柯西积分公式
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2023年2月18日发(作者：国际歌简谱)1
第三章复变函数的积分
(Integrationoffunctionofthecomplexvariable)
第一讲
授课题目：§3.1复积分的概念
§3.2柯西积分定理
教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变
函数积分的基本性质、柯西积分定理.
学时安排：2学时
教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线
上的积分
2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定
积分的概念
教学重点：复变函数积分的计算问题
教学难点：柯西积分定理
教学方式：多媒体与板书相结合
作业布置：
7675
P
思考题：1、2、习题三：1-10
板书设计：一、复变函数积分的计算问题
二、柯西积分定理
三、举例
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育
出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
等教育出版.
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，
第二版）2005年5月.
4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等
2
教育出版社，2008年4月.
课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分
2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方
法掌握不理想
3、利用课余时间多和学生交流
教学过程：
§3.1复积分的概念
(Theconceptionofcomplexintegration)
一、复变函数的积分的定义（Complexfunctionofthe
3
integraldefinition）
定义（Definition）3.1设在复平面上有一条连接A及B两
点的光滑简单曲线C设
),(),()(yxivyxuzf
是在C上的连续
函数.其中
),(yxu
及
),(yxv
是
)(zf
的实部及虚部.把曲线C用分
点
BzzzzzA
nn
,...,,,
1210
分成n个小弧段，其中
),...,2,1,0(nkyxz
kkk
y
Bz
n
k
z
1k
z
1
z
Az
0
Ox
在每个狐段上任取一点
kkk
，作和式
))((
1
1
k
n
k
kk
zzf
（1）
令
|}{|max
1
1
kk
nk
zz
，当0时，若（1）式的极限存在，且此
极限值不依赖于
kkk
的选择，也不依赖于曲线C的分法，
则就称此极限值为)(zf沿曲线C的积分.记作
C
zzfd)(
))((lim
1
1
0
k
n
k
kk
zzf
4
当
)(zf
沿曲线
C
的负方向（从B到A）积分，记作C
zzfd)(
当
)(zf
沿闭曲线C的积分，记作dzzf
C
定理(Theorem)3.1若
),(),()(yxivyxuzf
沿光滑简
单曲线C连续，则
)(zf
沿C可积，且
,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzf
CCC
（2）
证明：
))((
1
1
k
n
k
kk
zzf
)]())][(,(),([
1
1
1kk
n
k
kkkkkk
yyixxivu
,))(,())(,([
))(,())(,(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
k
kkkk
n
k
kkkk
n
k
kkkk
n
k
kkkk
yyuxxvi
yyvxxu
由),(),()(yxivyxuzf沿光滑简单曲线C连续，可知
),(),,(yxvyxu沿光滑简单曲线C也连续，当0时，有
0|}{|max
1
1
kk
nk
xx
0|}{|max
1
1
kk
nk
yy
于是上式右端的极限存在，且有
,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzf
CCC
二、复变函数积分的计算
(Complexintegrationofcomputationalproblems)
设有光滑曲线C:
tiytxtzzt
,
5
即
tz
在
,
上连续且有不为零的导数
tyitxtz
.又
设
zf
沿C连续.由公式(2)我们有
dttytytxvtxtytxu
yyxuxyxviyyxvxyxuzzf
CCC
,,
),(),(),(),()(ddddd
dttytytxutxtytxvi
,,
即
,dttztzfdzzf
c
(3)
或
Re
dzzf
c
dttztzfidttztzf
Im
(4)
用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径
C
的
参数方程着手,称为参数方程法.
注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论.
例1计算dzz
C，其中C是
（1）从点1到
i
的直线段
1
C；
（2）从点1到0的直线段
2
C，再从点0到
i
得直线段
3
C所连
接成的折线段
32
CCC.
解：（1）)()(;101
1
titttzCC，有：
1
0
1
0
1
0
)12()1)(1(idtidttdtiittdzz
c
（2）).10()(:),10(1)(:
2312
tittzCtttzC，有：
1
0
1
0
0)1(
3
2
tdtdttdzzdzzdzz
c
cc
6
例2计算dzz
i
i
I
其中C是
(1)连接
ii到
的直线段；(2)连接
ii到
的单位圆的左半圆
(3)连接
ii到
的单位圆的右半圆
解：
ititdtiidtitdzz
i
i
I
titzi
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
,11,)1(
于是程为：到i的直线段的参数方
iedeidteedzz
i
i
I
，tez
itititit
it
2
2
3
2
2
3
2
22
3
,)2(
2
2
3
于是到从方程为单位圆的左半圆的参数
ieededzzI
，tez
itititi
i
it
2)(
20,)3(
2
2
2
2
到从方程为单位圆的右半圆的参数
上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关
例3
0
n
C
dz
zz
，其中n为任意整数，C为以
0
z为中心，
r为半径的圆周.
解C的参数方程为
0
,02izzre，由公式得
7
22
(1)
1
00
0
22
11
00
cos(1)sin(1)
2,1,
0,1.
i
in
n
ninn
C
nn
dzirei
ded
rer
zz
ii
ndnd
rr
in
n
此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周
的中心和半径没有关系，应记住这一特点.
例4计算
C
zdz，其中
C
为从原点到点
34i
的直线段.
解：此直线方程可写作
3,4,01xtytt
或
34,01ztitt
.
在C上，
(34),(34)zitdzidt
，于是
11
222
00
1
343434
2C
zdzitdtitdti.
因
CC
CC
zdzxiydxidy
xdxydyiydxxdy
易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以
C
zdz的值，不
论是对怎样的连接原点到34i的曲线，都等于21
34
2
i
.
例5设C是圆||z
，其中
是一个复数，是一个
正数，则按逆时针方向所取的积分
i
z
dz
C
2
证明：令iez
，
8
于是
ddiiez
，
从而
iid
z
dz
C
22
0
三、复变函数积分的基本性质(Complexintegrationof
thebasicnature)
设
)(zf
及
)(zg
在简单曲线C上连续，则有
（1）
是一个复常数其中kzzfkzzkf
CC
,d)(d)(
（2）
;d)(d)(d)]()([
CCC
zzgzzfzzgzf
（3）
n
CCCC
zzfzzfzzfzzfd)(...d)(d)(d)(
21
其中曲线
C
是有光滑的曲线
n
CCC,...,,
21
连接而成；
（4）
CC
zzfzzfd)(d)(
定理3.2（积分估值）如果在曲线
C
上，Mzf，而L
是曲线
C
的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有
MLdzzfzzf
CC
|d)(|
，（5）
证明：因为
MLzzMzzf
k
n
k
kk
n
k
kk
|||))((|
1
1
1
1
1
1
两边取极限即可得：MLdzzfzzf
CC
|d)(|
例6试证：
rz
r
dz
z
z
0
1
lim
2
3
0
证:不妨设1r，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，
因为在rz上，
9
rzrzr
r
dz
z
z
dz
z
z
2
4
2
3
2
3
1
2
||
1
|
1
上式右端当
0r
时极限为0，故左端极限也为0，所以
rz
r
dz
z
z
0
1
lim
2
3
0
本节重点掌握：（1）复变函数积分的计算；
（2）复变函数积分的基本性质
§3.2柯西积分定理
（Cauchyintegraltheorem)
下面讨论复变函数积分与路径无关问题
定理(Theorem)3.3设
)(zf
是在单连通区域D内的解析函
数，则
)(zf
在D内沿任意一条闭曲线C的积分
0d)(C
zzf
,
在这里沿
C
的积分是按反时针方向取的.
此定理是1825年Cauchy给出的.1851年Riemann在)(zf
连续
的假设下给出了简单证明如下证明：已知)(zf在单连通区域D
内解析，所以)(zf
存在，设)(zf
在区域D内连续，可知u、v
的一阶偏导数在区域D内连续，
有
0d)(C
zzf
CCc
udyvdxivdyudxdz)z(fDC,，又
D
yx
c
D
yx
c
dxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudx
Green
0)(,0)(
公式由
10
注1:此定理证明假设“
)(zf
在区域D内连续”，失去定理
的真实性，法国数学家古萨（t）在1900年给出了真
实证明，但比较麻烦.
注2:若C是区域D的边界，
)(zf
在单连通区域D内解析，
在D上连续，则定理仍成立.
定理(Theorem)3.4若
)(zf
是在单连通区域D内的解析函
数，
1
C、
1
C是在D内连接0
z
及z两点的任意两条简单曲线，
则
1
)(
C
dzzf
2
)(
C
dzzf
证明：由柯西积分定理
1
)(
C
dzzf
2
)(
C
dzzf0
21
dzzf
CC
将柯西积分定理推广到多连通区域上
定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n+1条简单闭曲
线,,...,,
n
CCC
1
曲线
n
CC,...,
1
中每一条都在其余曲线的外区域
内，而且所有这些曲线都在的
C
内区域，
n
CCC,...,,
1
围成一个
有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域D.设f(z)在
D上解析，那么令表示D的全部边界，我们有
0
dzzf)(
其中积分是沿按关于区域D的正向取的.即沿C按逆时针方
向，沿
n
CC,...,
1
按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选
11
定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧.因此
0
1
n
CCC
dzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(
即
n
CCC
dzzfdzzfdzzf)(...)()(
1
例7计算
dz
zz
ez
z
)1(2
3
,其中
C
是包含0与1、-1的简
单闭曲线.
解：作互不相交的互不包含的三个小圆周
321
,,ccc分别包含
0，1，-1，且都在3z内，应用复合围线积分定理，有
D
C
1
C2
C
n
C
12
)2(
)
22
(2
1)1(1)1(
1
1
)1()1()1()1(
1
11
2
2222
3
321
321
eei
ee
ei
z
dz
zz
e
z
dz
zz
e
z
dz
z
dz
zz
e
dz
zz
e
dz
zz
e
dz
zz
e
z
c
z
cc
z
c
z
c
z
c
z
z
由柯西积分定理可知：若
)(zf
是在单连通区域D内的解析函数，
则沿着区域D内的简单闭曲线
C
的积分
C
df)(
与路径无关，只与起点
0
z
及终点
z
有关，此时也可写成
z
z
df
0
)(
在单连通区域D内固定
0
z
，当
z
在区域D内变动时，
z
z
df
0
)(确定了上限
z
的一个函数，记作
z
z
dfzF
0
)()(
定理(Theorem)3.6设)(zf是单连通区域D的解析函数，则
z
z
dfzF
0
)()(
也是区域D内的解析函数，且
)()('zfzF
证明：Dzz，得
z
z
df
0
)(
与路径无关，则
z
z
zz
z
dfdfzFzzF
00
)()()()(=zz
z
df)(
13
其中积分路径取
z
到
zz
得直线段，有
z
zf
z
zFzzF
1
zz
z
dxff)(
因
)(zf
在D内连续，z,0,0
，有
zf
z
zFzzF
即
)()('zfzF
定义(Definition)3.2设在是单连通区域D内，有
)()('zfzF
，则称zF是
)(zf
的原函数.
定理(Theorem)3.7若
)(zf
是在单连通区域D内的解析函
数，zF
是
)(zf
的一个原函数.则
z
z
dzzf
0
)(zF-
0
zF
其中DzDz,
0
注3:此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函
数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这
是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广.
例8(重要积分))试证明:
nn
ni
az
dz
c
n,10
12
)(
这里C表示绕行a一周的简单闭曲线.
证明:作圆周
1
C:|z-a|=,使得C在
1
C的内区域中.
则有
14
c
naz
dz
)(
1
)(
c
naz
dz
由例5结果即得证.
例9计算
c
dzz)1ln(
，其中C是从-i到i的直线段
解因为
)1ln(z
是在全平面除去负实轴上一段1x的区
域D内为（单值）解析，又因为区域D是单连通的，在D内有
i
iiiiiii
zziiii
dz
z
iiii
dz
z
z
zzdzz
i
i
i
i
i
i
i
i
c
)
2
2ln2(
)1ln()1ln(2)1ln()1ln(
)1ln()1ln()1ln(
)
1
1
1()1ln()1ln(
1
|)1ln()1ln(
本节重点掌握：1、柯西积分定理
2、柯西积分定理的推广
内容小结：
1、复变函数的积分的定义
2、复变函数积分的计算问题
3、复变函数积分的基本性质
4、柯西积分定理
5、柯西积分定理的推广
,dttztzfdzzf
c
15
21
§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数
柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫
勒拉定理.
1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法
2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理
柯西积分公式
解析函数的无穷可微性
讲授法多媒体与板书相结合
7675
P
思考题：1、2、习题三：11-15
16
一、柯西积分公式
二、解析函数的无穷可微性
三、举例
[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.
[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.
[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.
[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.
1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法
2、解析函数的无穷可微性理解很好
3、利用课余时间对学生进行答疑
17
第二讲
授课题目：§3.3柯西积分公式
§3.4解析函数的高阶导数
教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘
维尔定理、莫勒拉定理.
学时安排：2学时
教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的
方法
2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理
教学重点：柯西积分公式
教学难点：解析函数的无穷可微性
教学方式：多媒体与板书相结合
作业布置：习题三：11-15
板书设计：一、柯西积分公式
二、解析函数的无穷可微性
三、举例
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育
出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高
等教育出版.
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，
第二版）.
4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育
出版社.
课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的
方法
2、解析函数的无穷可微性理解很好
3、利用课余时间对学生进行答疑
18
教学过程：
§3.3柯西积分公式
（Cauchyintegralformula）
柯西积分公式（Cauchyintegralformula）
设
)(zf
在以圆)0(|:|
000
zzC为边界的闭圆盘上连
续，C的内部D上解析，由柯西积分定理
0d)(C
zzf
考虑
C
d
z
f
)(
设Dz，显然函数在
z
f
)(
满足zD,的点处解析.
以z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径为，边
界为圆
C.在D上，挖去以
C
为边界的圆盘，余下的点集是一
个闭区域
D.在
D上，函数
)(f
以及
z
f
)(
解析，所以有
CC
d
z
f
d
z
f)()(
于是又如下定理
定理(Theorem)3.8设)(zf在在简单闭曲线C所围成的区域
D内解析
在
CDD
上连续，
0
z是区域D内任一点，则有
dz
zz
zf
i
zf
C
0
0
)(
2
1
)(
（1）
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西
19
积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解
析函数的重要工具.
说明：
1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值
可以用它在边界上的值表示出来.
2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我
们研究解析函数的许多重要性质.
推论1（平均值公式）设
)(zf
在
)(zfRzzC|:|
0
内解析，
在RzzC|:|
0
上连续，则
2
1
)(
0
zf
2
0
0
)Re(dzfi
推论2设
)(zf
在由简单闭曲线
1
C、
2
C围成的二连通区域
D内解析，并在曲线
1
C、
2
C上连续，
2
C在
1
C的内部，
0
z为区
域D内一点，则
1
0
0
)(
2
1
)(
C
dz
zz
zf
i
zf
2
0
)(
2
1
C
dz
zz
zf
i
例1求下列积分的值
（1）22
2
.
))(9(
2;
sin
zz
dz
izz
z
dz
z
z
解：
(1)
0|sin2
sin
0
2
z
z
zidz
z
z
(2)
20
2
1
2
2
2
25
|
9
2
)(
9
))(9(z
z
zz
z
idz
iz
z
z
dz
izz
z
由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解
析函数的最大模原理.
解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，
它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到
最大值，除非这个函数恒等于常数.
定理(Theorem)3.9(最大模原理)设
)(zf
在区域D内解
析，
)(zf
不是常数，则在区域D内zf没有最大值.
推论1在区域D内的解析函数，若其模在区域D内达到最
大值，则此函数必恒等于常数
推论2设)(zf在有界区域
D
内解析，在D上连续，则zf
必在区域D的边界上达到最大值.
证明：若)(zf在区域D内为常数，显然成立，若)(zf在区
域D内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证.
本节重点掌握：柯西积分公式
§3.4解析函数的高阶导数
(Thehigherorderderivativeofanalyticfunction)
一、解析函数的无穷可微性(Analyticfunctionsof
21
infinitelydifferentiable)
定理(Theorem)3.10设函数
)(zf
在简单闭曲线C所围成的
区域D内解析，在
D
上连续，则
)(zf
的各阶导数均在区域D内
解析，对区域D内任一点z，有
,...)3,2,1(
)(
)(
2
!
)(
1
)(
nd
z
f
i
n
zf
C
n
n
,
证明：先证明
1n
时的情形.对区域D内任一点z，设
Dhz
.
C
d
zhz
f
i
h
2))((
)(
2
现在估计上式右边的积分.设以z为心，以2
为半径的圆盘完全
在D内，并且在这个圆盘内取hz，使得h0，那么当
D时，,||,||hzz
设zf在C上的最大值是M，并且设C的长度是L，于是由积
分估值定理有
,
2
||
|
))((
)(
2
|
22
MLh
d
zhz
f
i
h
C
]
)(
)(
2
)(
2
1)(
2
1
[
1
)(
)(
2
1)()(
2
2
CCC
C
d
z
f
i
h
d
z
f
i
d
hz
f
ih
d
z
f
ih
zfhzf
22
这就证明了当h趋近于0时，积分
C
d
zhz
f
i
h
2))((
)(
2
趋
于0.即当
1n
时定理成立.设
kn
时定理成立.当
1kn
时，
对区域D内任一点z，设
Dhz
.仿
1n
时的证明方法，可推
得定理成立.证毕
例2计算下列各积分
12
2
3
2
2
1
51
1
1
2
1
cos
1
rzz
z
rz
dz
zz
dz
z
e
dz
z
z
解：
1
5
4
512
1
cos
!15
2
1
cos
1
rz
i
z
z
i
dz
z
z
12
2
2
2
2
1
2
21
2
CC
zz
rz
z
dz
iz
iz
e
dz
iz
iz
e
dz
z
e
4
1sin22
22
i
iz
iz
e
iz
iz
e
i
zz
3）被积函数
22)1(
1
zz
有两个奇点：0
1
z和1
2
z，都在
2z内，
2)1(
1
z
在
3
1
z
内解析，
2
1
z
在
3
1
1z
内解析，作
圆周
3
1
1
3
1
21
zczc：，：
，利用复合围线积分定理，
3
1
1
2
3
3
1
3
2
3
1
1
23
3
1
23
2
23
)1(
1
)0(
)1(
1
)1()1()1(
zz
zzz
dz
z
z
dz
z
z
zz
dz
zz
dz
zz
dz
23
由高阶导数公式，得
066
1
!1
2
1
1
!2
2
)1(1
3
0
2
2
23
ii
z
i
z
i
zz
dz
zz
z
应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性
定理(Theorem)3.11设函数
)(zf
在区域D内解析，那么
)(zf
在D内有任意阶导数.并且它们也在区域D内解析
注3:任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；
二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchyinequalityand
Liouville'stheorem)
柯西不等式（Cauchyinequality）设函数
)(zf
在以
Rzz||
0
内解析，在以Rzz||
0
内Mzf,则
,...)2,1,0(
!
!
|)(|
0
)(
n
R
Mn
n
zf
n
n
证明：令
1
R
C是圆
)0(||
110
RRRzz，)(zf在以
10
||Rzz上解析，由高阶导数公式，有
,2,1,0
!
2
2
|
)(
)(
2
!
||)(|
1
1
1
1
1
0
0
)(
1
n
R
Mn
R
R
Mn!
dz
zz
zf
i
n
zf
nn
C
n
n
R
令RR
1
,得
,2,1,0
!
|)(|
1
0
)(n
R
Mn
zf
n
n
上述的不等式称为柯西不等式.
如果函数)(zf在整个复平面上解析，那么就称)(zf为一个
24
整函数，
例如zezz,cos,sin都是整函数.关于整函数，我们有下面的
刘维尔定理：
定理3.12（刘维尔Liouvlle定理）有界整函数一定恒等
常数.
证明：设
)(zf
是有界整函数，即存在
),0(M
，使得
Mzfz|)(|C,
.),0(,C
0
Rz，
)(zf
在Rzz||
0
内
解析.由柯西公式，有
R
M
zf|)('|
0
，
令
R
，0)(',C
00
zfz，由此可知
)(zf
在
C
上恒等于
常数.
三、莫勒拉定理(MoleLaTheorem)：应用解析函数有任意
阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.
定理(Theorem)3.13如果函数)(zf在区域D内连续，并且
对于D内的任一条简单闭曲线
C
，我们有
0)(C
dzzf
那么)(zf在区域D内解析.
本节重点掌握：
（1）解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式
内容小结：
1、柯西积分公式
2、解析函数的无穷可微性
25
3、柯西不等式与刘维尔定理
4、莫勒拉定理
5、柯西定理的逆定理