体心立方堆积
文明公约十条-二十年后的故乡
2023年2月18日发(作者：电子邮件模板)金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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实用标准文案
8金属的结构和性质
【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶
点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1〔a〕和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成
的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。
图
由图和正四面体的立体几何知识可知：
边长AB=2R
22
1
221
AMAEEM2ABBE
DE
高
3
1
22
1
2
1
2222
2AB21AB1AE
R23R
2R
233
2
6R
3
OA
3
AM6R
中心到顶点的距离：42
OM
1
AM6R
中心到底边的高度：46
中心到两顶点连线的夹角为：AOB
26R/222
2222R
cos1OAOBAB
cos1
26R/2
2
2OAOB
cos11/3
中心到球面的最短距离OAR
此题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配
位
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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实用标准文案
多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的根底
(见习题9.04)。
【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直
径。空隙的实际体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空
隙。
图
由图〔c〕知，八面体空隙中心到顶点的距离为：
111
OCAC2AB22R2R
222
而八面体空隙中心到球面的最短距离为：
OCR2RR
此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。
是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时
r/r
的下限值。
【8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。
解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点〔球心〕的距离为：
OA
2
AD
2
33
图
三角形空隙中心到球面的距离为：
OARR
此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155是“三
角形离子配位多面体〞中
r/r
的下限值。
【8.4】半径为R的圆球堆积成
A3
结构，计算简单立方晶胞参数
a
和
c
的数值。
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实用标准文案
解：图9.4示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体
空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍
即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a或b。根据题的结果，可得：
图
ab2R
c26R246R
3
26
3
c/a
3
【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，
八面体空隙只能容纳半径为
0.154R的
小球，四面体空隙可容纳半径为
0.291R
的小球。
证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图
9.5〔a〕和〔b〕。由图9.5〔a〕可见，
八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中
6个八面体空隙
6
1
12
1
24。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些
八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a，短轴为a〔a是晶胞参数〕。
〔圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心〕
图
八面体空隙所能容纳的小球的最大半径
r
0
即从空隙中心〔沿短轴〕到球面的距离，该
a
R
C
3
距离为2
。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而
a
4a
R
r
0
2
R
R
。代入
21
3，得3。
由图9.5〔b〕可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中
641
心，因此每个晶胞有
12个四面体空隙
2
。而每个晶胞有
2个球，所以每个球平均
摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为
3a
a，4条短棱皆为2。
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实用标准文案
四面体空隙所能容纳的小球的最大半径
r
T
等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球
22
1
2
aa
的半径R。而从空隙中心到顶点的距离为
24
5a
4
，所以小球的最大半径为
5
aR
5
4
443
【8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。
解：图9.6示出等径圆球密置单层的—局部。
图
由图可见，每个球(如A)周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所
612
以每个球平均摊到3个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单
位只包含一个球〔截面〕和
2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。
设等径圆球的半径为
R，那么图中平行四边形单位的边长
为2R。所以二维堆积系数为：
R2R2
2
4R22Rsin603/2
【8.7】指出A1型和
A3
型等径圆球密置单层的方向是什么？
解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与
C
3
轴垂直，即与(111)面平行。A3型等
径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积
型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。
A1型密堆积可划分出如图9.7(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆
球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即
C
3
轴。每一晶胞有4条体
对角线，即在4个方向上都有
C
3
轴的对称性。因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层。
图
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用准文案
A3型密堆可划分出如9.7(b)所示的六方晶胞。球A和球B所在的堆都是密置．些面平行于
(001)晶面，即垂直于c，而c平行于六重
C
6
。
【8.8】按下面〔a〕~〔c〕A1、A2及
A3
型金属晶体的构特征。
〔a〕原子密置的堆方式、重复周期〔A2型除外〕、原子的配位数及配位情况。
（b〕空隙的种和大小、空隙中心的位置及平均每个原子到的空隙数目。
（c〕原子的堆系数、所属晶系、晶胞中原子的坐参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空
点型式等。
解：
(a)A1，A2和A3型金属晶体中原子的堆方式分立方最密堆(ccp)、体心立方密
堆(bcp)相六方最密堆(hcp)。A1型堆中密堆的重复方式ABCABCABC⋯，三
一重复周期，A3型堆中密堆的重复方式ABABAB⋯，两一重复周期。Al和A3
型堆中原子的配位数皆12，而A2型堆中原子的配位数8—14，在A1型和A3型堆
中，中心原子与所有配位原子都接触．同6个，上下两各3个。所不同的是，A1型
堆中，上下两配位原子沿
C
3
的投影相差60呈
C
6
的称性，而A3型堆中，上
下两配位原子沿c的投影互相重合。在A2型堆中，8个近距离(与中心原子相距
3a
2)配位原子在立方晶胞的点上，6个距离(与中心原子相距
a
)配位原子在相品胞的体心上。
(b)A1型堆和A3型堆都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可
容半径
0.225R
的小原子．八面体空隙可容半径的小原子(R堆原子的
半径)。在两种堆中，每个原子平均到两个四面体空隙和1个八面体空隙。差在于，
两种堆中空隙的分布不同。在A1型堆中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体角
6R
上，到晶胞点的距离2。八面体空隙的中心分在晶胞的体心和棱心上。在
0,0,
3
;0,0,5;2,1,1;2,1,7
A3型堆中，四面体空隙中心的坐参数分8
8338338。而八面体
2,1,1;2,1,3
空隙中心的坐参数分
334334
。A2型堆中有形八面体空隙、形四面体
空隙和三角形空隙(亦可形三方双空隙)。八面体空隙和四面体空隙在空上是重复
利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子平均到3个八面体空
隙，空隙可容的小原子的最大半径0.154R。四面体空隙中心在晶胞的面上。每个
原子平均到6个四面体空隙，空隙可容的小原子的最大半径
0.291R
。三角形空隙
上是上述两种多面体空隙的接面，算起来，每个原子到12个三角形空隙。
〔c〕
金属的构形式A1A2A3
原子的堆系数74.05%68.02%74.05%
所属晶系立方立方六方
晶胞形式面心立方体心立方六方
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实用标准文案
晶胞中原子
110,0,0;0,0,0;
的坐标参数0,0,0;,,0;
111211
22
1111
,,
23
,,
2232
,0,;0,,
2222
晶胞参数与
a22R
4ab2R
原子半径的关系aR
43
c6R
3
点阵形式面心立方体心立方简单六方
综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。
它们具有共性，也有差异。
尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空
隙数目多，形状不规那么，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。
A1型和A3
型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。差异是它
们的对称性和周期性不同。
A3
型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其
密置层方向与
c轴垂直。而A1型结构的对称性比A3型结构的对称性高，它属立方晶系，可
划分出包含4
个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。
A1型结构将原子密置
层中
C
6
轴所包含的
C
3
轴对称性保存了下来。另外，
A3型结构可抽象出简单六方点阵，而
A1型结构可抽象出面心立方点阵。
【8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。
解：等径圆球的密置双层示于图9.9。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最根本
的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如
球A和球B。
图
密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为
二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的
点阵素单位一样，每个单位也只包含
1个点阵点，但它代表2个球。
等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双
层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。
前者由3个相邻的A球和
1个B球或3个相邻的B球和1个A球构成。后者那么由3个相邻的A球和3个相邻的B球构
成。球数:四面体空隙数:八面体空隙数=
2:2:1
【8.10】金属铜属于A1型结构，试计算〔111〕、〔110〕和〔100〕等面上铜原子的堆积系数。
解：参照金属铜的面心立方晶胞，画出3个晶面上原子的分布情况如下〔图中未示出原子的
接触情况〕：
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实用标准文案
〔111〕面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。该面还是的铜原子的堆积系数等于
三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为R的球
11
33
26
，所以该面上原子的堆积系数为：
2
R2
2R23R23
【8.11】金属铂为
A1型结构，立方晶胞参数
a392.3pm
，Pt的相对原子质量为，
试求金属铂的密度及原子半径。
解：因为金属铂属于
A1型结构，所以每个立方晶胞中有4个原子。因而其密度为：
D
4M
4195.0gmol1
a3N
A
1010cm
3
1023mol
1
21.45gcm3
a和原子半径R的
A1型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触，因此晶胞参数
关系为
a22R
，所以：
R
a392.3pm
2222
138.7pm
【8.12】硅的结构和金刚石相同，
Si
的共价半径为117
pm
，求硅的晶胞参数，晶胞体积
和晶胞密度。
解：硅的立方晶胞中有8个硅原子，它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数
相同。硅的共价半径和晶胞参数的关系可通过晶胞对角线的长度推导出来。设硅的共价半径
为
r
Si
，晶胞参数为a，那么根据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为
8r
Si
。而体对角线
的长度又等于
3a
，因而有
8r
Si
3a
，所以：
a
8
r
Si8117pm540pm
33
晶胞体积为：
8
3
V
a3117pm
1.58108pm3
3
晶体密度为：
D
88.29gmol1
8
3
117
1010cm6.0221023mol1
3
2.37gcm3
金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型〔A4型〕，这是一种空旷的结构型式，原子
的空间占有率只有34.01%。
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【8.13】金属钛为六方最密堆积结构，钛原子半径为
146pm
，试计算理想的六方晶胞
参数及晶体密度。
解：晶胞参数为：
ab2R2146pm292pm
c46R46146pm477pm
晶体密度为：
33
D
2M
abcsin120
N
A
247.87gmol1
24771010cm
3
1023mol1
2921010cm
2
4.51gcm3
【8.14】铝为面心立方结构，密度为
2.70gcm1
，试计算它的晶胞参数和原子半径。用
CuKa射线摄取衍射图，
33衍射线的衍射角是多少？
解：铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有
4个原子。由此可得铝的摩尔质量M、晶胞参数
a，晶体密度D及Avogadro常数
N
A之间的关系为：
D4M/a
3
N
A，所以，晶胞参数：
1
1
1
a
4M3426.98gmol3
DN
A
2.70gcm36.0221023mol1
404.9pm
面心立方结构中晶胞参数
a与原子半径R的关系为
a22R
，因此，铝的原子半径为：
a404.9pm
R
22
143.2pm
22
根据Bragg方程得：
sin
2d
hkl
将立方晶系面间距
d
hkl
，晶胞参数a和衍射指标hkl间的关系代入，得：
1
sin
h2k2l2323232
2
2a2
【8.15】金属纳为体心立方结构，a
429pm
，计算：
（a〕
Na
的原子半径；
（b〕金属钠的理论密度；
（d〕〔110〕的间距。
解：
（a〕金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上互相接触，由此推得原子半径r和晶胞
参数a的关系为：
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r
1
3a
4
代入数据得：
r
3
185.8pm
429pm
〔b〕
4
每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：
D
2M222.99gmol1
a3N
A
4291010cm
3
1023mol1
0.967gcm3
d
110
a429pm
1202
1/2
303.4pm
122
〔c〕
【8.16】金属钽为体心立方结构，
a330pm
，试求：
（a〕
Ta
的原子半径；
（b〕金属钽的理论密度〔
Ta
的相对原子质量为181〕；
（c〕〔110〕面的间距
〔d〕假设用
154pm
的X射线，衍射指标为
220的衍射角
的数值是多少？
解：
〔a〕
钽原子的半径为：
r
1
3a
3330pm143pm
〔b〕
44
金属钽的理论密度为：
D
2M2
181gmol1
a3N
A
330
1010cm
3
6.0221023mol1
16.7gcm3
〔c〕〔110〕点阵面的间距为：
d110
a
330pm
233pm
12
12
〔d〕根据Bragg方程得：
sin
220
2d
220
02
2
154pm
1
2d
d
110
330pm/2
2110
【8.17】金属镁属A3型结构，镁的原子半径为
160pm
。
（a〕指出镁晶体所属的空间点阵型式及微观特征对称元素；
（b〕写出晶胞中原子的分数坐标；
（c〕假设原子符合硬球堆积规律，计算金属美的摩尔体积；
〔d〕求
d
002
值。
解：
〔a〕镁晶体的空间点阵型式为简单六方。两个镁原子为一结构基元，或者说一个六方晶胞
即为一结构基元。这与铜、钠、钽等金属晶体中一个原子即为一结构基元的情况不同。这要
从结构基元和点阵的定义来理解。结构基元是晶体结构中作周期性重复的最根本的单位，它
必须满足三个条件，即每个结构基元的化学组成相同、空间结构相同，假设忽略晶体的外表效
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应，它们的周围环境也相同。假设以每个镁原子作为结构基元抽出一个点，这些点不满足点阵
的定义，即不能按连接任意
2个镁原子的矢量进行平移而使整个结构复原。
镁晶体的微观特征对称元素为
6
3和6。
〔b〕晶胞中原子的分数坐标为：
0,0,0;
2,1,1
332。
〔c〕一个晶胞的体积为
abcsin120
，而
1mol
晶体相当于
N
A
/2
个晶胞，故镁晶体的摩尔
体积为：
N
Aabcsin120
N
A
2R2R46R3
2232
42N
A
R3
42
1023mol1
3
1601010cm
3mol1
41mol
镁原子的真实体积为
R3N
A
也可按下述思路计算：3，而在镁晶体中原子的堆积
系数为0.7405，故镁晶体的摩尔体积为：
4
R3N
A
4
31023mol1
160pm
33
1
3mol1
〔d〕
d
0022
d
001，对于A3型结构，
d
001
c
，故镁晶体
002衍射面的面间距为：
d
002
1
d
001
1c146R
26160pm261.3pm
22233
用六方晶系的面间距公式计算，所得结果相同。
【8.18】
Ni
是面心立方金属，晶胞参数
a
352.4pm
，用Cr
Ka
辐射〔229.1pm
〕
拍粉末图，列出可能出现的铺线的衍射指标及其衍射角的数值。
解：对于点阵型式属于面心立方的晶体，可能出现的衍射指标的平方和
h2k2l2
为3，
4，8，11，12，16，19，20，24等。但在此题给定的实验条件下：
sin
h2k2l2229.1pm
h2k2l2
2a2352.4pm
当h
2k2l2
0.3251h2k2l2
h2k2l211时，sin1，这是不允许的。因此，
只能为3，4和8，即
只能出现
111，200和220衍射。相应的衍射角为：
111
arcsin
111
200
arcsin
200
220
arcsin
220
arcsin3
arcsin4
arcsin8
【8.19】金属Ni为A1型结构，原子间接触距离为
249.2pm
，试计算：
〔a〕Ni的密度及Ni的立方晶胞参数；
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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（b〕画出〔100〕、〔110〕、〔111〕面上原子的排布方
式。解：
（a〕由于金属Ni为A1型结构，因而原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触。由此可
求得晶胞参数：
a
晶胞中有
4个Ni原子，因而晶体密度为：
4M458.69gmol1
D
352.41010cm1023mol1a3N
A3
8.91gcm3
（b〕
【8.20】金属锂晶体属立方晶系，〔100〕点阵面的面间距为
350pm
，晶体密度为
0.53gcm3
，从晶胞中包含的原子数目判断该晶体属何种点阵型式？〔
Li
的相对原子质
量为6.941〕。
解：金属锂的立方晶胞参数为：
a
d
100
350pm
设每个晶胞中锂原子数为Z，那么：
0.53gcm3350
3
Z
1010cm
2
1023mol1
1
6.941gmol1
立方晶系晶体的点阵形式有简单立方、体心立方和面心立方三种，而对立方晶系的金属晶体，
可能的点阵形式只有面心立方和体心立方两种。
假设为前者，那么一个晶胞中应至
少有
4个原子。
由此可知，金属锂晶体属于体心立方点阵。
【8.21】灰锡为金刚石型结构，晶胞中包含
8个
Sn
原子，晶胞参数
（a〕写出晶胞中8个
Sn
原子的分数坐标；
（b〕算出Sn的原子半径；
（c〕灰锡的密度为
5.75gcm3
，求
Sn
饿相对原子质量；
〔d〕
白锡属四方晶系，
a583.2pm
，
c318.1pm
，晶胞中含有
4个
Sn
原子，通过
计算说明由白锡转变为灰锡，体积是膨胀了，还是收缩了？
〔e〕
白锡中SnSn间最短距离为
302.2pm
，试比照灰锡数据，估计哪一种锡的配位数
高？
解：
〔a〕晶胞中8个锡原子的分数坐标分别为：
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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0,0,0;
1
,
1
,0;
1
,0,
1
;0,
1
,
1
;
3
,
1
,
1
;
1
,
3
,
1
;
1
,
1
,
3
;
3
,
3
,
3
〔b〕
222222444444444444
灰锡的原子半径为：
r
Sn灰3a
3648.9pm140.5pm
88D
Sn灰
〔c〕
设锡的摩尔质量为
M，灰锡的密度为
，晶胞中原子数为
Z，那
么：
D
Sn灰
a3N
A
M
Z
3
5.75gcm31010cm1023mol
1
8
118.3gmol1
即锡的相对原子质量为
118.3。
〔d〕
由题意，白锡的密度为：
D
Sn白
4M
2
cN
A
a
2
4
118.3gmol1
1010cm318.11010cm6.0221023mol1
7.26gcm3
可见，由白锡转变为灰锡，密度减小，即体积膨胀了。
〔e〕灰锡中Sn－Sn间最短距离为：2r
Sn灰
2
小于白锡中Sn－Sn间最短距离，由此可推断，白锡中原子的配位数高。
【
】有一黄铜合金含
Cu75%，Zn25%〔质量〕，晶体的密度为
8.5gcm
3
。晶体属立
方面心点阵结构，晶胞中含
4个原子。
Cu
的相对原子质量63.5，
Zn
65.4。
〔a〕
求算
Cu
和
Zn
所占的原子百分数；
（b〕每个晶胞中含合金的质量是多少克？
（c〕晶胞体积多大？
（d〕统计原子的原子半径多大？
解：
（a〕设合金中铜的原子分数〔即摩尔分数〕为x，那么锌的原子分数〔即摩尔分数〕为
1x
，
由题意知，
63.5x:65.41x
解之得：
所以，该黄铜合金中，
Cu和Zn的摩尔分数分别为75.5%和24.5%。
〔b〕
每个晶胞中含合金的质量为：
63.5gmol10.2565.4gmol14
22g
6.0221023mol1
4.2510
〔c〕
晶胞的体积等于晶胞中所含合金的质量除以合金的密度，即：
V=4.2510-22g
5.01023cm3
8.5gcm3
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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〔d〕由晶胞的体积可求出晶胞参数：
11
a
V35.01023cm33368pm
由于该合金属立方面心点阵结构，因而统计原子在晶胞面对角线方向上相互接触，由此可推
得统计原子半径为：
a368pm
r
22
130pm
22
【8.23】AuCu无序结构属立方晶系，晶胞参数
a358pm
如图9.3.1c
。假设合金
结
构有〔a〕变为〔c〕时，晶胞大小看作不变，请答复；
（a〕无序结构的点阵型式和结构单元；
（b〕有序结构的点阵型式、结构单元、和原子分数坐标；
（c〕用波长
154pm
的X射线拍粉末图，计算上述两种结构可能在粉末图中出现的衍射
线的最小衍射角的数值。
解：
〔a〕
无序结构的点阵型式为面心立方，结构基元为
Cu
1
Au
x，即一个统计原子。
〔b〕
有序结构的点阵型式为简单四方，结构基元为
CuAu，上述所示的立方晶胞[图
〔b〕]可进一步划分成两个简单四方晶胞，相当于两个结构基元。取[图9.23〔b〕]
中面对角线的1/2为新的简单四方晶胞的
a轴和
b
轴，而c轴按[图〔b〕]不变，
在新的简单四方晶胞中原子分数坐标为：
Au:0,0,0;Cu:
1
,
1
,
1
.
〔c〕
222
111，因此最小衍射角
无序结构的点阵型式为面心立方，它的最小衍射角指标应为
为：
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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1
111
arcsin
111
arcsin
121212
2
2a
154pm3
arcsin
385pm2
有序结构属四方晶系，其面间距公式为：
222
1
kl2
hd
hkla2c2
根据Bragg方程，最小衍射角对应于最大衍射面间距，
即对应于最小衍射指标平方和。最小
衍射指标平方和为
1。因此。符合条件的衍射可能为100，010和001。但有序结构的点阵型
式为简单四方，ca，因此符合条件的衍射只有001。最小衍射角
001
可按下式计算：
sin
001
/2d
001
/2c
154pm/2385pm
001
【8.24】
Fe
和
Fe
分别属于体心立方堆积〔
bcp〕和面心立方堆积〔ccp〕两种晶型。
前者的原子半径为
124.0pm
，后者的原子半径为127.94pm/
（a〕对
Fe
：
①以下“衍射指标〞中哪些不出现？
110，200，210，211，220，221，310，222，321，，521。
②
计算最小
Bragg
角对应的衍射面间距；
③写出使晶胞中两种位置的
Fe
原子重合的对称元素的名称、记号和方位。
〔b〕
对
Fe
：
①指出密置层的方向；
②拖把该密置层中所形成的三角形空隙看作具体的结构，支持该结构的结构单元；
③计算二维堆积密；
④请计算两种铁的密度之比。
解：〔1〕〔a〕体心的衍射指标要求指标之和为偶
数，即个衍射不可能出现。
〔b〕最小角度的衍射指标为110。
hkl偶数。所以210，221两
d
110a/1212a/2
半径为r
的原子进行体心密堆积，a4r/
3
。
a4124.1pm/3286.6pm
d
110286.6pm/2202.7pm
0,0,0;
1
,
1
,
1
.
〔c〕晶胞中两种位置上Fe原子的坐标为222
〔Ⅰ〕和c轴平行，
x,y
坐标为
1/4,1/4
的
2
1轴。
〔Ⅱ〕和
001
面平行，z坐标为1/4
的n滑移面。
均可使晶胞中的两个Fe原子重合。
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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〔2〕〔a〕密置层和〔111〕面平行。
〔b〕密置层的结构基元为1个Fe原子，即其素晶胞包含1个Fe原子。晶胞中含三角形空
隙2个，即结构基元为1个Fe原子和2个三角形空隙。
〔c〕密置层的二维堆积密度为：
原子所占面积/六方素晶胞的面积=
r
2
/2
2r
〔d〕假设面心立方堆积以下
标F表示，体心堆积以下标
I
表示，那么：
D
F
4M/N
A
V
F
2V
I
2a
I3
3
2286.6pm
3
2286.6pm
D
I
2M/N
A
V
I
V
F
a
F34r/23361.9pm3
【
】某金属晶体属于
hcp
结构，原子半径为160.0pm
：
〔a〕
计算
d
003；
（b〕画出该警惕的晶胞沿特征对称元素的投影图，在图上标出特征对称元素的位置并给
知名称〔亦可用符号表示〕；
〔c〕画出该晶体的多面体空隙中心沿特征对称元素的投影图〔可分别用
O和T表示八面
体和四面体〕，画出由
O
和T构成的二维点阵结构的点阵素单位，指出结构单元。
d
0031c1
4
6r
146160.0pm174.2pm
解：〔a〕33333
〔b〕该晶体属六方晶系，特征对称元素为六重对称轴，包括
6
和
6
3
轴。六方晶胞沿六重轴
1
的投影图及特征对称元素的位置分别示于图
9.25〔a〕和9.25〔b〕。原子旁标明的0，
2
等
数字表示它在c轴〔或z轴〕上的分数坐标位置。
〔c〕hcp晶体结构中存在四面体空隙〔以黑球表示其中心位置〕和八面体空隙〔以白球表
示其中心位置〕，如图9.25所示。图中多面体空隙的位置是相对图9.25〔a〕所示的结构，
标明的数字是c轴的分数坐标，结构基元是4个四面体空隙和2个八面体空隙。
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金属结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
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