差分方程

差分方程

初一英语书-赞美老师的古诗词

2023年2月19日发(作者：绿色发展)

第九节差分方程

迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型.但在经济管理或其它实际

问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的

时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等.通常称这类变量为离散型变量.对这类变量，

我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等.描述各离散变量之

间关系的数学模型称为离散型模型.求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律.本

节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.

内容分布图示

★引言★差分的概念★例1-5

★差分方程的概念★例6★例7

★一阶常系数线性齐次差分方程

★一阶常系数线性非齐次差分方程

★例9-14★例15★例16

★二阶常系数线性差分方程

★二阶常系数线性齐次差分方程的通解

★例17★例18★例19

★二阶常系数线性非齐次差分方程的特解★例20-23

差分方程在经济学中的应用

★模型1★模型2★模型3

★内容小结★课堂练习

★习题8-9★返回

内容要点：

一、差分的概念与性质

一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用

dt

dy

来刻画的；

对离散型的变量y，我们常取在规定的时间区间上的差商

t

y





来刻画变量y的变化率.如果

选择1t，则

)()1(tytyy

可以近似表示变量y的变化率.由此我们给出差分的定义.

定义1设函数).(tyy

t

称改变量

tt

yy

1

为函数

t

y的差分,也称为函数

t

y的一阶差

分,记为

t

y,即

ttt

yyy

1

或)()1()(tytyty.

一阶差分的差分称为二阶差分

t

y2,即

tttt

yyyy

1

2)(

.2)()(

12112ttttttt

yyyyyyy



类似可定义三阶差分,四阶差分,„„

),(),(3423

tttt

yyyy

一般地，函数

t

y的1n阶差分的差分称为n阶差分，记为

t

ny

，即

t

n

t

n

t

nyyy1

1

1





int

i

n

n

i

iyC







0

)1(

二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.

差分的性质：

（1）

tt

yCCy)();(为常数C

（2）;)(

tttt

zyzy

（3）;)(

1tttttt

zyyzzy



（4）

tt

tttt

t

t

zz

zyyz

z

y

























1

).0(

t

z

二、差分方程的概念

定义2含有未知函数

t

y的差分的方程为差分方程.

差分方程的一般形式:

0),,,,,(2

t

n

ttt

yyyytF

或.0),,,,,(

21



ntttt

yyyytG

差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.差分方程的不同形式

可以互相转化.

定义3满足差分方程的函数称为该差分方程的解.

如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数,则称这个

解为该差分方程的通解.

我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件

称为初始条件,满足初始条件的解称为特解.

定义4若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的,则称该差分方

程为线性差分方程.

线性差分方程的一般形式是

)()()()(

1111

tfytaytaytay

tntnntnt







其特点是

tntnt

yyy,,,

1





都是一次的.

三、一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

)(

1

tfPyy

tt





(9.1)

其中,P为非零常数,)(tf为已知函数.如果,0)(tf则方程变为

0

1



tt

Pyy(9.2)

方程(9.2)称为一阶常系数线性齐次差分方程,相应地，方程(9.1)称为一阶常系数线性非齐次

差分方程.

一阶常系数线性齐次差分方程的通解

一阶常系数线性非齐次差分方程

定理1设

t

y为方程(9.2)的通解,*

t

y

为方程(9.1)的一个特解,则*

ttt

yyy

为方程(9.1)的

通解.

（1）Ctf)((C为非零常数)

（2）tCbtf)(

(C,b为非零常数且1b)

四、二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式:

)(

12

tfbyayy

ttt





(9.9)

其中ba,均为常数,且,0b)(xf是已知函数.当0)(xf时,方程(9.9)变为

0

12



ttt

byayy(9.10)

方程(9.10)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(9.9)称为二阶常系数线性非齐

次差分方程.

定理2设

t

y为方程((9.10)的通解,*

t

y

为方程(9.9)的一个特解,则*

ttt

yyy

为方程(9.9)

的通解.

二阶常系数线性齐次差分方程的通解

特征方程02ba

(9.11)

二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解

仅考虑方程(9.9)中的)(xf取某些特殊形式的函数时的情形.

(1))()(tPxf

m

(其中)(tP

m

是t的m次多项式),方程(9.9)具有形如

)(*tRty

m

k

t



的特解,

其中)(tR

m

为t的m次待定多项式.

五、差分方程在经济学中的应用

采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说

明其应用.

1.“筹措教育经费”模型

某家庭从现在着手,从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,并

计算20年后开始从投资账户中每月支取1000元,直到10年后子女大学毕业并用完全部资

金.要实现这个投资目标,20年内要总共筹措多少资金?每月要在银行存入多少钱?假设投

资的月利率为0.5%,为此,设第t个月,投资账户资金为,

t

a每月存资金为b元,于是20年后,

关于,

t

a的差分方程模型为

1000)005.1(

1



tt

aa(9.11)

且.,0

0120

xaa

二、价格与库存模型

本模型考虑库存与价格之间的关系

设)(tP为第t个时段某类产品的价格,)(tL为第t个时段的库存量.L为该产品的合理

库存量.一般情况下,如果库存量超过合理库存,则该产品的售价要下跌,如果库存量低于

合理库存,则该产品售价要上涨,于是有方程

)(

1ttt

LLkPP



(9.13)

其中k为比例常数.

三、国民收入的稳定分析模型

本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.

设第t期内的国民收入

t

y主要用于该期内的消费

t

G,再生产投资

t

I和政府用于公共设

施的开支G(定为常数),即有

GICy

ttt

(9.17)

又设第t期的消费水平与前一期的国民收入水平有关,即

)10(

1





AAyC

tt

(9.18)

第t期的生产投资应取决于消费水平的变化,即有

)(

1



ttt

CCBI(9.19)

由方程(9.17),(9.18),(9.19)合并整理得

GBAyyBAy

ttt



21

)1((9.20)

于是,对应A,B,G以及,,

0

yy可求解方程,并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.

例题选讲：

差分的概念与性质

例1（讲义例1）设

,2ty

t



求

).(),(),(32

ttt

yyy

例2（讲义例2）设

.1),1()2)(1()0()(tntttttn

求)(nt.

例3（讲义例3）求t

t

ty32

的差分.

例4设

,22tty

求

.,,32

ttt

yyy

例5试改变差分方程

023

tt

yy

的形式.

差分方程的概念

例6（讲义例4）试确定下列差分方程的阶.

.735)2(;0)1(

15423



ttttt

yyyyy

例7（讲义例5）指出下列等式哪一个是差分方程,若是,进一步指出是否为线性方程.

.432)2(;33)1(

12



ttt

t

tt

yyyayy

一阶常系数线性差分方程

例8（讲义例6）求差分方程03

1



tt

yy的通解.

例9（讲义例7）求差分方程23

1



tt

yy的通解.

例10（讲义例8）求差分方程

t

tt

yy















2

3

3

2

1

1

在初始条件5

0

y时的特解.

例11（讲义例9）求差分方程2

1

34tyy

tt





的通解.

例12求差分方程tyy

tt

sin34

1





的通解.

例13求差分方程tyy

tt

23

1





满足初始条件5

0

y的特解.

例14（讲义例10）求差分方程t

tt

tyy422

1





的通解.

例15设某产品在时期t的价格,供给量与需求量分别为

tt

SP,与),2,1,0(tD

t

.1当

121

tt

PS,

tttt

DSPD



3,542

1

时,求证

(1)由3,2,1推出差分方程.22

1



tt

PP

(2)已知

0

P,求上述差分方程的解.

例16（讲义例11）在农业生产中,种植先于产出及产品出售一个适当的时期,t时期该

产品的价格

t

P决定着生产者在下一时期愿意提供市场的产量

tt

PS,

1

还决定着本期该产品的

需求量,

t

Q因此有

1

,





tttt

dPcSbPaQ(a,b,c,d均为正的常数)

求价格随时间变动的规律.

二阶常系数线性差分方程

例17（讲义例12）求差分方程043

12



ttt

yyy的通解.

例18（讲义例13）求差分方程044

12



ttt

yyy的通解.

例19（讲义例14）求差分方程042

12



ttt

yyy的通解.

例20求差分方程122

12



ttt

yyy的通解及0,0

10

yy的特解.

例21（讲义例15）求差分方程tyyy

ttt





43

12

的通解.

例22（讲义例16）求差分方程t

ttt

yyy232

12





的通解.

例23求差分方程

t

ttt

yyy















2

1

4

1

12

的通解.

差分方程在经济学中的应用

课堂练习

1.求差分方程2

1

tyy

tt





的通解.

2.求差分方程tyyy

ttt





43

12

的通解.

3.求差分方程t

ttt

yyy576

12





的通解.