和立方公式
小学生好习惯-电脑小知识
2023年2月19日发(作者：张沛霖)立方和公式
立方差公式
三项立方和公式
推导过程：
完全立方公式
(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³
立方和累加
正整数范围中
注：可用数学归纳法证明
公式证明
迭代法一
我们知道：
0次方和的求和公式
，即
1次方和的求和公式
，即
2次方和的求和公式
，即
——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式
，迭代即得。
具体如下：
(k+1)3-k3=(k3+3k2+3k+1)-k3=3k2+3k+1
利用上面这个式子有：
23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32+3×3+1
53-43=3×42+3×4+1
……
(n+1)3-n3=3×n2+3n+1
把上述各等式左右分别相加得到：
(n+1)3-13=3×(12+22+32+……+n2)+3×(1+2+3+……+n)+n×1
n3+3n2+3n+1-1=3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n(1)
其中12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6
代入(1)式，整理後得13+23+33+……+n3=[n(n+1)/2]2
迭代法二
取公式：
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入，
得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即
推导完毕。
因式分解证明
几何验证
图象化立方和公式
透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到
，可使用
的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：
·
·
·
把三个部分加在一起，便得：
=
=
之后，把
减去它，便得：
公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
=
可透过完全平方公式，得到：
=
=
这样便可证明：
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