专升本数学考试真题

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观察法案例-影子老师

数学专升本考试试题

19．（本题满分6分）

设函数



















01)1ln(

0

)(

1

xx

xxe

xfx，求

)(xf



．

20．（本题满分6分）

求函数

)sin(yxy

的二阶导数．

21．（本题满分6分）

求曲线342)(xxxf的极值点．

22．（本题满分6分）

计算



dx

x

x

12

3

．

23．（本题满分6分）

若)(xf的一个原函数为xxln，求dxxfx)(

．

24．（本题满分6分）

已知





0

22

1

1

dx

x

k

，求常数k的值．

25．（本题满分6分）

求函数5126),(23yxxyyxf的极值．

26．（本题满分10分）

求

D

dxdyyx)(2，其中D是由曲线2xy与2yx所围成的平面区域．

27．（本题满分10分）

设adxxfxxf

0

2)()(，且常数1a，求证：

)1(3

)(

3

0



a

a

dxxfa

．

28．（本题满分10分）

求函数

x

x

y

ln



的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近

线并作出函数的图形．

参考答案

一、选择题

1．B2．B3．D4．D5．D

二、填空题

6．

122e

7．

3

1

3e

8．

1

1

x

9．3

10．2

1

e11．0x

12．513．

)1(

2

1

4

xy



14．

4

sin

2



15．0

三、解答题

16．解这是一个分段函数，

)(xf

在点

0x

的左极限和右极限都存在．

2

1

arctanlim)(lim

00











x

xf

xx

2

1

arctanlim)(lim

00











x

xf

xx

)(lim)(lim

00

xfxf

xx











故当

0x

时，

)(xf

的极限不存在，点

0x

是

)(xf

的第一类间断

点．

17．解原式=

2

2

2

1

1

2

11

1

lim

12

1

lim

2

2

2















x

x

x

x

xx

xx

．

18．解设xxxxf

1

)1(arcsin)(．

由于0x是初等函数)(lnxf的可去间断点，

故















x

xxx

xxxfxf

1

000

)1(arcsinlimln)(limln)(lnlim

















x

xx

xx

1

00

)1(limarcsinlimln

1ln)0ln(ee

．

19．解首先在0x时，分别求出函数各表达式的导数，即

当0x时，)

1

1(

1

)()(

1

2

111

x

e

x

xeexexfxxxx







当01x时，

1

1

)1ln()(











x

xxf

．

然后分别求出在0x处函数的左导数和右导数，即

1

1

1

lim)0(

0













x

f

x

0)

1

1(lim)0(

1

0









x

efx

x

从而)0()0(









ff，函数在

0x

处不可导．

所以



























0

1

1

0)

1

1(

)(

1

x

x

x

x

e

xf

x

20．解

)sin(yxy

)cos()cos()1)(cos(yxyyxyyxy











①

)1()sin()cos()1)(sin(yyxyyxyyyxy



















2)1)(sin()cos(1yyxyyx









)cos(1

)1)(sin(2

yx

yyx

y











②

又由①解得

)cos(1

)cos(

yx

yx

y









代入②得

2

)cos(1

)cos(1

)cos(

1)cos(

yx

yx

yx

yx

y

























3)cos(1

)sin(

yx

yx







21．解先出求

)(xf

的一阶导数：

)

2

3

(464)(223



xxxxxf

令

0)(



xf

即

0)

2

3

(42xx

解得驻点为

2

3

,0

21

xx

．

再求出

)(xf

的二阶导数)1(121212)(2



xxxxxf．

当

2

3

2

x

时，

09)

2

3

(



f

，故

16

27

)

2

3

(f

是极小值．

当0

1

x时，

0)0(



f

，在

)0,(

内，

0)(



xf

，在

)

2

3

,0(

内

0)(



xf

故0

1

x不是极值点．

总之曲线242)(xxxf只有极小值点

2

3

x

．

22．解

11

)1(

1122

2

2

3

2

3

















x

x

x

x

xxx

x

xxx

x

x













dx

x

x

xdxdx

x

x

xdx

x

x

1

)

1

(

1222

3







Cxx

x

xd

x)1ln(

2

1

2

1

1

)1(

2

1

2

1

22

2

2

23．解由题设知

1ln)(lnln)ln()(







xxxxxxxf

故dxxxdxxfx)1(ln)(

xdxxdxxln

22

2

1

2

1

lnxdxx

222

2

1

)(lnln

2

1

xxdxxx

222

2

11

2

1

ln

2

1

xdx

x

xxx

22

2

1

2

1

ln

2

1

xxdxxx

Cxxx22

4

1

ln

2

1

．

24．解













0

2

0

2

0

21

1

lim

1

1

1a

a

dx

x

kdx

x

kdx

x

k

2

)arctan(limarctanlim0







kakxk

a

a

a

又

2

1

1

0

2







dx

x

k

故

2

1

2





k

解得



1

k

．

25．解123,622











y

y

f

x

x

f

解方程组











0123

062

2y

x

得驻点)2,3(),2,3(

00

BA

又

yfCfBfA

yyxyxx

6,0,2













对于驻点

126,0,2:

2

3

0







y

x

yCBAA

，故0242ACB

驻点

0

A不是极值点．

对于驻点

126,0,2:

2

3

0







y

x

yCBAB

故0242ACB，又

02A

．

函数),(yxf在)2,3(

0

B点取得极大值

30524189)2()2,3(3f

26．解由2xy与2yx得两曲线的交点为

)0,0(O

与

)1,1(A

)0(2yyx的反函数为xy．



dxyyxdyyxdxdxdyyxx

x

x

x

D

2

1

0

22

2

2

1

0

2)

2

1

()()(

140

33

)

10

3

4

1

7

2

(

)

2

1

()

2

1

(

1

0

52

2

7

1

0

44

2

5

















xxx

dxxxxx

27．证













aaadxdxxfxdxxf

00

2

0

)()(

dxdxxfdxxaaa















000

2)(

aa

adxdxxfx

00

0

3)(

3

1

adxxfa

a

0

3

)(

3



3

)()(

3

00

a

dxxfadxxfaa

于是

)1(3

)(

3

0



a

a

dxxfa

．

28．解（1）先求函数的定义域为

),0(

．

（2）求

y



和驻点：

2

ln1

x

x

y







，令

0



y

得驻点ex．

（3）由

y



的符号确定函数的单调增减区间及极值．

当ex0时，

0

ln1

2









x

x

y

，所以y单调增加；

当ex时，

0



y

，所以y单调减少．

由极值的第一充分条件可知

e

y

ex

1





为极大值．

（4）求

y



并确定

y



的符号：

3

3ln2

x

x

y







，令

0



y

得2

3

ex．

当2

3

0ex时，0



y，曲线y为凸的；

当2

3

ex时，0



y，曲线y为凹的．

根据拐点的充分条件可知点)

2

3

,(2

3

2

3

ee为拐点．

这里的

y



和y



的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。

另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

x

),0(e

e

),(2

3

ee2

3

e

),(2

3

e

y



＋

0

－－－

y



－

0

＋

就表上所给的

y



和

y



符号，可得到：

函数

x

x

y

ln



的单调增加区间为

),0(e

；

函数

x

x

y

ln



的单调减少区间为

),(e

；

函数

x

x

y

ln



的极大值为

e

ey

1

)(

；

函数

x

x

y

ln



的凸区间为),0(2

3

e；

函数

x

x

y

ln



的凹区间为),(2

3

e；

函数

x

x

y

ln



的拐点为)

2

3

,(2

3

2

3

ee．

（5）因为

0

ln

lim

x

x

x

，





x

x

x

ln

lim

0

所以曲线

x

x

y

ln



有

水平渐近线

0y

铅垂渐近线0x

（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．