高数题目及答案

高数题目及答案

文殊坊-初中物理实验方法

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第一章函数与极限

§1函数

必作习题

P16－184(5)(6)(8)，6，8，9，11，16，17

必交习题

一、一列火车以初速度

0

v，等加速度

a

出站，当速度达到

1

v后，火车按等速运动前进；

从出站经过T时间后，又以等减速度a2进站，直至停止。

(1)写出火车速度

v

与时间t的函数关系式；

(2)作出函数)(tvv的图形。

二、证明函数

12



x

x

y在),(内是有界的。

1/1

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三、判断下列函数的奇偶性：

(1)

x

xxf

1

sin)(2；

(2)

12

12

)(







x

x

xf；

(3))1ln()(2xxxf。

四、证明：若)(xf为奇函数，且在0x有定义，则0)0(f。

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§2初等函数

必作习题

P31－331，8，9，10，16，17

必交习题

一、设)(xf的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：

(1))(xef；

(2))(lnxf；

(3))(arcsinxf；

(4))(cosxf。

二、(1)设)1ln()(2xxxf，求)(xef；

(2)设23)1(2xxxf，求)(xf；

(3)设

x

xf





1

1

)(，求)]([xff，}

)(

1

{

xf

f。)1,0(xx

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三、设)(xf是

x

的二次函数，且1)0(f，xxfxf2)()1(，求)(xf。

四、设













0,2

0,2

)(

xx

xx

xf，













0,

0,

)(

2

xx

xx

xg，求)]([xgf。

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§3数列的极限

必作习题

P423(3)(4)，4，5，6

必交习题

一、写出下列数列的前五项

(1)3sin

3

1

n

n

x

n

；

(2)

nnnn

x

n











222

1

2

1

1

1



；

(3)

n

x

n

x

n

nn

)1(1

2

1

1

122







，。

二、已知

n

x

n

n

)1(1

，用定义证明：0lim



n

n

x

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§4函数的极限

必作习题

P501(2)(4)，2(2)，3，4，7，9

必交习题

一、用极限的定义证明：4

1

22

lim

2

1







x

x

x

。

二、用极限的定义证明：6

56

lim



x

x

x

。

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三、研究下列函数在0x处的左、右极限，并指出是否有极限：

(1)

x

x

xf

||

)(；

(2)



















0,1

0,0

0,1

)(

2xx

x

xx

xf

四、用极限的定义证明：2)106(lim2

2





xx

x

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§5无穷大与无穷小§6极限运算法则

必作习题

P54-553，4，5；P631，2，3

必交习题

一、举例说明(当0x时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无

穷大量。

二、求下列数列的极限：

(1))

121

(lim

222n

n

nnn







=

(2)

nn

nn

n65

65

lim

11







=

(3))

3

)1(

27

1

9

1

3

1

1(lim

1

1











n

n

n

=

1/1

三、求下列函数的极限：

(1)

1

1

lim

1



x

x

x

=

(2)

h

xhx

h

33

0

)(

lim





=

(3)))((limxaxx

x





=

(4))

1

3

1

1

(lim

3

1x

xx





=

四、设2

1

2)1(

lim

23

34







xx

bxxa

x

，求ba,。

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§7极限存在准则，两个重要极限§8无穷小的比较

必作习题

P

71

1，2，4；P

74

1，2，3，4

必交习题

一、求下列极限：

(1)

x

x

x

3

sinlim



=

(2)

ax

ax

ax





22sinsin

lim=

(3)

11

4sin

lim

0x

x

x

=

(4)

1

1

4

lim



















x

xx

x

=

(5)

x

x

x

x

1

0

1

1

lim



















=

二、用极限存在准则求证下列极限：

(1)设1(0ia

i

～),m},,max{

1m

aaM；证明：

Maaan

n

m

nn

n







21

lim

1/1

(2)设3

1

x，),2,1(

3

)1(3

1











n

x

x

x

n

n

n

。证明此数列收敛，并求出它的极限。

三、确定k的值，使下列函数与kx，当0x时是同阶无穷小：

(1)x

x





1

1

1

；

(2)

5

3243xx；

(3)xxsin1tg1。

四、已知

1

1

lim

2

1







x

bax

x

，求ba和.。

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三、用极限定义证明：

(1)若)(nax

n

，则对任一自然数k，也有)(



nax

kn

；

(2)若)(nax

n

，则)(||||nax

n

，并举例说明反之未必成立；

(3)若)(0||nx

n

，则)(0nx

n

。

四、设数列

}{

n

x有界，又0lim

n





n

y，证明0lim

n





nn

yx。

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§9函数的连续性与间断点

必作习题

P801，2，3

必交习题

一、当0x时下列函数)(xf无定义，试定义)0(f的值，使)(xf在0x连续：

(1)

11

11

)(

3





x

x

xf；

(2)

x

xxf

1

sinsin)(。

二、指出下列函数的间断点并判定其类型：

(1)

31

1

)(

x

x

xf





；

(2)

)1(||

)(

2

2







xx

xx

xf；

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(3)



















01)1ln(

0

)(

1

1

xx

xe

xf

x

。

三、确定ba和，使函数

)1)((

)(







xax

be

xf

x

有无穷间断点0x；有可去间断点

1x。

四、设函数)(xf在),(上有定义，且对任何

21

,xx有

)()()(

2121

xfxfxxf，

证明：若0)(xxf在连续，则),()(在xf上连续。

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§10连续函数的运算与初等函数的连续性

§11闭区间上连续函数的性质

必作习题

P85-861，2，3；P911，2，3

必交习题

一、欲使



















1)ln(

11

1

)(

2

2

xxxb

x

xxa

xf

，

，

，

在1x处连续，求ba,。

二、求下列极限：

(1)

x

aax

x

ln)ln(

lim

0





=

(2)x

x

x

ex1)(lim

0





=

(3)

x

(x-

x

cos21

)sin

lim

3

3









=

1/1

1/1

(4)

x

x

x2

sin

1

0

)(coslim



=

三、证明方程xx351至少有一根介于1和2之间。

四、设函数)(xf在区间]2,0[a上连续，)2()0(aff，证明在区间],0[a上至少存在一

点

0

x使得)()(

00

axfxf。

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