克里金插值

克里金插值

普莱斯利-福州九龙山庄

2023年2月17日发(作者：计算机报)

过各种网格插值方法的背景及原理：

1反距离加权插值法

反距离加权插值法(InverseDistancetoaPower)首先是由气象学家和地质工作者提出的，

后来由于D．Shepard的工作被称为谢别德法（Shepard方法），它的基本原理是设平面上分

布一系列离散点，己知其位置坐标(xi,yi)和属性值zi(i=1，2，…)，p(x,y)为任一格网点，

根据周围离散点的属性值，通过距离加权插值求P点属性值。距离加权插值法综合了泰森多

边形的邻近点法和多元回归法的渐变方法的长处，它假设P点的属性值是在局部邻域内中所

有数据点的距离加权平均值，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。周围点与P点因分布位

置的差异，对P(z)影响不同，我们把这种影响称为权函数wi(x,y)，方次参数控制着权系数

如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给

定一个较高的权重份额；对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个

格网结点时，给予一个特定数据点的权值，与指定方次的结点到观测点的距离倒数成比例。

当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1．0。当一个观测

点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1．0的权重。所有其它观测点被给

予一个几乎为0．0的权重。

2克里金插值法

克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以法国D．G．Krige的名字命

名的一种最优内插法。克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有

用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个

待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在

数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。它是考虑

了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结

构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后

进行加权平均来估计块段品位的方法。但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内

插的结果可信度较高：。克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)

和块克里金插值。常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情

况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是

通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面

积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。块克里金插值估算的

方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹

凸现象。按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其

中普通克里金(OrdinaryKriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是

指估计值是样本值的线性组

3最小曲率法

最小曲率法(MinimumCurvature)广泛应用于地球科学用最小曲率法生成的插值面类似于

一个通过各个数据值、具有最小弯曲量的长条形薄薄的弹性片。最小曲率法试图在尽可能

严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。最小曲率法不是一个精确的插值法，也就

是说在插值的过程中不可能总是完全尊重数据。

控制收敛的两个参数：最大偏差参数，最大循环次数。

4改进谢别德法

改进谢别德法(ModifiedQuadraticShepard)是由Franke及Nielson提出，它仍是一个与距

离成反比的加权方法。在使用反距离加权插值法时，当增加、删除或改变一个点时，需要

重新计算权函数wi(x,y)，为了克服反距离加权插值法的这一缺陷，改进谢别德法同样使

用距离倒数加权的最小二乘方的方法，但有以

下两个方面的改进：

(1)通过修改反距离加权插值法的权函数wi(x，y)=1/[di(x，y)],使其只能在局部范围内起

作用，以改变反距离加权插值法的全局插值性质，即它利用了局部最小二乘方法来消除或

减少所生成等值线的“鸭蛋”外观

(2)同时用节点函数Qi(x,y)来代替离散点(xi,yi)的属性值zi，Qi(x,y)是一个插值于点

(xi,yi)的二次多项式．即有Qi(xi,yi)=zi(i=1,2,…,n)。而且Qi(x,y)在点(xi,yi)附近与

函数属性值z(x,y)具有局部近似的性质。因此，如果认为距离(xi,yi)较远的点对Qi(xi,yi)

影响不大，则可以认为在(xi,yi)点附近Qi(x,y)就可以近似地表示函数属性值z(x,y)。

5自然邻点插值法

自然邻点插值法(NaturalNdghbor)是Surfer7、0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广

泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰森(Thiessen)多边形，当在数据集中

加入一个新的数据点(目标)时，就会修改这些泰森多边形，而使用邻点的权重平均值将决

定待插点的权重，待插点的权重和目标泰森多边形成比例。实际上，在这些多边形中，有

一些多边形的尺寸将缩小，并且没有一个多边形的大小会增加。同时，自然邻点插值法在

数据点凸起的位置并不外推等值线(如泰森多边形的轮廓线)。

6最近邻点插值法

最近邻点插值法(NearestNeighbor)又称泰森多边形方法，泰森多边形(Thiesen，又叫

Dirichlet或Voronoi多边形)分析法是荷兰气象学家A．H_Thiessen提出的一种分析方法。

最初用于从离散分布气象站的降雨量数据中计算平均降雨量，现在GIS和地理分析中经常

采用泰森多边形进行快速的赋值_2]。实际上，最近邻点插值的一个隐含的假设条件是任一

阿格点p(x，y)的属性值都使用距它最近的位置点的属性值，用每一个网格节点的最邻点

值作为待的节点值。当数据已经是均匀问隔分布，要先将数据转换为SURFER的网格文件，

可以应用最近邻点插值法；或者在一个文件中，数据紧密完整，只有少数点没有取值，可

用最近邻点插值法来填充无值的数据点。有时需要排除网格文件中的无值数据的区域，在搜

索椭圆(SearchEllipse)设置一个值，对无数据区域赋予该阿格文件里的空白值。设置的

搜索半径的大小要小于该阿格文件数据值之间的距离，所有的无数据同格节点都被赋予空白

值。

7多元回归法

多元回归(PolynomialRegression)是用来确定数据的大规模的趋势和图案多元回归实际

上不是插值器，因为它并不预测未知的z值，它只是根据空间的采样数据，拟台一个数学曲

面，用该数学曲面来反映空间分布的变化情况，它实际上是一个趋势面分析作图程序。

趋势面分析是对地质特征的空同分布进行研究和分析的一种方法，它是用某种形式的函数所

代表的曲面来逼近该地质特征的空间分布。这个函数从总体上反映了采样数据的区域性变化

趋势，称为趋势面部分；采样数据的实测值与这个函数对应值之差，称为偏差部分，它反映

了，局部性的变化。这就是说，把采样数据的实测值分解成两部分，趋势面部分和偏差部分，

趋势面部分用一个函数表示，它反映采样数据的总体变化，可以认为是由大范囝的系统性因

素引起的；偏差部分反映了，局部性的变化特点，可以认为由局部因素和随机因素引起的。

使用多元回归法进行趋势面分析要考虑两个方面的问题:一是趋势面函数(数学表达式)的确

定；二是拟合精度的确定。通常用的趋势面函数主要是多项式趋势面，因为多项式能够逼近

任意连续函数，因此，用多项式作趋势面能较好地反映连续变化的分布趋势，这在地质科学

中常用到。一般说多项式次数越高，则趋势面与实测数据偏差越小，但是，并不能说它就与

实际情况最符合，这还要在实践中检验。次数较高的趋势面只在采样点附近效果较好，在

外推和内插的效果方面不好，因而在实际应用的效果并不理想。在实际应用中，对起伏变化

比较缓和的简单采样数据配合次数较低的趋势面，就可以反映出区域背景；而变化复杂且

起伏较多的采样数据要配合次数较低高的趋势面。

使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定xY的最高次数设置，在曲面定义中选择所需的

多项式类型，可选用的曲面类型：简单平面(Simpleplanarsurface)、双线性鞍(Bi—linear

saddle)、二次曲面（Quadraticsurface）、三次曲面（Cubicsurface）、用户自定义多项

式（UserdefinedPolynomial）。

8径向基函数插值法

所谓径向基函数(RadialBasisFunction)，其基函数是由单个变量的函数构成的。一个点

(x,y)的这种基函数的形式往往是hi(x,y)=h(di)，这里的di表示由点(x,y)到第i个数据

点的距离。径向基函数插值法是多个数据插值方法的组合。根据生成一个圆滑曲面适应数据

的能力。许多人认为其中的复二次函数是最好的方法。

所有径向基函数插值法都是准确的插值器，它们都能尽量适应你的数据。若要生成一个更圆

滑的曲面。对所有这些方法都可以引入一个圆滑系数。

函数类型：最基本的函数类似于克里金中的方差图。当对于一个网格点插值时，这些函数为

数据点规定了一套最佳权重。

基函数类型有：

倒转复二次函数(InverseMultiquadric)：

R

h

hB

2

2

1

)(

复对数(Multilog)：B(h)=log(R

h

2

2

)

复二次函数(Multiquadratic)：B(h)=R

h2

2自然三次样条函数(NaturalCubic

Spfine)：B(^)一(+R)

薄板样条法函数(ThinPlateSpline)：B(h)=

R

h2

22/3

式中h为表示由点(x,y)到第i个数据点的距离；R参数是用户指定的平滑因子。

9三角网／线性插值法

三角网／线性插值法(TriangulationwithLinearInterpolation)使用最佳的Delaunay

三角形，连接数据点间的连线形成三角形原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边

都不能与另外的三角形相交，其结果构成了一张由三角形拼接起来的覆盖网格范囝的网。每

一个三角形定义了一个覆盖该三角形内网格节点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三

角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部节点SURFER所采用的九种离散数据内插

方法，几乎包括了目前所有的插值方法。该软件具有如此种类繁多的内插方法，这是其它同

类软件所不能比拟的。一般可使用SURFER默认的设置进行内插，生成网格文件，然后再绘

制所需的图件熟悉了各种内插方法的基本理论知识，根据各种数据的不同特点，结合数据

分析的目的，就能科学地选择内插方法，灵活地进行参数设置内插生成网格文件，在此基础

上绘制正确的图件，供我们提取更多的地学信息。