高数b

高数b

abb式的成语-文明诗歌

2023年2月18日发(作者：梅兰芳京剧)

1

《高等数学》试题2

一．选择题（每小题2分，共20分）

1.设一向量与各坐标轴间的夹角分别为,,

，若已知

3





，

3

2



，且该

向量与z轴正向夹角为锐角,那么=（）．

A．

3



B．

4



C．

2



D．

3

2

2.直线











0

012

zyx

zx

的方向向量是（）．

A．

102

111

kji

B．

111

012



kji

C．

111

112





kji

D．

012

111

kji

3.设二元函数

),(yxfz

的一阶、二阶偏导数存在，那么当（）时，

yx

z



2

=

xy

z



2

．

A．

),(yxfz

连续B．

),(yxfz

可微

C．

x

z





和

y

z





连续D．

yx

z



2

和

xy

z



2

连续

4.函数22)(2),(yxyxyxf的驻点为（）．

A．

)1,1(

B．

)1,1(

C．

)1,1(

D．

)1,1(

5.对于二元函数

),(yxfz

，下列有关偏导数与全微分的关系中正确的命题是

（）

A.偏导数不连续，则全微分必不存在B.偏导数连续，则全微分存在

C.全微分存在，则偏导数必连续D.全微分存在，则偏导数不一定存在

6.二次积分1

0

d(,)dx

x

xfxyy改变积分次序后得到（）。

2

A.1

0

d(,)dy

y

yfxyxB.21

0

d(,)dy

y

yfxyx

C.

2

1

0

d(,)dy

y

yfxyxD.1

0

d(,)dy

y

yfxyx

7.L为222Ryx逆时针方向绕一周，则22

L

Ixydxxydy用格林公式计算

得()

A.2

3

00

Rdrdr

B.2

2

00

Rdrdr



C.2

3

00

4sincosRdrdr

D.2

3

00

4sincosRdrdr



8.若积分区域D由x+y=1及x轴，y轴围成，则

D

dxdy＝（）

A.1B.πC.

2

1

D.2

9.（）．

A.收敛；B.条件收敛；C.发散；D.不确定

10.设f(x)是周期为2的周期函,它在

其傅里叶级数的和函数为s(x).则s(3π)=（）

A.

2





.；B.

2



；C.0；D.

2

1

。

二.填空题(每小题3分，共15分)

1.假设两平面

013yx

与

022zayx

垂直，则a=．

2.若曲面2222321xyz的切平面平行于平面

46250xyz

，则切点坐标

为____________________。

3.设yxz

，则

x

z





=．

4.圆域2:22yxD上的二重积分

D

yxyxfdd),(

化为极坐标形式

为．

5.级数

1n

naq当满足条件其和为。

三.计算题（共51分）

1.一平面过点

)0,1,1(M

且与平面

02zyx

和

052zyx

都垂直，求其

:),[上的表达式为s

















x

xx

xf

00

0

,

,

)(







1

10

1

1

n

p

np

n

).(,)(级数

3

方程．(5分)

2.设函数)2sin(2yxz，求

yx

z



2

．（7分）

3．设函数

),(yxzz

由方程03xyzzyx确定，求

x

z





，

y

z





．（7分）

4.计算22()xy

D

edxdy，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

（7分）

5利用格林公式，计算曲线积分

(1cos)(1sin)xx

L

eydxeydy其中L是曲线

y=sinx由xx到0的一段弧.（7分）

6.3.



zdxdyydzdxxdydz

其中界于z0和z3之间的圆柱体229xy的整

个表面的外侧(9分)

7.的和。求级数







0

1

1

1

n

n

)((9分)

四.应用题(每小题7分，共14分)

1.求抛物线2xy到直线

02yx

之间的最短距离．

2.求由旋转抛物面22yxz、圆柱面122yx及坐标面

0z

所围立体的体

积。

《高等数学》试题B答案2009.7.

二．说明：本试题适用于2008级本科各专业选择题

1.B．2.A.3.D．4.D．5.B.6.C.7.A.8.C.9.B．10.A.

二.填空题(每小题3分，共15分)

1．6；2.

)2,2,1(

；

3.1yyx；4.2

0

2

0

d)sin,cos(drrrrf

；

5..

1

,1||

q

aq

q





三.计算题

4

1.一平面过点)0,1,1(M且与平面02zyx和052zyx都垂直，求其方

程．(5分)

解：取所求平面的法向量为已知平面的法向量的向量积，即

21

nnn=

112

111





kji

=)1,3,2(…………………..4分

由平面过点)0,1,1(M，知所求平面的方程为:

0)0(1)1(3)1(2zyx即0532zyx.………………….3分

2..设函数)2sin(2yxz，求

yx

z



2

．

解：2cos(2)2

z

xyx

x







=22cos(2)xxy.………………….3分



yx

z



2

=2[2cos(2)]xxy

y







=22sin(2)(2)xxy.………………….3分

=24sin(2)xxy..………1分

3．设函数),(yxzz由方程03xyzzyx确定，求

x

z





，

y

z





．

解:等式两端求微分，由一阶微分形式不变性得

)3(dxyzzyx=)d(

2

1

ddd3xyz

xyz

zyx.…….…….……1分

=)ddd(

2

1

ddd3zxyyxzxyz

xyz

zyx.…….…….……1分

=0)d

2

1(d)

2

1()d

2

3(z

xyz

xy

y

xyz

xz

x

xyz

yz

.…….…….2分

03xyzzyx整理得y

xyxyz

xzxyz

x

xyxyz

xyzyz

zd

2

2

d

2

6

d











.……..……1分

故

xyxyz

xyzyz

x

z











2

6

，

xyxyz

xzxyz

y

z











2

2

..…….…….……2分

5

4.计算22()xy

D

edxdy，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

解在极坐标系中，闭区域D可表示为：0≤r≤a，0≤θ≤2π。

.…….…….…2分

.…….…….……3+2分

5.利用格林公式，计算曲线积分(1cos)(1sin)xx

L

eydxeydy其中L是曲线

y=sinx由xox到的一段弧.

.1.......................).........1(

2

1

2................................

2................................dydx)(dydxdydx

0:

1..................................,.........

1............).........sin1(),(),cos1(),(

sin

00

分

分，

分，

，到从连接

分，

分，







e

dydxedxdye

QPdxdy

y

P

x

Q

QPQP

xAO

e

y

P

x

Q

yeyxQyeyxp

x

x

D

x

D

AOAO

AOL

x

xx







































6.



zdxdyydzdxxdydz其中界于z0和z3之间的圆柱体229xy的整个表面的

外侧

解：原式813)(





















dvdv

z

R

y

Q

x

P

.分，7................................

7.的和。求级数





1

1

1

1

n

n

n

)((9分)

解.…….…….…2分

.…….…….…2分

,)()(





1

11

n

n

n

n

x

xs令,)(00s显然





21xxxs)(

,

x



1

1)(11x

)(11x,)(的收敛域级数





1

11

n

n

n

n

x

6

.…….…….…2分

.…….…….…2分

.…….…….…1分

四.应用题(每小题7分，共14分)

1.求抛物线2xy到直线02yx之间的最短距离．

解：设点),(yx到直线02yx的距离为：

22)1(1

2

d







yx

，即

2

)2(

d

2

2





yx

.…….…….…2分

约束条件为：2xy令)(

2

)2(

),,(2

2

xy

yx

yxF



.…….…….…2分

解方程组





































0

02

022

2xy

F

yx

y

F

xyx

x

F







得

2

1

x，

4

1

y．因实际问题确有最小值，所

以抛物线到直线的最短距离为：.

8

27

24

7

2

2

4

1

2

1

d



.…….…….…3分

2.求由旋转抛物面22yxz、圆柱面122yx及坐标面0z所围立体的体积。

解根据二重积分的几何意义可知，所求立体的体积为:

D

yxyxVdd)(22

其中积分区域D为:

122yx.…….…….…2分

用极坐标计算：sin,cosryrx,

则积分区域D为：20,10r.…….…….…2分

)ln()(xdttsx

1

0

),ln()()(xsxs10即),ln()(xxs1

.ln)()(21

1

1

1

1



s

n

n

n

7

故

2

0

1

0

3ddrrV

2

0

1

0

4

d

4

r





2

02

d

4

1

。.…….…….…3分