静电场的高斯定理

静电场的高斯定理

电脑课-下交叉综合征

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§1．4电场的高斯定理GAUSS，LAW

(教材p45)

1.电场线（ElectricFieldLines）

大家已经知道，电场强度E是空间坐标的矢量函数.

为了形象地描述电场，我们设想电场中分布着一族曲线，并规定这些曲线每一点上的切线方向，

与该点电场强度E的方向一致.我们把这些曲线称为电场线，简称E线.

下图示出几种情形下静电场的E线分布.

从上述例子我们看到，静电场的E线有如下性质

(1)静电场的E线始发于正电荷而终止于负电荷，所以静电场的E线不形成闭合曲线；在没有

电荷存在的点上，E线连续

通过，也有可能E=0（试从上图找出这样的点）.

(2)在任何客观存在的电场中，每一点上的试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定的作用力，

因此每一点上的E只能有一

个确定的值，因而E必定是空间坐标的单值函数，故任何两条E线都不可能相交.

2.电通量(ElectricFlux)

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按上述图象，通过某处单位截面的E线条数，即“E线密度”，决定于该处的场强E。也就是

说，E值大处，“E线密度”大,反之,“E线密度”小（见上图）.现在,我们引入“电通量”概

念.

设想电场中有一非闭合曲面S，dS是S上某点P附近一个无限小面积元矢量，并规定dS的方

向沿曲面在该点的法向，即

我们称

d=E·dS=EdScos（1.4-1）

为通过该面元的电通量，单位为伏特·米（Vm）.

显然，当

0≤θ0(正值)

/2<θ≤,d<0(负值)

θ=/2，d=0（E线仅从该面元掠过）

通过整个S面的总电通量为

（1.4-2）

这是一个面积分（二重积分）

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对于闭合曲面，规定面元矢量dS沿曲面各点的外法线方向.于是，通过任意闭合曲面的总电通

量：

3.电场的高斯定理

高斯定理：通过任意闭合曲面S的电通量，正比于S内包含的总电量(净电量)，与S外的电荷

分布无关.即

（1.4-4a）

右方求和因子表示S内的总电量.

[证明]

（1）一个点电荷q处于S内的情形

以q为中心作任意半径r的球面，此球面任

一点的电场强度为

而球面面元矢量

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于是，q产生的电场通过该球面的总通量

显然，当q为正电荷，F为正值；当q为负电荷，F为负值.

对于包围点电荷q的任意曲面S，由于其上任一个无限小的面积元dS，，与该处相应的球面元

对q所在点张开的立体角元相等，因此S对q所在点张开的立体角也是4,故上式仍成立.

(2)当点电荷q处于闭合曲面S外，由于E线

必定连续通过S包围的区域，即穿入S的

通量=穿出S的通量，于是有

（当Sq=0）

(3)S内有n个点电荷，S外有点电荷qn+1时，

据电场叠加原理，曲面上任一点的场强为

E=E1+E2+….+En+En+1

于是，通过S的总电通量

（4）上述结果可推广至电荷连续分布的情况

设某区域V内电荷体密度函数为，则通过包围V的任意曲

面S的总电通量是

（1.4-4b）

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其中

是V内的总电量，右方的体积分遍及曲面S包围的体积V。

高斯定理的意义

(1)高斯定理一个很重要的意义，在于它表示电场是有源场，电荷分布点就是电场的“源点”（Source

Points）.

设想某点P处于无限小体积dV中，闭合曲面S是dV的边界面。

若P点有+q,则从P点向外发出的电通量Ф>0,或者说从P点向外发出E线（P点是电场的“正

源”）

若P点有-q,则Ф<0,或者说E线收敛于P点（P点是电场的“负源”，或“汇”）

若P点上没有电荷，即q=0，则Ф=0，E线将连续通过该点；也有可能该点上E=0.

(2)库仑定律仅在静电情况下成立；但至今为止人们所观测到的全部电磁现象——小至分子、原

子、质子和电子等微观带电粒子，大至来自遥远星体的电磁现象，都表明高斯定理在静电与非静

电情形下都成立.

(3)距离平方反比律是高斯定理成立的基础

问题：虽然迄今为止所观测到的电磁现象，都表明高斯定理具有（1.4-4）的形式.但这不等于在

任何可能的时空尺度下，它必定也有同样形式，如果在某种情况下，距离平方反比律并非精确成

立，高斯定理会有什么形式？

若库仑定律在某一尺度下偏离距离平方反比律，即F∝1/r2+,≠0,则电场强度E∝1/r2+,高

斯定理将变成

（1.4-5）

这表示，通过一个闭合曲面的电通量，不仅与其内部的净电量q有关，也与所选择的曲面尺寸和

形状（例如不同半径r的球面）有关，这将是一个非常有趣的问题.因此，在所有可能达到的尺

度范围内，通过实验检验高斯定理的精确度，可验证库仑定律是否在任何尺度范围内都是一个精

确的距离平方反比定律.

应用高斯定理求电场分布

电荷是电场的源，电荷分布决定着电场的分布.

当电荷分布存在某种对称性(symmetry)，使我们由此可以判断出存在着这样的高斯面（gaussian

surface）———每个高斯面上所有点的场强E都相等，而且E的方向与高斯面法向的夹角处处

一致，那么高斯定理

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中左方的面积分（surfaceintegral）将会变得很简单,这情性下比起由库仑定律得到的矢量积分式

求电场就要方便得多.

下面讨论三种重要的对称性——球对称性、无限长直线对称性、无限大平面对称性的情形.

球对称性（SphericalSymmetry）

一个点电荷q的电场，就是球对称电场最简单的例子,q所在点就是对称中心（thecenterof

symmetry）.

事实上，如果电荷分布函数r仅与离开坐标原点的距离r有关，而与q和f无关,即r=r（r），

则r就具有

球对称性，它的电场必定有着同样的对称性.

[例1-5]均匀带电的薄球壳（AThinSphericalShellCarryingUniformlyCharge）的电场.球壳半径为

a、总电荷为q(教材p61)

[解]我们把球壳看得非常薄，电荷q均匀地分布在球面上，密度函数为

电荷的球对称分布,决定了电场也有球对称分布，即任一半径的球面上，各点的场强E都相等，

且E只有径向

分量：E=E.而球面元矢量dS=dS.

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在球外区域，半径为r(r≥a)的高斯面包含着全部电荷q，于是由

即

得（当r≥a）球外电场相当于全部电荷q集中于球心o的点电荷所产生在球内

区域，任意半径的高斯面包含的电荷均为零，由高斯定理得E=0（当r

大家试从电场叠加原理，判断上述结果的正确性.

问题：某一球面内部（或任意闭合曲面内部）包含的

净电荷为零，其内部电场是否必定为零？

[例1-6]半径为a的球体均匀带电荷q，

求电场分布(教材p64)

[解]电荷密度函数

有球对称性.如上例一样,球外任意半径r的球面包含的电量均为q，故由高斯定理我们同样得到

球外任一点P的场强

（当r≥a）

球外电场仍相当于全部电荷q集中于球心的点电荷所产生.

现在考虑球内离球心o为r的任一点P的场强.

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据叠加原理，P点的场强也是所有电荷元

dq=dV

产生的元场强之叠加.

我们设想，将从r到a的有限厚度带电球壳，分成许多无限薄的带电球面.由上例知，每个均匀

带电球面对内部的任何一点产生的场强都为零.因此，P点的实际场强仅由它所在球面内部的电

荷贡献，于是由高斯定理

得

即（当r≤a）

球内场强按r呈线性分布。

电场分布函数E（r）的曲线为

问题：

球心有一点电荷+q，半径为a的球壳均匀地分布着电荷-q，球壳内、外两区域的电场分布如何？

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补充习题：根据量子力学，基态氢原子中的电子云分布存在球对称性，电荷密度为

其中r是离开原子核的距离，可看成0

1）电子云的总电量；

2）离原子核为r处的总电场强度E，

3）基态氢原子外部存在电场吗？

无限长直线对称性infinitelongstraightlinesymmetry

当电荷分布函数只与离开某一无限长直线的垂直距离r有关，即电荷分布存在着无限长的直线

对称性，这直线就是对称轴（symmetryaxis），电场分布必定也有同样的对称性---以这直线为

轴、任意截面半径r的圆柱侧面所有点上，电场强度E都有相等的值，E的方向沿着r方向向

外（电荷为正时），或沿着r方向向内（电荷为负时）.

[例1-7]无限长的均匀带电直线的电场。

[解]设直线上的电荷密度为+l（C/m）.

在例1-4中曾用库仑定律分析过这个问题.由于带电线是“无限长”的，故与带电线垂直的所有

平面上电场分布都相同，而且场强E只与离开电线的距离r有关,方向沿.我们取长为l、截

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面半径为r的圆柱面（cylindersurface）为高斯面，

此面包含的电荷显然是l，于是由高斯定理

得到

即（1.4-6)

这与例1-4所得结果一致.我们注意到无限长的均匀带电直线的场强～1/r.

思考题：

（1）有限长和“无限长”均匀带电线的电场分布到底有何不同？

（2）在什么条件下才可以利用高斯定理近似地求有限长带电线的电场分布？

（3）同轴的圆柱形电容/同轴电缆

如果我们把同轴的圆柱形电容器/同轴电缆，看成“无限长”（实际上是其长度远大于截面直径，

并且忽略了靠近两个端面处电荷分布的不均匀性），并假定内外两电极的电荷分布是均匀的，单

位长度分别带电±l（C/m），把内电极看成截面半径可忽略的线，外电极是一个厚度很薄的圆筒，

试求出这电容器内部和外部的电场分布.

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(4)长度为5.0m，截面直径为1cm的薄铜管（Athincopperpipe）带有q=10C的净电荷(1C=10

-6C)，求离管轴为0.3cm和3cm处的场强.假定场点不是太靠近管端.

无限大平面对称性infiniteplanesurfacesymmetry

当电荷分布存在着无限大平面对称性----电荷密度只与离开某一无限大平面的距离有关，亦即在

离开这平面同样垂直距离的所有各点上，电荷密度都相等，则电场也有同样的对称性，而且电场

的方向必定与这平面垂直.

[例1-8]无限大均匀带电平板的电场，设电荷面密度为+.（教材P67）

从电荷分布可知，平板两边的电场分布相同，E线处处与平板垂直并指向板外，我们取如图所示

的圆柱形高斯面，其底面S与带电板平行，即底面元矢量dS的方向与E的方向一致，而側面元

矢量则与E线垂直，于是通过两底面的电通量为2ES，通过側面的电通量则为零，而这高斯面

包含的电荷为S,故由高斯定理

得

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即（1.4-7）

这结果表示，无限大均匀带电平板在其两边产生均匀电场----场强E的值是与离开此板的距离

无关的常数，而且E的方向均垂直于平板.

[例1-9]平行板电容器的电场，设两极板分别带电±q

一般地，两极版内外表面及边沿处都有电荷分布，因此，两极板之间及外部空间都会存在电场,

而且只有两极板中部区域，E线才与板面垂直.

如果极板边长的线度远大于两极板之间的距离d，作为一个近似，我们可以把电场看成由一对均

匀带电的“无限大平行板”所产生，即忽略极板外表面及边沿处的电荷分布带来的不均匀性——

电场只分布在两极板之间，而且场强的方向垂直于极板，如右图所示.

取一个圆柱形高斯面，其中一底面在极板，另一底面在两板之间，由高斯定理得场强的近似值

（1.4-8）

其中，电荷面密度=q/S，S是一块极板的面积.

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问题：我们可以将高斯面的两个底面分别取在两极板上吗？为什么？

习题：P70-722，3，5，7，14

两个均匀带电的共轴圆筒（P71,第7题）

无限长的共轴直圆筒半径分别为R1和R2，沿轴线z的方向，单位长度分别带电为1和2

（1）求各区域内的场强分布.

（2）若1=-2，情况如何？画出此情形的E--r曲线.

[解]电场分布显然有z轴对称性，场强只有方向的分量，而且在任意半径r的圆柱面各点上

都应当有相同的值.对于长度为l的一段，由高斯定理

得

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若1=-2

圆筒内部两个区域的场强不变，但圆筒外部区域的场强将为零，此情形下的E--r曲线为：