等比数列性质

发布时间：2023-06-05 作者：admin 来源：文学

等比数列性质

如意定喘丸-数读

2023年2月18日发(作者：easyfm)

一、等差数列

1.等差数列的定义：daa



1

（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

(1)()

aanddnadnN，首项:

a，公差:d，末项:

推广：dmnaa

)(．从而

dmn



；

3．等差中项

（1）如果

，A，b成等差数列，那么A叫做

与b的等差中项．即：



或baA2

（2）等差中项：数列

a是等差数列)2(2

11-





naaa

nnn21





nnn

aaa

4．等差数列的前n项和公式：

()

naa





(1)

nad



2

()

nadn2AnBn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n时，



是项数为2n+1的等差数列的中间项



121

211

naa

Sna



（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若

daa



1

或

daa



1

(常数Nn)

a是等差数列．

（2）等差中项：数列

a是等差数列)2(2

11-





naaa

nnn21





nnn

aaa．

⑶数列

a是等差数列bkna

（其中bk,是常数）。

（4）数列

a是等差数列2

SAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若

daa



1

或

daa



1

(常数Nn)

a是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前

和公式中，涉及到5个元素：

a、d、

、

a及

S，其中

a、d称作为

基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

(1)

aand

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差0d时，

等差数列的通项公式

(1)

aanddnad是关于

的一次函数，且斜率为公差d；

前

和2

(1)

()

222n

nndd

Snadnan



是关于

的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有

qpnm

aaaa

，特别地，当2mnp时，则有

mnp

aaa

注：

12132nnn

aaaaaa



，

（4）若

a、

b为等差数列，则

12nnn

abab，都为等差数列

(5)若{

a}是等差数列，则

232

nnnnn

SSSSS，…也成等差数列

（6）数列{}

a为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(

,,,,

mmkmkmk

aaaa



)仍为等差数列

（7）设数列

a是等差数列，d为公差，

奇

S是奇数项的和，

偶

是偶数项项的和，

S是前n项的和

1.当项数为偶数

时，



121

135212

naa

Saaaana







奇



246212

naa

Saaaana





偶



11nnnn

SSnananaa





偶奇

naa

Snaa



奇

偶

2、当项数为奇数12n时，则

(21)(1)

SSSnaSna

SSaSna























n+1n+1

奇偶奇

奇

n+1n+1

奇偶偶

偶

（其中

n+1

是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{}

b的前

和分别为

A、

B，且()n

，

则21

(21)

nnn

anaA

bnbB







（9）等差数列

{}

a的前n项和

Sn，前m项和

Sm，则前m+n项和

Smn





(10)求

S的最值

法一：因等差数列前

项是关于

的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

*nN。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前

项和的最大值是所有非负项之和

即当，，00

da由













可得

S达到最大值时的

值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前

项和的最小值是所有非正项之和。

即当，，00

da由













可得

S达到最小值时的

值．

或求

a中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对

称轴最近的整数时，

S取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为





注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于

和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

二、等比数列

1.等比数列的定义：*

2,n

qqnnN



0且，q称为公比

2.通项公式：

1

0,0nnn

aaqqABaqAB

，首项：

a；公比：q

推广：nm

aaq，从而得nm

或n

a

3.等比中项

（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做

与b的等差中项．即：2Aab或Aab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列

a是等比数列2

11nnn

aaa





4.等比数列的前n项和

S公式：

(1)当1q时，

Sna

(2)当1q时，

1

aaq







11''

nnn

qAABABA





（,,','ABAB为常数）

5.等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

(0)n

nnn

aqaqqa



或为常数，{}

a为等比数列

（2）等比中项：2

11nnn

aaa



（

11nn





0）{}

a为等比数列

（3）通项公式：0n

aABAB{}

a为等比数列

（4）前n项和公式：'',,','nn

SAABSABAABAB或为常数{}

a为等比数列

6.等比数列的证明方法

依据定义：若*

2,n

qqnnN



0且或

1nn

aqa



{}

a为等比数列

7.注意

（1）等比数列的通项公式及前

和公式中，涉及到5个元素：

a、q、

、

a及

S，其中

a、q称作为

基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；1

aaq

如奇数个数成等差，可设为…，2

,,,,

aaqaq

…（公比为q，中间项用

表示）；

8.等比数列的性质

(1)当

1q时

①等比数列通项公式1

0nnn

aaqqABAB

是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q

②前n项和

1

1111

nnn

aaqaa

SqAABABA

qqqq







，系数和常数项是互为相反

数的类指数函数，底数为公比q

(2)对任何m,n

*N,在等比数列{}

a中,有nm

aaq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公

式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)若m+n=s+t(m,n,s,t*N),则

nmst

aaaa.特别的,当n+m=2k时,得2

nmk

aaa

注：

12132nnn

aaaaaa





(4)列{}

a,{}

b为等比数列,则数列{}

,{}

ka,{}k

a,{}

kab{}n

(k为非零常数)均为等比数

列.

(5)数列{}

a为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(

,,,,

mmkmkmk

aaaa



)仍为等比数列

(6)如果{}

a是各项均为正数的等比数列,则数列{log}

a是等差数列

(7)若{}

a为等比数列,则数列

S，

2nn

SS，

SS，成等比数列

(8)若{}

a为等比数列,则数列

12n

aaa,

122nnn

aaa



,

21223nnn

aaa



成等比数列

(9)①当

1q

时，②当

1q0<时，

0{}





，则为递增数列

，则为递减数列

0{}





，则为递减数列

，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{}

a中,当项数为2n(n

*N)时,

奇

偶

(11)若{}

a是公比为q的等比数列,则n

nmnm

SSqS





例1、（1）设

a是等差数列，且2

1512841

aaaaa，求

133

aa及S

值。

（2）等比数列

a中，66



aa，128



n

aa，前n项和S

=126，求n和公比q。

（3）等比数列中，q=2，S

=77，求a

+…+a

；

（4）项数为奇数的等差数列

a中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。

解：（1）由已知可得2

a，所以

133

aa=24

a，S



3015

151



2由题66,128



aaaa，所以









或









又126

1





qaa

,所以









或

















999

36993699

144

Saaaaaaaaa

aaaaaa











评注：分解重组，引导发现（

1497

aaa）、（

2698

aaa）与（

3699

aaa）的关系，从而

使问题获得简单的解法。

4设等差数列共2n-1项,则



)1(

222

121















naa

偶

奇

所以此数列共31项.中间项

57580

偶奇

评注：（1）在项数为21n项的等差数列

{}

a中，

2+1

=(+1),=,=(2+1)

SnaSnaSna

奇中偶中中

；

（2）在项数为2n项的等差数列{}

a中

2+11

=,=,=()

nnnnn

SnaSnaSnaa





奇偶

．

变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13项；

（2）已知数列

{}

a是等比数列,且>0

a,*nN,

354657

281aaaaaa，则

aa9．

（3）等差数列前

项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是210．

(4)等差数列{a

}和{b

}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.

。（=

）

例2、设等差数列的前n项之和为S

，已知a

=12，S

>0，S

<0，

（1）求公差d的取值范围。

（2）指出S

，S

，…S

中哪一个值最大，并说明理由。

解：（1）0

1112

112





daS，0

1312

113





daS，即











0112

，

由

122

daa,代入得：3

d。

（2）解一：由06

7612

aaS，013

713

aS可知0,0

aa，所以S

最大。

解二：n















2，由3

d可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的

点，根据图象可知S

最大。

解三：2

)

245

(

245

















，由3

d得

245

6





。又抛物线开口向下，所以S

最大。

评注：求等差数列S

最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的

性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）

变式：(1)已知等差数列{a

}中，

1251

,0SSa，问S

，S

，…S

中哪一个值最大。

(2)数列{}

a是首项为1000，公比为

的等比数列，数列{b}

满足

(lglglg)

baaa

*()kN，

（1）求数列{b}

的前

项和的最大值；（2）求数列{|b|}

的前

项和



．

略解：（1）由题得410n

a，∴lg4

an，∴{lg}

a是首项为3，公差为1的AP。

∴

(1)

lglglg3

aaak



，∴

1(1)7

[3]

22n

nnn





由













，得67n，∴数列{b}

的前

项和的最大值为

SS

（2）由（1）当7n时，0

b，当7n时，0

b，

∴当7n时，2

113

()

244nn

Sbbbnnn









当7n时，

178nn

Sbbbb



2

113

221

44n

SSnn

∴

113

(7)

113

21(7)

nnn





















．

例3、(1)由正数组成的等比数列

{}

a，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4

项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列

{}

a的通项公式．

解：当1q时，得

211nana不成立，∴1q，∴

233

1111

(1)11(1)

nnaqaqq

aqaqaqaq



















由①得

q，代入②得

10a，∴2

()

a．

说明：用等比数列前

项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．

(2)若数列{}

a成等差数列，且,()

SnSmmn，求



．

解：（法一）基本量法（略）；

（法二）设2

SAnBn

，则

(1)

(2)

AnBnm

AmBmn















(1)(2)得：22()()nmAnmBmn，mn，∴()1mnAB，

∴2()()()

SnmAnmBnm





．

评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征2

SAnBn

。

变式：设数列{a

}为等差数列，S

为数列{a

}的前n项和，已知S

=7，S

=75,T

为数列{

n}的前n项和，求T

。

解：法一：（基本量法）设{a

}首项为a

，公差为d，则























75d

1415

a15S

a7S

115

∴











1∴

)1n(n





，∴

n





①

②

∴此式为n的一次函数，∴{

n}为等差数列，∴



。

法二：{a

}为等差数列，设S

=An2+Bn，∴













75B1515AS

7B77AS

解之得：















∴



，下略。

例4、已知等差数列110,116,122,，

（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；

（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.

解：

1106(1)6104

ann，

（1）由4506104600n，得5882n，又*nN,

∴该数列在[450,600]上有25项,其和

5882

()2513100

Saa．

（2）∵

1106(1)

an，∴要使

a能被5整除，只要1n能被5整除，即15nk，

∴51nk，∴585182k，∴1216k，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项

即第61,66,71,76,81项，其和6181

5()

2650



．

等差、等比数列性质及应用复习参考题

一、选择题

1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）

A.34B.35C.36D.37

2.{a

}是等差数列，且a

=45,a

=39,则a

的值是（）

A.24B.27C.30D.33

3.设函数f(x)满足f(n+1)=

)(2nnf

(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（）

A.95B.97C.105D.192

4.若{}

a是等差数列，首项

12004

0,0,.0aaaaa，则使前n项和

S成立的最大自然数n是：（）

A．4005B．4006C．4007D．4008

5.等差数列{a

}中，已知a

=－6,a

=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

6.设命题甲:△ABC的一个内角为60

，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么()

(A)甲是乙的充分不必要条件(B)甲是乙的必要不充分条件

(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7.已知等差数列{a

}的公差为正数，且a

·a

=－12,a

=－4,则S

为（）

A.180B.－180C.90D.－90

8.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数

为（）

A.9B.10C.19D.29

9.由公差为d的等差数列a

、a

…重新组成的数列a

…是（）

A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列

C.公差为3d的等差数列D.非等差数列

10.在等差数列{a

}中，若S

=18,S

=240,a

n－4

=30,则n的值为（）

A.14B.15C.16D.17

二、填空题

11.在数列{a

}中，a

=1,a

n+1



(n∈N*),则

是这个数列的第_________项.

12.在等差数列{a

}中，已知S

100

=10，S

=100，则S

110

=_________.

13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.

14.等差数列{a

},{b

}的前n项和分别为S

、T

,若

n

,则

=_________.

15.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a

，a

成等比数列，则

1042

931

aaa



的值是

16.若数列{}

a是等差数列，则数列12n

aaa









也为等差数列，类比上述性质，相应地：若

{c}

是等比数列，且

c>0，则{

d}是等比数列,其中

d．

17.设m∈N

，log

m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是

三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？

19.在等差数列{a

}中，若a

=25且S

,求数列前多少项和最大.

20.已知f(x+1)=x2－4,等差数列{a

}中,a

=f(x－1),a

=－

=f(x).

(1)求x值；（2）求a

+…+a

的值.

21.已知数列{a

}的前n项和为S

，且满足a

+2S

·S

n－1

=0(n≥2),a

(1)求证：{

}是等差数列；（2）求a

表达式；

（3）若b

=2(1－n)a

(n≥2),求证：b

2+b

2+…+b

2<1.

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