双曲线方程
感应钎焊-监督执纪规则
2023年2月18日发(作者：组织结构有哪些)双曲线方程
1.双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：.
一般方程：.
⑵①i.焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii.焦点在轴上：顶点：.焦点：.准线方程：.渐近线方程：
或，参数方程：或.
②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率.④准线距（两准线的
距离）；通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计
算，而双曲线不带符号）
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程
为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为
时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和
与两根之积同号.
⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离比为m︰n.
简证：=.
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
双曲线的标准方程和简单几何性质
常见考法
在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。选择题和填空题一般属于容易
题，解答题一般属于难题。在高考中，一般以解答题的形式融合其它圆锥曲线联合考查双曲线的几何性质，
难度较大。
误区提醒
1、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。不确定时要分类讨论。
2、如果双曲线中，涉及双曲线上的点到焦点的距离或涉及焦点弦，一般可考虑使用双曲线的定义，使用几
何法求解，比使用方程组要简单。
【典型例题】