无锡湖滨中学

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文理导航2013/08

WENLIDAOHANG数学/理科指导

向量是既有大小又有方向的量，它同时具有代数形式

与几何形式的“双重身份”。因此在学习向量的加减法时，我

们通过“三角形法则”和“平行四边形法则”对向量的加减法

作解释和理解。在解决平面向量的某些问题时，如果我们可

以主动运用向量加减法的几何性质，构建图形运用数形结

合的方法，借助几何图形直观地反映出向量的代数关系来

解决问题，以“形”助“数”可以使向量问题简单化，抽象问题

具体化，从而达到事半功倍的效果。下面列举相关例题用以

说明。

例1.（苏、锡、常、镇四市2011届高三联考调研测试二）

平面内两个非零向量α，β，

满足|β|=1,且α与β-α的夹

角为135°，求|α|的取值范围。

分析：可令α=OA，β=OB，

则β-α=AB（如图①）

在ΔOBA中，设∠OAB=θ,

点评：如果这道题目只是单纯地利用代数的方法进行

运算，问题的解决将会比较困难。如果我们利用减法的三角

形法则来表示α，β，β-α，三者之间的关系。那么题中的

代数量就全部可以通过三角形的边、角等几何量来表示，这

样就可以把问题转换解三角形的问题。

例2.（2013年高考湖南文科卷）已知a，b是单位向量，

a-b=0，若c满足|c-a-b|=1，求|c|的最大值。

分析：注意到|c-a-b|=1，即|c-(a+b)|=1

令a=OA，b=OB(如图②)

∴a+b=OD∵a，b是单位向量且a·b=0,

∴四边形ABCD为正

方形，其中|OD|=2姨

设c=OC，则∵c-(a+b)=DC

由题意∵|c-(a+b)|=1∴|

DC|=1

∴C在以D为圆心，1为半径

的圆上，∴|c|的最大值为2

姨

+1

点评：作为一道高考题，这道题目的解决方案不止这一

种。在题中因为a与b是相互垂直的单位向量，我们同样可

以设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x，y)，这样条件|c-a-b|=1可以转化

为（x-1）2+(y+1)2姨=1，求|c|的最大值也可以转化为求的最

大值，这时同样可以以O点为原点，建立直角坐标系，利用

圆上点的几何性质来解决问题（如图②）。通过这一道题我

们可以发现同一道题的“数”与“形”是可以相互转化的，它

们可以互为补充，各取其长。

例3.（徐州市2013届高三第三次质量检测）

已知O为ΔABC的外心，若5OA+12OB-13OC=0，求

分析:∵O为ΔABC的外心，∴|OA|=|OB|=|OC|

∴5|OA|:12|OB|:13|OC|=5:12:13

又∵5OA+12OB?13OC=0

∴5OA+12OB=13OC(如图③)

∵132＝122+52∴OA⊥OB,

∴弧AMB所对的圆心角为270°

∴弧AMB所对的圆周角

∠C=135°

点评：这道题目的难点在于(1)

O为ΔABC的外心这一个条件怎

么用？(2)以5,12,13为长度的三条

边所构成的三角形是一个直角三

角形，那么怎么样可以用好这个隐

藏的几何条件？这两个难点都与

“几何性质”相关。在这个时候如果

可以运用向量加法的平行四边形

法则，将三个向量的代数关系用平行四边形法则来进行几

何描述，就可以很好地将“外心”以及直角三角形的几何性

质性质用好，从而顺利地将问题解决。

对于上述例题的分析，我们发现在解决部分向量问题

时如果熟练地运用向量的几何性质常可以让问题的解决显

得举重若轻。当然这并不是说向量的几何性质要比代数运

算重要，灵活地运用代数性质在解决问题的过程中也是必

不可少的。事实上数学是提示客观事物数量和形体本质关

系的科学，“数”与“形”是事物的两个侧面。在解决具体问题

时即不可以重“数”轻“形”，也不可以重“形”轻“数”。

（作者单位：江苏省无锡市湖滨中学）

向量加减法的几何性质在解题中

的应用举例

文/徐锡滨

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