线性回归计算器
液态金属-学前班语文
2023年2月18日发(作者：抱团游戏规则)高三数学线性回归
线性回归
重点难点讲解：
1．回归分析：
就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，
确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析
方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，
它可能是直线，也可能是曲线。
2．线性回归方程
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值
的n个点（xi,yi）(i=1,......,n)大致分布在一条直线的
附近，则回归直线的方程为。
其中。
3．线性相关性检验
线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y
与x之间线性相关与否的办法。
①在课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2（n
为观测值组数）相应的相关系数临界值r0.05。
②由公式，计算r的值。
③检验所得结果
如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显
著，接受统计假设。
如果|r|r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的
假设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。
典型例题讲解：
例1．从某班50名学生中随机抽取10名，测得其数学考试
成绩与物理考试成绩资料如表：序号数学成绩
54666876788285879094
物理成绩61828896
试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。
解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模
型为，
计算，代入公式得
∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。
说明：将自变量x的值分别代入上述回归模型中，即可得到
相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1
分，物理成绩平均增加0.74分。大家可以在老师的帮助下
对自己班的数学、化学成绩进行分析。
例2．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y
（万元），有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0
若由资料可知y对x成线性相关关系。试求：
（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维
修费用是多少？
分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间成线性相关关系，
目的是训练公式的使用。
解：（1）列表如下：
i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.
049162536
于是b=,。∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08。
（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38(万元)
即估计使用10年时维修费用是12.38万元。
说明：本题若没有告诉我们y与x间是线性相关的，应首先
进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，
或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是
没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。
例3．某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表
所示：已知国民生产总值与社会商品的零售总额之间存在线
性关系，请建立回归模型。年份国民生产总值（亿元）
社会商品零售总额（亿元）
1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988
625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.
47413.18合计4333.012194.24
解：设国民生产总值为x，社会商品零售总额为y,设线性
回归模型为。
依上表计算有关数据后代入的表达式得：
∴所求线性回归模型为y=0.445957x+37.4148,表明国民生
产总值每增加1亿元，社会商品零售总额将平均增加
4459.57万元。
例4．已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每
单位面积蔬菜每年平均产量yt之间的关系有如下数据：年
份
7019911992x(kg)709
5y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份
5871999x(kg)921381
45y(t)11.511.011.812.212.512.813.0
（1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；
（2）若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直
线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜
的年平均产量。
分析：（1）使用样本相关系数计算公式来完成；（2）查表
得出显著水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界值
r0.05比较，若rr0.05，则线性相关，否则不线性相关。
解：（1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i1234567891xi7231
30138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.
212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.49
8813571500.616251766.41885
,.
故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数：
r=
由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表
查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值
r0.05=0.514，则rr0.05，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间
存在着线性相关关系。
（2）设所求的回归直线方程为=bx+a，则
∴回归直线方程为=0.0931x+0.7102。
当x=150时，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。
说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计
算量较大，需要细心谨慎计算，如果会使用含统计的科学计
算器，能简单得到，这些量，也就无需有制表这一步，直接
算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也可以
对这些数据进行处理。