贵州遵义
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2023年2月13日发(作者：)第1页（共30页）
2022年贵州省遵义市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）
1．（4分）全国统一规定的交通事故报警电话是（）
A．122B．110C．120D．114
2．（4分）下表是2022年1月﹣5月遵义市PM
2.5
（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）
的平均值，这组数据的众数是（）
月份1月2月3月4月5月
PM
2.5
（单
位：
μg/m3
）
2423242522
A．22B．23C．24D．25
3．（4分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）
A．B．
C．D．
4．（4分）关于x的一元一次不等式x﹣3≥0的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
5．（4分）估计的值在（）
第2页（共30页）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
6．（4分）下列运算结果正确的是（）
A．a3
•a
4
＝a
12B．3ab﹣2ab＝1
C．（﹣2ab3
）
2
＝4a
2b6D．（a﹣b）2
＝a
2
﹣b
2
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则
a+b的值为（）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
8．（4分）若一次函数y＝（k+3）x﹣1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（）
A．2B．C．D．﹣4
9．（4分）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶
段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过
90分钟．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图
表．则下列说法不正确的是（）
作业时间频数分布表
组别作业时间（单位：分钟）频数
A60＜t≤708
B70＜t≤8017
C80＜t≤90m
Dt＞905
A．调查的样本容量为50
B．频数分布表中m的值为20
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C．若该校有1000名学生，作业完成的时间超过90分钟的约100人
D．在扇形统计图中B组所对的圆心角是144°
10．（4分）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相
邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB
＝30°，则点B到OC的距离为（）
A．B．C．1D．2
11．（4分）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点
E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点
M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
12．（4分）遵义市某天的气温y
1
（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y
2
表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y
2
与t的函数图象大致是（）
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A．B．
C．D．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直
接答在答题卡的相应位置上．）
13．（4分）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2
﹣b
2
的值为．
14．（4分）反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝x﹣1交于点A（3，n），则k的值为．
15．（4分）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的
长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就
是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上
的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为．
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三、解答题（本题共7小题，共86分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相
应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）（1）计算：（）﹣1
﹣2tan45°+|1﹣|；
（2）先化简（+）÷，再求值，其中a＝+2．
18．（12分）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转
盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是﹣6，﹣1，8，转盘乙上
的数字分别是﹣4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是；转盘乙指针指向正数的概率
是．
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为
b，请用列表法或树状图法求满足a+b＜0的概率．
19．（12分）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱
形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
（1）求证：△ADE≌△CDG；
（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．
20．（12分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB
是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的
同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为
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60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F
在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
21．（12分）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，
B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买
A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设
购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
22．（13分）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为
“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x
2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛
物线C
1
：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C
2
．
（1）写出C
2
的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C
1
，C
2
于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C
2
的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
23．（13分）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶
点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，
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B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，
CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：；依据2：．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），
连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，
DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明
理由．
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2022年贵州省遵义市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）
1．（4分）全国统一规定的交通事故报警电话是（）
A．122B．110C．120D．114
【分析】本题考查的知识点是防范侵害，保护自己．保护自己，一要有警惕性；二要用
智慧，学会用一些方法技巧保护自己．
【解答】解：全国统一规定的交通事故报警电话号码是122，A符合题意；B、C、D选
项与题意不符．
故选：A．
【点评】解答本题关键是审清题意，明确主旨，把握防范侵害，保护自己，结合具体的
题意分析即可．
2．（4分）下表是2022年1月﹣5月遵义市PM
2.5
（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）
的平均值，这组数据的众数是（）
月份1月2月3月4月5月
PM
2.5
（单
位：
μg/m3
）
2423242522
A．22B．23C．24D．25
【分析】根据众数的定义进行判断即可．
【解答】解：这5个月PM
2.5
的值出现次数最多的是24，共出现2次，
因此这组数据的众数是24，
故选：C．
【点评】本题考查众数，理解众数的定义掌握众数的求法是正确解答的前提．
3．（4分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）
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A．B．
C．D．
【分析】根据左视图的形状进行判断即可．
【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的
画法和形状是正确判断的前提．
4．（4分）关于x的一元一次不等式x﹣3≥0的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
【解答】解：x﹣3≥0，
x≥3，
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上
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表示不等式的解集是解此题的关键．
5．（4分）估计的值在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】估算确定出范围即可．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
则的值在4和5之间，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
6．（4分）下列运算结果正确的是（）
A．a3
•a
4
＝a
12B．3ab﹣2ab＝1
C．（﹣2ab3
）
2
＝4a
2b6D．（a﹣b）2
＝a
2
﹣b
2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式逐
项进行判断即可．
【解答】解：A．a
3
•a
4
＝a
3+4
＝a
7
，因此选项A不符合题意；
B．3ab﹣2ab＝ab，因此选项B不符合题意；
C．（﹣2ab3
）
2
＝4a
2b6
，因此选项C符合题意；
D．（a﹣b）2
＝a
2
﹣2ab+b
2
，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及完全平方公
式，掌握同底数幂的乘法的计算方法，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的运算性
质以及完全平方公式是正确判断的前提．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则
a+b的值为（）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故选：C．
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【点评】本题考查了中心对称，关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O
的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
8．（4分）若一次函数y＝（k+3）x﹣1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（）
A．2B．C．D．﹣4
【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式
求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（k+3）x﹣1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k+3＜0，
解得k＜﹣3．
所以k的值可以是﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，在一次函数y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增
大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
9．（4分）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶
段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过
90分钟．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图
表．则下列说法不正确的是（）
作业时间频数分布表
组别作业时间（单位：分钟）频数
A60＜t≤708
B70＜t≤8017
C80＜t≤90m
Dt＞905
第13页（共30页）
A．调查的样本容量为50
B．频数分布表中m的值为20
C．若该校有1000名学生，作业完成的时间超过90分钟的约100人
D．在扇形统计图中B组所对的圆心角是144°
【分析】分别求出样本容量，m的值，该校有1000名学生，作业完成的时间超过90分
钟的人数，B组所对的圆心角，即可求解．
【解答】解：A、调查的样本容量＝5÷10%＝50，故选项A不符合题意；
B、m＝50﹣8﹣17﹣5＝20，故选项B不符合题意；
C、该校有1000名学生，作业完成的时间超过90分钟的人数≈1000×10%＝100人，故
选项C不符合题意；
D、在扇形统计图中B组所对的圆心角＝360°××100%＝122.4°，故选项D符合题
意；
故选：D．
【点评】本题考查了扇形统计图，样本容量，频数分布表等知识，求出样本容量是解题
的关键．
10．（4分）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相
邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB
＝30°，则点B到OC的距离为（）
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A．B．C．1D．2
【分析】作BH⊥OC于H，利用含30°角的直角三角形的性质得OB＝2，再由勾股定理
得OC＝，再根据cos∠BOC＝cos∠CBH，得，代入计算可得答案．
【解答】解：作BH⊥OC于H，
∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，
∴OB＝2AB＝2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OC＝＝，
∵∠CBO＝∠BHC＝90°，
∴∠CBH＝∠BOC，
∴cos∠BOC＝cos∠CBH，
∴，
∴，
∴BH＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，
熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
11．（4分）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点
E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点
第15页（共30页）
M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
【解答】解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S
扇形BOM
＝S
扇形DON
，
∴S
阴影
＝S
扇形DOC
﹣S
△DOC
＝﹣×1×1＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形
DOC的面积减去△DOC的面积．
12．（4分）遵义市某天的气温y
1
（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y
2
表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y
2
与t的函数图象大致是（）
第16页（共30页）
A．B．
C．D．
【分析】利用函数的定义及极差的含义，根据数形结合的思想求解．
【解答】解：因为极差是该段时间内的最大值与最小值的差．所以当t从0到5时，极
差逐渐增大；
t从5到气温为20℃时，极差不变；当气温从20℃到28℃时极差达到最大值．直到24
时都不变．
只有A符合．
故选：A．
【点评】本题考查极差的概念，正确理解极差的含义是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直
接答在答题卡的相应位置上．）
13．（4分）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2
﹣b
2
的值为8．
【分析】根据平方差公式将a
2
﹣b
2
转化为（a+b）（a﹣b），再代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a
2
﹣b
2
＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
14．（4分）反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝x﹣1交于点A（3，n），则k的值为6．
【分析】由一次函数的解析式求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣1经过点A（3，n），
第17页（共30页）
∴n＝3﹣1＝2，
∵反比例函数y＝（k≠0）经过A（3，2）
∴k＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特
征，待定系数法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
15．（4分）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的
长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就
是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为33792千米．
【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
∴BK＝OB×cosB≈6400×0.88＝5632，
∴北纬28°的纬线长C＝2π•BK
≈2×3×5632
＝33792（千米）．
故答案为：33792．
第18页（共30页）
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角
三角形的方法．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上
的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为2﹣．
【分析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．AM+BN＝
+，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，
0），到E（1，1），F（0，）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称
点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（+1）
x﹣，求出点P的坐标，可得结论．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．
∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝2，
∵AH⊥BC，
∴BH＝AH＝1，
∴AH＝BH＝CH＝1，
∴AM+BN＝+，
欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，）
的距离和的最小值，如图1中，
第19页（共30页）
作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，
此时直线EF′的解析式为y＝（+1）x﹣，
当y＝0时，x＝2﹣，
∴AM+BN的值最小时，CM的值为2﹣，
解法二：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM+BN＝AM+ME，
∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，
∵AD∥EC，
∴＝＝，
∴CM＝×1＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，
解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共7小题，共86分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相
第20页（共30页）
应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）（1）计算：（）﹣1
﹣2tan45°+|1﹣|；
（2）先化简（+）÷，再求值，其中a＝+2．
【分析】（1）先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值进行计算，再算乘法，
最后算加减即可；
（2）先变形，再根据分式的减法法则进行计算，根据分式的除法法则把除法变成乘法，
算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）（）﹣1
﹣2tan45°+|1﹣|
＝2﹣2×1+﹣1
＝2﹣2+﹣1
＝﹣1；
（2）（+）÷
＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝﹣，
当a＝+2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的化
简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关
键，注意运算顺序．
18．（12分）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转
盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是﹣6，﹣1，8，转盘乙上
的数字分别是﹣4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是；转盘乙指针指向正数的概率是
．
第21页（共30页）
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为
b，请用列表法或树状图法求满足a+b＜0的概率．
【分析】（1）根据概率的定义进行解答即可；
（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，所以转动转盘甲1次，指
针指向正数的概率是，
转盘乙也被等分为3份，其中2份标有正数，所以转动转盘乙1次，指针指向正数的概
率是，
故答案为：，；
（2）同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为负数的有3种，
所以同时转动两个转盘，指针所指数字之和为负数的概率为＝，
即满足a+b＜0的概率为．
【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结
果是正确解答的关键．
19．（12分）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱
形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
（1）求证：△ADE≌△CDG；
（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．
第22页（共30页）
【分析】（1）根据正方形和菱形的性质得出AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠
EHB＝∠GHB，求出∠ADE＝∠CDG，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）过E作EQ⊥DF于Q，根据正方形的性质得出AD＝AB＝4，∠A＝90°，∠ABD＝
45°，根据勾股定理求出DE和EQ，根据菱形的性质求出EF＝DE，再根据勾股定理求
出QF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，
∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，
∴∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，
即∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS）；
（2）解：过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，
∴EQ＝BQ，
∵BE＝2，
∴2EQ
2
＝2
2
，
∴EQ＝BQ＝（负数舍去），
第23页（共30页）
在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝DE＝2，
∴QF＝＝＝3，
∴BF＝QF﹣QB＝3﹣＝2．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，勾股定理等知识
点，能熟记菱形和正方形的性质是解此题的关键．
20．（12分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB
是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的
同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为
60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F
在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
【分析】（1）在Rt△DAE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答；
（2）延长FC交AB于点G，根据已知易得∠DGC＝60°，从而利用三角形的内角和可
得∠DCG＝60°，进而可得△DGC是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得DG
＝DC，再根据已知可求出AF的长，最后在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出
AG的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，
∴AD＝AE•tan60°＝3（米），
∴灯管支架底部距地面高度AD的长为3米；
第24页（共30页）
（2）延长FC交AB于点G，
∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，
∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，
∵∠GDC＝60°，
∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DC＝DG，
∵AE＝3米，EF＝8米，
∴AF＝AE+EF＝11（米），
在Rt△AFG中，AG＝AF•tan30°＝11×＝（米），
∴DC＝DG＝AG﹣AD＝﹣3＝≈1.2（米），
∴灯管支架CD的长度约为1.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（12分）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，
B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买
A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设
购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【分析】（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据
“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，
第25页（共30页）
解方程即可．
（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关
系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设每台B型设备的价格为x万元，则每台A型号设备的价格为1.2x万
元，
根据题意得，＝+4，
解得：x＝2500．
经检验，x＝2500是原方程的解．
∴1.2x＝3000，
∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．
（2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备，
∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，
由实际意义可知，，
∴12.5≤a≤50且a为整数，
∵500＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）．
∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（13分）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为
“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x
2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛
物线C
1
：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C
2
．
（1）写出C
2
的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C
1
，C
2
于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C
2
的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C
2
的解析式，再将该解析式化成顶
点式，可得出C
2
的顶点坐标；
第26页（共30页）
（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表
达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2
时，分别得出C
2
的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C
2
的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax
2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2
﹣3，
∴C
2
的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C
1
，C
2
于点M，N，
∴M（m，4am
2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am
2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2
﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am
2
﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C
2
的解析式为：y＝a（x+2）2
﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）
2
﹣3＝a（a﹣2）
2
﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）
2
﹣3＝a
3
﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）
2
﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）
2
﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a
3
﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a
3
﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a
3
﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）
2
﹣3；
∴a
3
﹣3﹣[a（a﹣2）
2
﹣3]＝2a，
解得a＝（舍）；
第27页（共30页）
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2﹣或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图
象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C
2
的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题
关键．
23．（13分）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶
点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，
B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，
CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一
个圆．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为45°．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），
连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，
DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
第28页（共30页）
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明
理由．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；
②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点
有且只有一个圆，
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案为：45°；
（3）①证明：∵AB＝AC，
第29页（共30页）
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：AD•AF的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接CF，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD•AF＝AB
2
＝8．
【点评】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解
第30页（共30页）
四点共圆的条件是解题的关键．