抛物线的参数方程
峰生水起-遗嘱风波
2023年2月19日发(作者：文化常识高中语文)2.2常见曲线的参数方程
第一节圆锥曲线的参数方程
一椭圆的参数方程
1、中心在坐标原点，焦点在
x
轴上，标准方程是
22
22
1(0)
xy
ab
ab
的椭圆的参数方程
为
cos
(
sin
xa
yb
为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在y轴上，标准方程是
22
22
1(0)
yx
ab
ab
的椭圆的参
数方程为
cos
(
sin
xb
ya
为参数）
2、椭圆参数方程的推导
如图，以原点O为圆心，,()ababo为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的任
一点，连接OA，与小圆交于点B，过点,AB分别作
x
轴，y轴的垂线，两垂线交于点M。
设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(,)xy。那么
点A的横坐标为
x
，点B的纵坐标为y。由于点,AB都在角的终
边上，由三角函数的定义有
coscos,sinsinxOAayOBb3
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
cos
(
sin
xa
yb
为
参数）
这是中心在原点O，焦点在
x
轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数的意义
圆的参数方程
cos
(
sin
xr
yr
为参数）中的参数是动点(,)Mxy的旋转角，但在椭圆
的参数方程
cos
(
sin
xa
yb
为参数）中的参数不是动点(,)Mxy的旋转角，它是动点
(,)Mxy所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角，称为点M的离心角，不是OM的旋
转角，通常规定0,2
4、椭圆参数方程与普通方程的互化
可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程
cos
(
sin
xa
yb
为参数，0)ab，易得cos,sin
xy
ab
，可以
利用平方关系将参数方程中的参数化去得到普通方程
22
22
1(0)
xy
ab
ab
②在椭圆的普通方程
22
22
1(0)
xy
ab
ab
中，令cos,sin
xy
ab
，从而将普通方程
化为参数方程
cos
(
sin
xa
yb
为参数，0)ab
注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,axabyb，
结合三角函数的有界性可知参数0,2
②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
二、双曲线的参数方程
1、以坐标原点O为中心，焦点在
x
轴上，标准方程为
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
的双曲线的
参数方程为
sec
(
tan
xa
yb
为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在y轴上，标准方程是
22
22
1(0,0)
yx
ab
ab
的双曲线
的参数方程为
tan
(
sec
xb
ya
为参数）
2、双曲线参数方程的推导
如图，以原点O为圆心，,(0,0)abab为半径分别作同心圆
12
,CC，设A为圆
1
C上任一点，作直线OA，过点A作圆
1
C的切线'AA与
x
轴交于点'A，
过圆
2
C与
x
轴的交点B作圆
2
C的切线'BB与直线OA交于点'B。过点','AB分别作y轴，
x
轴的平行线','AMBM交于点M。
设Ox为始边，OA为始边的角为，点(,)Mxy，那么点'(,0),'(,)AxBby
因为点A在圆
1
C上，由圆的参数方程的点A的坐标为(cos,sin)aa。
所以
(cos,sin)OAaa
uuur
，
'(cos,sin)AAxaa
uuur
，因为'OAAA
uuuruuur
，所以
'0OAAA
uuuruuur
，从而2cos(cos)(sin)0axaa，解得
cos
a
x
，记
1
sec
cos
则secxa。
因为点'B在角的终边上，由三角函数的定义有tan
y
b
，即tanyb
所以点M的轨迹的参数方程为
sec
(
tan
xa
yb
为参数）
这是中心在原点O，焦点在
x
轴上的双曲线的参数方程。
3、双曲线的参数方程中参数的意义
参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角，成为点M的离心角，而不是OM的旋转角，通
常规定0,2，且
2
,
23
4、双曲线的参数方程中参数的意义
因为
2
22
1sin
1
coscos
，即22sectan1，可以利用此关系将普通方程和参数方程
互化
①由双曲线的参数方程
sec
(
tan
xa
yb
为参数），易得sec,tan
xy
ab
，可以利用平
方关系将参数方程中的参数化去，得到普通方程
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
②在双曲线的普通方程
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
中，令sec,tan
xy
ab
，从而将普
通方程化为参数方程
sec
(
tan
xa
ya
为参数）
三、抛物线的参数方程
1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22ypx(0)p的参数方程为
22
(
2
xpt
t
ypt
为
参数）
同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线22(0)xpyp的参数方程是
2
2
(
2
xpt
t
ypt
为
参数）
2、抛物线参数方程的推导：如图
设抛物线的普通方程为22ypx(0)p，其中p表示焦点到准线的
距离。设(,)Mxy为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终
边的角为。当在(,)
22
内变化时，点M在抛物线上运动，并
且对于
的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，故可取
为参数来探求抛物线的参数方程。
由于点M在的终边上，根据三角函数的定义可得tan
y
x
，即tanyx，代
入抛物线普通方程可得
2
2
tan
(
2
tan
p
x
p
y
为参数）
这就是抛物线22ypx(0)p（不包括顶点）的参数方程。如果令
1
,(,0)(0,)
tan
tt
U，则有
22
(
2
xpt
t
ypt
为参数）
当0t时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)(0,)tU
时，参数方程就表示整条抛物线。
3、抛物线参数方程中参数
t
的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率
的倒数。
四、例题：
例1、已知椭圆的参数方程为
2cos
(
4sin
x
y
为参数），点M在椭圆上，对应的参数
3
，
点O为原点，则直线OM的斜率为____________.
解：当
3
时，
2cos1
3
4sin23
3
x
y
故点M的坐标为
(1,23)
，所以直线OM的斜率为
23
。
例2、已知椭圆的参数方程为
4cos
(
4sin
x
y
为参数，R），则该椭圆的焦距为________.
解：由参数方程得
cos
4
sin
5
x
y
将两式平方相加得椭圆的标准方程为
22
1
1625
xy
所以焦距为
225166
例3、O是坐标原点，P是椭圆
3cos
2sin
x
y
(为参数）上离心角为
6
所对应的点，那么
直线OP的倾斜角的正切值是_________
解;把=
6
代入椭圆参数方程
3cos
2sin
x
y
(为参数），可得P点坐标为
33
(,1)
2
，所
以直线OP的倾斜角的正切值是
123
tan
9
33
2
例4、已知曲线
1
4cos
:(
3sin
xt
Ct
yt
为参数），
2
8cos
:(
3sin
x
C
y
为参数）
化
12
,CC的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解：22
1
:(4)(3)1Cxy
，
2
:C
22
1
649
xy
，
1
C为圆心是(4,3)，半径是1的圆，
2
C为中心是坐标原点，焦点在
x
轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
例5、设M为抛物线22yx上的动点，定点
0
M(1,0)，点P为线段
0
MM的中点，求
点P的轨迹方程。
解：设点(,)Pxy，令2yt，则
2
22
2
y
xt，得抛物线的参数方程为
22
2
xt
yt
，则动点
2(2,2)Mtt，定点
0
M(1,0)，由中点坐标公式知点P的坐标满足方程组
2
1
(12)
2
1
(02)
2
xt
yt
即
2
1
2
xt
yt
(t为参数）
这就是P点的轨迹的参数方程。
消去参数化为普通方程是2
1
2
yx，它是以
x
轴为对称轴，顶点为
1
(,0)
2
的抛物线。
例6、在椭圆
22
1
94
xy
上求一点M，使点M到直线2100xy的距离最小，并求
出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为
3cos
(
2sin
x
y
为参数），所以可设点M的坐标为
(3cos,2sin)
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：
34
5(cossin)10
3cos4sin10
55
55
d
0
1
5cos()10
5
其中
0
满足于
00
34
cos,sin
55
由三角函数的性质知，当
0
0时，d取最小值5。此时
0
9
3cos3cos
5
，
0
8
2sin2sin
5
，因此，当点M位于
98
(,)
55
时，点M与
直线2100xy的距离取最小值
5
。
例7、已知抛物线22(0)ypxp，O为坐标原点，,MN是抛物线上两点且
23
9
MN，
若直线,OMON的倾斜角分别为
2
,
33
，求抛物线方程。
解：设(,)Mxy，由抛物线参数方程可知
22cot
3
2cot
3
xp
yp
，即
2
3
23
3
xp
yp
故
223
(,)
33
p
Mp，同理知
223
(,)
33
Npp，因为
23
9
MN
所以
1
6
p，得抛物线方程为2
1
3
yx
例8、已知两曲线的参数方程分别为
5cos
sin
x
y
(0)和
2
5
()
4
xt
tR
yt
，它们
的交点坐标为___________.
解：
5cos
sin
x
y
，表示椭圆
2
21(5501)
5
x
yxy且
2
5
()
4
xt
tR
yt
表示抛物线2
4
5
yx，联立得
2
2
2
1(5501)
5
4
5
x
yxy
yx
且
解得245015()xxxx或舍
又因为01y，所以它们的交点坐标为
25
(1,)
5
例9、如图所示，设M为双曲线
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
上任意
一点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，试求平行四边
形MAOB的面积。
解：双曲线的渐进线方程为
b
yx
a
，不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
(sec,tan)ab，则直线MA的方程为tan(sec)
b
ybxa
a
将
b
yx
a
代入，解得点A的横坐标为(sectan)
2A
a
x
同理可得，点B的横坐标为(sectan)
2B
a
x，设AOx
则，tan
b
a
，所以平行四边形MAOB的面积为
sin2sin2
coscos
AB
MAOB
xx
SOAOB
Y
22222
2
(sectan)
sin2tan
4cos222
aaabab
a
直角坐标系，,AB是抛物线例10、如图所示，O是
22(0)ypxp上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于点M，
求点M的轨迹方程。
解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为22
1122
(,),(2,2),(2,2)xyptptptpt
1212
(,0)tttt且，则2
11
(,),(2,2)OMxyOAptpt
uuuuruuur
，2
22
(2,2)OBptpt
uuur
22
2121
(2(),2())ABpttptt
uuur
，
因为OAOB
uuuruuur
，所以0OAOB
uuuruuur
即：22
121212
(2)(2)01pttptttt①，
因为OMAB
uuuuruuur
，所以0OMAB
uuuuruuur
，即22
2121
2()2()0pxttpytt，所以
12
()0xtty，即
12
0
y
ttx
x
②
因为22
1122
(2,2),(2,2)AMxptyptMBptxpty
uuuuruuur
，且,,AMB三点共线，
所以22
1212
(2)(2)(2)(2)xptptyyptptx
化简得
1212
()20yttpttx③
将①②代入③，得到()20
y
ypx
x
，即轨迹方程2220(0)xypxx。
随堂练习
1、一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km，短轴长为15443km，取椭
圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。
解：
1556515443
7782.5,7721.5
22
ab
所以参数方程为
7782.5cos
7721.5sin
x
y
2、已知椭圆
22
22
1
xy
ab
上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点
12
,BB的连线分别与
x
轴交于,PQ两点，O为椭圆的中心，求证：OPOQ为定值
解：设(cos,sin)Mab，
12
(0,),(0,)BbBb
直线
1
MB方程：
sin
cos
bb
ybx
a
，令0y，则
cos
sin1
a
x
所以
cos
sin1
a
OP
直线
2
MB方程：
sin
cos
bb
yb
a
x，令0y，则
cos
1sin
a
x
所以
cos
1sin
a
OQ
所以OPOQ
22
2
2
cos
1sin
a
a
即OPOQ为定值。
3、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
证明;设222xya是等轴双曲线，(sec,tan)Paa是双曲线上任意一点，它到两渐近
线yx的距离分别是
12
sectansectan
,
22
aaaa
dd
所以
2222
2
12
sectan
22
aa
a
dd
是常数。
4、经过抛物线22(0)ypxp的顶点O任作两条互相垂直的线段OAOB和，以直线OA的
斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程。
解：设OA方程：ykx，则OB方程：
1
yx
k
由
22
ykx
ypx
，求得
2
22
(,)
pp
A
kk
，同理可得2(2,2)Bpkpk
所以AB中点M的参数方程为
2
2
2
2
2
2
1
()
2
(
2
2
1
()
2
p
pk
k
xpk
k
k
p
pk
k
ypk
k
为参数）
5、设曲线
2cos
(
3sin
x
y
为参数）与
x
轴交点为MN，。点P在曲线上，则,PMPN所
在直线的斜率之积为（）
A、
3
4
B、
4
3
C、
3
4
D、
4
3
解：曲线的普通方程为
22
1
43
xy
，与
x
轴的交点坐标为(2,0),(2,0)，又设曲线上任意
一点
(2cos,3sin)P
，
则,PMPN的斜率的积为
22
22
(3sin)3sin3
(2cos)44(cos1)4MPNP
kk
选A
6、过点(3,2)且与曲线
3cos
(
2sin
x
y
为参数）有相同焦点的椭圆的方程是（）
A、
22
1
1510
xy
B、
22
22
1
1510
xy
C、
22
1
1015
xy
D、
22
22
1
1015
xy
解：曲线
3cos
(
2sin
x
y
为参数）的普通方程为
22
1
94
xy
，把点(3,2)代入选项可知应
选A。再验证一下焦点是否为
(5,0)
7、中心在原点，准线方程为4x，离心率为
1
2
的椭圆方程是（）
A、
2cos
sin
x
y
B、
3cos
2sin
x
y
C、
2cos
3sin
x
y
D、
cos
2sin
x
y
解：由
2
4
1
2
a
c
c
a
解得
2
1
a
c
，选C
8、椭圆
3cos
(
5sin
x
y
为参数）的两个焦点坐标是（）
A、(0,3),(0,3)B、(0,4),(0,4)C、(4,0),(4,0)D、(3,0),(3,0)
解：由椭圆
3cos
(
5sin
x
y
为参数），可知225,3,4abcab，且焦点在y轴上，
焦点坐标为(0,4),(0,4)，选B。
9、点(1,0)P到曲线
2
2
xt
yt
（其中，参数tR）上的点的最短距离是（）
A、0B、1C、2D、2
解：方程
2
2
xt
yt
表示抛物线24yx的参数方程，其中2p，设点(,)Mxy是抛物线上
任意一点，则点(,)Mxy到点(1,0)P的距离222(1)2111dxyxxx
所以最短距离为1，选B。
10、双曲线
3tan
(
1
cos
x
y
为参数）的两条准线方程分别是__________.
解：双曲线的普通方程为
2
21
9
x
y，所以双曲线的焦点在y轴上，且中心在原点，对称
轴为
x
轴，y轴，所以两条准线方程为
2a
y
c
，且221,3,10abcab，所
以准线方程为
10
10
y。
11、椭圆
2cos
sin
x
y
中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程是__________
解：设斜率为1的平行弦的方程为yxb，代入椭圆方程
2
21
4
x
y可得。
2258440xbxb，所以方程的两根
12
,xx满足
12
8
5
b
xx，
2
12
44
5
b
xx
，则
中点(,)Mxy满足
12
4
25
5
xx
b
x
b
yxb
消去b得到40xy（椭圆内部分），即为斜率为
1的平行弦的中点轨迹方程。
第二节直线的参数方程
一、知识点;
1、经过点
000
(,)Mxy，倾斜角为
()
2
的直线l的普通方程是
00
tan()yyxx
如图所示在直线l上任取一点(,)Mxy，则
00000
(,)(,)(,)MMxyxyxxyy
uuuuuur
设
e
是直线l的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同），则
(cos,sin),(0,)e
因为
0
MMe
uuuuuur
P，所以存在实数tR，使
0
MMte
uuuuuur
，即
00
(,)(cos,sin)xxyyt
于是
00
cos,sinxxtyyt，即
00
cos,sinxxtyyt
因此，经过点
000
(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为
0
0
cos
(
sin
xxt
t
yyt
为参数）
2、因为(cos,sin),1ee，由
0
MMte
uuuuuur
，得到
0
MMt
uuuuuur
，因此，直线上的动
点M到定点
0
M的距离，等于0
0
cos
(
sin
xxt
t
yyt
为参数)中参数
t
的绝对值。
3、当0时，sin0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上。此时，
若0t，则
0
MM
uuuuuur
的方向向上；若0t，则
0
MM
uuuuuur
的方向向下；若0t，则点M与
点
0
M重合。
4、直线的一般参数方程转化为标准的参数方程
已知直线的参数方程为0
0
(
xxat
t
yybt
为参数），由直线的参数方程的标准形式
0
0
cos
(
sin
xxt
t
yyt
为参数）可知，参数
t
的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者
的平方和为1，故可将原式转化为
22
0
22
22
0
22
(
a
xxabt
ab
t
b
yyabt
ab
为参数）
再令
2222
cos,sin
ab
abab
，由直线倾斜角的范围让
在0,范围内取值，
并且把22abt
看成标准方程中的参数't，即得标准形式的参数方程式为
0
0
'cos
('
'sin
xxt
t
yyt
为参数）
5、直线参数方程的应用
设过点
000
(,)Pxy，倾斜角为的直线l的参数方程是0
0
cos
(
sin
xxt
t
yyt
为参数）
若
12
,PP是l上的两点，它们所对应的参数分别为
12
,tt，则
（1）
12
,PP两点的坐标分别是
0101
(cos,sin)xtyt，
0202
(cos,sin)xtyt
（2）
1212
PPtt
（3）线段
12
PP的中点P所对应的参数为
t
，则12
2
tt
t
，中点P到定点
0
P的距离
12
02
tt
PPt
（4）若
0
P为线段
12
PP的中点，则
12
0tt
（5）曲线上有两点A，B关于直线ykxb对称，可设AB中点为
0
(,)Makab
，则直线
AB的参数方程为
cos
sin
xat
ykabt
，其中
sin1
cosk
，再利用
12
0tt解之。
二、例题
例1、直线
22
(
32
xt
t
yt
为参数）上与点(2,3)P距离等于2的点的坐标是_________
解：根据距离公式可得22222tt，解得
2
2
t，代入可得(3,4)或(1,2)
例2、直线l过点
0
(1,5)M，倾斜角为
3
，且与直线
230xy
交于M，则
0
MM的长
为-_________
解：直线l的方程为
1
2
3
5
2
t
x
yt
代入
230xy
，解得
0
MM=1063t
例3、已知直线l的斜率1k，经过点
0
(2,1)M，点M在直线上，以
0
MM
uuuuuur
的数量
t
为
参数，则直线l的参数方程为__________.
解：由参数
t
的几何意义可知，直线的参数方程可以写成标准形式0
0
cos
sin
xxt
yyt
(t为参
数）其中为直线的倾斜角。
因为直线的斜率为1，所以直线的倾斜角0135，所以
22
cos,sin
22
所以直线l的参数方程为
2
2
2
(
2
1
2
xt
t
yt
为参数）
例4、设曲线C的参数方程为
23cos
(
13sin
x
y
为参数），直线l的方程为320xy，
则曲线C到直线l的距离为
710
10
的点的个数为（）
A、1B、2C、3D、4
解：由曲线C的参数方程得对应的圆的圆心坐标为(2,1)C，半径3r，那么C到直线
320xy的距离
22
23(1)2
710
10
1(3)
d
，那么直线l与曲线C相交，结合图像可
知C上到l距离为
710
10
的点有2个。
例5、设极点与原点重合，极轴与
x
轴正半轴重合。已知曲线
1
C的极坐标方程是
2
sin()(0)
42
kk
，曲线
2
C的参数方程为
22cos
(
2sin()
2
x
y
为参数），则两曲
线公共点的个数为_________
解：将两曲线方程化为直角坐标方程，得
1
:10Ckxky，
2
:20Cxy，两直线平
行或重合，所以公共点的个数为0或无数。填：0或无数
例6、已知直线:34120lxy与圆
12cos
:
22sin
x
C
y
(为参数），试判断它们的公
共点的个数
解：圆的方程可化为22(1)(2)4xy，其圆心为(1,2)C，半径为2，圆心到直线的
距离为
22
32412
7
2
5
34
d
，所以直线和圆相交，交点个数为2.
例7、设直线
1
l过点(2,4)A，倾斜角为
5
6
（1）求
1
l的参数方程；（2）设直线
2
:10lxy，
2
l与
1
l的交点为B，求AB
解：（1）由题意得
5
2cos
6
(
5
4sin
6
xt
t
yt
为参数），即
3
2
2
(
1
4
2
xt
t
yt
为参数）
（2）点B在
1
l上，只要求出B点对应的参数
t
，则t就是点B到点A的距离，把
1
l的参数
方程代入
2
l中，得
31
(2)(4)10
22
tt，所以
31
7
2
t
，即
14
7(31)
31
t
，
t
为正值，
根据参数的几何意义，知7(31)AB
例8、直线
12
2
xt
yt
(t为参数）与圆
3cos
3sin
x
y
(为参数）交于A，B两点，求AB的
长
解：若求AB的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数
方程化为普通方程。由圆的参数方程
3cos
3sin
x
y
知圆的普通方程为229xy
所以将直线方程
12
2
xt
yt
代入圆的方程，得22(12)(2)9tt
即25840tt，所以由
1212
84
,
55
tttt
知22
121212
6480125
215()45
255
ABtttttt
例9、已知点(,)pxy是圆22(1)1xy上任意一点，欲使不等式0xyc恒成立，
求
c
的取值范围
解：圆22(1)1xy的参数方程为
cos
1sin
x
y
，
则有1sincos12sin()
4
xy
()12sin()
4
xy
，()xy的最大值为12，由于0xyc恒成
立，即12c
例10、在圆2242200xyxy上求两点,AB，使它们到直线43190xy的距
离分别最短和最长。
解：将圆的方程化为参数方程
25cos
(
15sin
x
y
为参数），则圆上点P的坐标为
(25cos,15sin)，它到所给直线的距离为
22
20cos15sin30
4cos3sin6
43
d
4366
5(cossin)5cos()
5555
，其中
43
cos,sin
55
。故当
cos()1，即时，d最长，这时，点A的坐标为(6,4)；当cos()1，
即时，d最短，这时，点B的坐标为(2,2)
例11、已知直线:10lxy与抛物线2yx交于A，B两点，求线段AB的长和点(1,2)M
到A，B两点的距离之积
解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为
3
4
，所以它们的参数方程是
3
1cos
4
(
3
2sin
4
xt
t
yt
为参数）即
2
1
2
(
2
2
2
xt
t
yt
为参数）
把它代入抛物线的方程，得2220tt，解得
12
210210
,
22
tt
由参数的几何意义得
12
10ABtt，
12
2MAMBtt
例12、经过点(2,1)M作直线l，交椭圆
22
1
164
xy
于A，B两点。如果点M恰好为线段AB
的中点，求直线l的方程
解：设过点(2,1)M的直线l的参数方程为
2cos
(
1sin
xt
t
yt
为参数）
代入椭圆方程，整理得
22(3sin1)4(cos2sin)80tt
由
t
的几何意义知
1
MAt，
2
MBt，因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，
所以
12
2
4(cos2sin)
3sin1
tt
，因为点M为线段AB的中点，所以120
2
tt
即cos2sin0，于是直线的斜率为
1
tan
2
k，因此，直线l的方程是
1
1(2)
2
yx，即240xy
三、练习题
1、直线3490xy与圆
2cos
2sin
x
y
(为参数）的位置关系是（）
A、相切B、相离C、直线过圆心D、相交但直线不过圆心
解：因为
22
009
9
2
5
34
dr
，所以直线与圆相交，选D
2、经过点(1,5)M且倾斜角为
3
的直线，以定点M到动点P的位移
t
为参数的参数方程是
（）
A、
1
1
2
3
5
2
xt
yt
B、
1
1
2
3
5
2
xt
yt
C、
1
1
2
3
5
2
xt
yt
D、
1
1
2
3
5
2
xt
yt
解：根据直线参数方程的定义，易得
1cos
3
5sin
3
xt
yt
，即
1
1
2
3
5
2
xt
yt
选D
3、参数方程
1
(
2
xt
t
t
y
为参数）所表示的曲线是（）
A、一条射线B、两条射线C、一条直线D、两条直线
解：因为
1
,22,xt
t
U，即2x或2x，故是两条射线。B
4、曲线
cos
(
sin
x
y
为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）
A、
1
2
B、
2
2
C、1D、2
解：由题意得cossind，下面只解0,
2
的情况，其他情况类似，当0,
2
时，cossin2sin()
4
d
，故距离的最大值是2，选D
5、曲线方程
22cos
(
2sin
x
y
为参数）上的点与定点(1,1)A距离的最小值是______
解：最小距离2
22(1)12102d
6、对任意实数k，若直线ykxb与圆
32cos
12sin
x
y
(02)恒有公共点，则b
的取值范围是________
解：由题意得点(0,)b恒在圆内，由12sin1,3y，则1,3b
7、设直线l经过点
0
(1,5)M、倾斜角为
3
（1）求直线l的参数方程；
（2）求直线l和直线
230xy
的交点到点
0
M的距离；
（3）求直线l和圆2216xy的两个交点到点
0
M的距离的和与积
解：（1）直线l的参数方程为
1
1
2
3
5
2
xt
yt
(t为参数）
（2）将直线l的参数方程中的,xy代入
230xy
，得
(1063)t
，所以，直线
l和直线230xy的交点到点
0
M的距离为1063t
（3）将直线l的参数方程中的,xy代入2216xy，得2(153)100tt
设该方程的两根为
12
,tt，则
1212
(153),10tttt，可知
12
,tt均为负值，所以
1212
()153tttt，所以两个交点到点
0
M的距离的和为153，积为10.
8、已知经过点(2,0)P，斜率为
4
3
的直线和抛物线22yx相交于A，B两点，设线段AB的
中点M，求点M的坐标。
解：设过点(2,0)P的直线AB的倾斜角为
，由已知可得
34
cos,sin
55
所以，直线的参数方程为
3
2
5
(
4
5
xt
t
yt
为参数）代入22yx，整理得2815500tt
中点M的相应参数是12
15
216
tt
t
，所以点M的坐标为
413
(,)
164
9、经过点(2,1)M作直线交双曲线221xy于A,B两点，如果点M对线段AB的中点，
求直线AB的方程。
解：设过点(2,1)M的直线AB的参数方程为
2cos
(
1sin
xt
t
yt
为参数）代入双曲线方程，整理得
222(cossin)2(2cossin)20tt，设
12
,tt为上述方程的两个根，则
12
22
4cos2sin
cossin
tt
，因为点M为线段AB的中点，由
t
的几何意义知
12
0tt
所以4cos2sin0，于是得到tan2k，因此，所求直线的方程为
12(2)yx，即230xy
10、经过抛物线22(0)ypxp外一点(2,4)A且倾斜角为045的直线l与抛物线分别交
于
12
,MM，如果
1122
,,AMMMAM成等比数列，求p的值。
解：直线l的参数方程为
2
2
2
(
2
4
2
xt
t
yt
为参数），代入22(0)ypxp，得到
222(4)8(4)0tptp，
由根与系数的关系，得到
1212
22(4),8(4)ttpttp
因为
2
1212
MMAMAM，所以2
121212
()tttttt，即5
1212
()5tttt
所以
2
22(4)58(4)pp
，即451pp