 |=10+|PA|-|PF 2 |≤|AF 2 |+10=2+10， |PA|+|PF 1 |=|PA|+10-|PF 2 |=10-(|PF 2 |-|PA|)≥10-|AF 2 |=10-2。 注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。 5/6 例7.已知：P为双曲线-=1（a>0,b>0）上一点，F 1 ，F 2 为焦点，A 1 ，A 2 为其顶点。 求证：以PF 1 为直径的圆与以A 1 ，A 2 为直径的圆相切。 证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF 1 中点为O＇,A 1 A 2 中点为O， |OO＇|=|PF 2 |，圆O半径为|A 1 A 2 |，圆O＇半径为|PF 1 | 由双曲线定义：|PF 1 |-|PF 2 |=|A 1 A 2 | |PF 1 |-|A 1 A 2 |=|PF 2 |=|OO'| ∴两个圆相内切。 注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。 例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P， Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。 证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|,|QQ＇|=|QF| |PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)， 故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。 五、课后练习 1.椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF 1 F 2 的面积为（） A、20B、22C、28D、24 2.若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=() A、-B、C、-2D、2 3.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（） A、y2=16x或x2=16yB、y2=16x或x2=-16y C、x2=-12y或y2=16xD、x2=16y或y2=-12x 6/6 4.已知：椭圆+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+ 为定值。 六、练习答案： 1.D2.B3.C 4.设P(|OP|cosα,|OP|sinα),Q(|OQ|cos(α+90°),|OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公式， +=。