位移法
逐渐的近义词-描写竹子的词语
2023年2月19日发(作者：趣味运动会策划书)位移法
【例1】位移法中杆端弯矩正负号的规
定与作弯矩图时弯矩正负号规定有什么
不同？为什么要这样规定？
答：位移法中杆端弯矩正负号的规定与作弯矩图时弯矩正负号规定有所不同：在位移法中杆
端弯矩一律以顺时针向为正，而通常作弯矩图时，各杆弯矩图画在杆的受拉一侧，而在梁中，
弯矩使梁下部纤维受拉着规定为正。位移法之所以这样规定，是由于：第一，这规定是针对
杆端弯矩，而不是针对杆件任一截面的弯矩；第二，这样的规定是把杆端弯矩看作外力，为
便于建立平衡方程（位移法的基本方程）而规定的。因取杆件（或取结点）为隔离体建立平
衡方程时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立平衡方程取力矩时，力矩一律以顺时针转向为
正。
【例2】在力法和位移法中各以什么方
式满足平衡条件？
答：在力法中，原超静定结构转化为静定结构系撤去原结构的多余约束，代之以多余未知力，
得到静定的基本体系，二者满足同样的静力平衡方程；而位移法则是以基本结构附加约束上
的总反力矩（或总反力）应等于零的条件来建立位移法典型方程，它本身就是静力平衡方程。
【例3】对力法和位移法的比较。
答：力法与位移法比较如下：
（一）二者的共同点：均通过综合应用静力平衡、变形谐调、物力关系三方面条件，使各自
的基本结构与原结构的变形和受力情况一致，从而利用基本结构建立典型方程来解算
原结构。
（二）二者的不同之处主要有以下四点：
1.基本未知数不同。力法以多余力为基本未知量，结构中多余力的数目即等于它的超静定次
数；位移法以结点的独立位移（包括角位移和线位移）为基本未知量，它们与结构的超静
定次数无关。
2.基本结构不同。力法通常是去掉多余联系后得到的静定结构作为基本结构，对同一原结构
可选取多个不同的基本结构；位移法则是通过增加附加约束，以所得到的单跨超静定梁的
组合体作为基本结构，对给定原结构，可在基本未知量的相应方向上附加约束，即可得基
本结构，一般没有多少选择的余地。
3.建立典型方程所依据的条件不同。力法是以基本结构在去掉多余联系处的位移应与原结构
一致的条件来建立力法典型方程，因此它是几何条件；位移法则是基本结构附加约束上的
总反力矩（或总反力）应等于零的条件建立位移法的典型方程，它是静力平衡条件。
系数和自由项的物理意义不同。力法中的系数和自由项都是静定的基本结构中某一多余力方
向的位移；位移法中的系数和自由项则是基本结构某一附加约束处的反力矩或反力。
【例4】用位移法计算例图示刚架的M
图。
解：（1）确定基本未知量。此钢架有两个结点位移
B
、
C
（2）写出各杆端弯矩表达式
M
BC
=4i
B
＋2ic-
12
2ql
=4
B
＋2
C
－20
M
CB
=2
B
＋4
C
＋20
M
CD
=3i
C
－
16
3lF
P=3
C
－30,M
DC
=0
10KN
15KN/m
40KN
i=1
i=1
i=1
i=1
4m
4m
2m
2m
A
B
C
D
4
m
E
F
（a）
M
BE
=4i
B
=4
B
，M
EB
=2i
B
=2
B
:
M
CF
=4i
C
=4
C
，M
FC
=2
C
.
因为悬臂AB为一静定部分，所以该部分的弯矩可按静力平衡条件求得
M
AB
=0，M
BA
=40KN.M
（3）建立位移法方程：
取结点B、C为隔离体，例图（b）所示，由B
M=0和C
M=0得
M
BC
＋M
BE
＋M
CB
=0
M
CB
＋M
CF
＋M
CD
=0
将有关杆端弯矩代入，并整理得
4
B
＋2
C
＋10=0
2
B
＋11
C
－10=0
解得
B
=－2.86
C
=1.43
（4）计算杆端弯矩：
（b）
BE
CD
BC
BA
CB
CF
C
B
M
M
M
M
M
M
M
BC
=4×（－2.86）＋2×1.43－20=-28.6
M
CB
=20kN.m
M
CD
=3×1.43－30=－25.71
M
CD
=0
M
BE
=－11.4kN.m
M
EB
=－5.72kN.m
M
CF
=5.72kN.m
M
FC
=2.86kN.m（c）
【例5】图示刚架各杆件长l=4m，EI
为常数，作M图。
4
m
4m
4m
4m
2m
20KN/m80KN
2m
（a）
解：(1)确定基本未知量。本题若先用力法求解，有8个未知量，用位移法求解有3个未知量。
由于该结构对称，所以利用对称法将荷载分为对称法、反对称法如图(b)、图(c)，并分别取相
应的半结构如图(b')、图(c')，则每个半结构只有1个未知角位移。
40KN
40KN/m
40KN40KN
40KN
31
0
2
20KN/m
40KN
31
0
2
40KN
(b)(c)(b')(c')
2.86
5.72
11.4
5.7
5.72
27.15
25.71
20
28.6
40
(2)分别就半结构如图(b')、(c')写出杆端弯矩表达示，并画M'
1
M''
1
图。
①对称荷载下的半结构，如图(b')所示。
M
01
=2i'
1
－
8
40
×4=2i'
1
－20，M
10
=4i'
1
＋20=－
2
1
ql2=－160，M
12
=4i'
1
，M
21
=2i'
1
由∑M
1
=0得：
M
10
＋M
12
＋M
13
=0
4i'
1
＋20＋4i'
1
－160=0
解得：'
1
=－
i
5.17
将'
1
代回转角位移方程''
1
可得杆端，据此作M'
1
图如图（d）所示。（d）
②反对称荷载作用下的半结构如图(c')所示
M
01
=2i''
1
－20，
M
10
=4i''
1
＋20
M
12
=4i''
1
，M
21
=2i''
1
M
13
=3i''
1
，M
31
=0
由∑M
1
=0得：（e）（f）
35
70
15
160
90
3.64
7.27
5.45
12.73
23.64
38.64
38.64
31.36
62.72
72.27
72.27
154.54
165.46
102.72
8.64
M
10
＋M
12
＋M
13
=0
4i''
1
＋20＋4i''
1
＋3i''
1
=0
解得：
''
1
=－
i
82.1
将''
1
代回转角位移方程得杆端弯矩，作M''
1
图，如图（e）所示。
（3）将M''
1
和M''
1
图叠加得最后弯矩图如图（f）所示。