横县中学
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2023年2月14日发(作者：)圆锥曲线最值问题的常用解题方法及策略
摘要：本文结合具体的例题对圆锥曲线最值问题的常用解题方法及策略进行了
分析。
关键词：圆锥曲线；最值问题；方法
作者简介：梁清芳，任教于广西横县中学。
圆锥曲线的最值问题是各种考试的常见题型，解此类问题和解代数中的最值
问题类似；但是圆锥曲线的最值问题与曲线有关，利用曲线的性质研究圆锥曲线
的最值问题是它特有的方法。
一、化为二次函数，求二次函数的最值
依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式，而自变量都有一定的变化
范围，然后用配方法求出限制条件下函数的最值，就可得到问题的解。
例1：曲边梯形由曲线及直线，x=1，x=2所围成，试问通过曲线，上的哪一
点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
分析：先求出适合条件的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x=2的
交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。
大面积的普通梯形。
说明：如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨
论。
二、利用圆锥曲线性质求最值
有些问题先利用圆锥曲线的定义或性质给出关系式，再利用几何或代数方法
求最值，可使题目中的数量关系更直观，解题方法更简洁。
例2：已知双曲线的右焦点为F，点A(9，2)。试在双曲线上求一点M，使的
值最小，并求这个最小值。
分析：由条件得，与互为倒数，设d为点M到对应准线的距离，可得，把问
题转化为求的最小值，点M为过A点垂直于准线的直线与双曲线的交点。
说明：利用圆锥曲线的性质求最值是一种特殊方法，在利用时技巧性较强，
但是可以避繁就简，化难为易，使思路清晰，过程简捷。
三、化为一元二次方程，利用判别式求最值
如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，
解得要求未知量的范围，然后确定其最值。
例3：直线，椭圆C：。求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线l有公
共点M的椭圆中长轴最短的。
分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元二次方
程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的最小值。
解：椭圆C的焦点。
说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到一个一
元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最
小值，这种解法思路清晰、自然。
四、利用不等式求最值
列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。
例4：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，M是线段AB的中点，
求M到y轴的最短距离。
说明：用不等式求最值有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧，要在训练
过程中逐渐掌握。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要
取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立。
五、利用函数的性质求最值
有些圆锥曲线的最值问题，可以先转化成函数问题，然后利用函数的单调性、
有界性等性质求最值。
说明：本题把求圆锥曲线最值问题转化为求三角函数的最值问题，然后利用
的有界性得出结果。
六、利用平面几何的有关知识求最值
有些圆锥曲线求最值问题可以转化为平面几何问题，借助一些平面几何知识
求最值。
例6：已知椭圆，点A(4，0)是它的右焦点，B(2，2)是椭圆内一点，M是椭圆
上一动点，求的最大值和最小值。
说明：有些圆锥曲线求最值问题，如果用代数方法求解比较复杂，可以考虑
用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。
圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关
系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。因此，求圆锥曲线最值问题
能促进数学知识的融会贯通，也能使数学能力得到全面训练。
作者单位：广西横县中学
邮政编码：530300
CommonProblem-solvingMethodsandStrategiesforConstrainedandUnconstrained
OptimizationofConicSection
LIANGQingfang
Abstract:Thispaperanalyzescommonproblem-solvingmethodsandstrategiesforconstrainedand
unconstrainedoptimizationofconicsectionbasedonthespecificexamples.
Keywords:conicsection;constrainedandunconstrainedoptimization;methods