高等数学题

高等数学题

名词性从句课件-AVX钽电容

2023年2月17日发(作者：望洞庭ppt)

《高等数学》

专业年级学号姓名

一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（）1.收敛的数列必有界.

（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.

（）3.闭区间上的间断函数必无界.

（）4.单调函数的导函数也是单调函数.

（）5.若)(xf在

0

x点可导，则)(xf也在

0

x点可导.

（）6.若连续函数)(xfy在

0

x点不可导，则曲线)(xfy在))(,(

00

xfx点没有切

线.

（）7.若)(xf在[ba,]上可积，则)(xf在[ba,]上连续.

（）8.若),(yxfz在（

00

,yx）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(yxfz在

（

00

,yx）处可微.

（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（）10.设偶函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，且1)0()0(







ff,则

)0(f为)(xf的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1.设2)1(xxf，则)1(xf.

2.若

12

12

)(

1

1







x

x

xf，则

0

lim

x

.

3.设单调可微函数)(xf的反函数为)(xg,6)3(,2)1(,3)1(







fff则





)3(g.

4.设

y

x

xyu,则du.

5.曲线326yyx在)2,2(点切线的斜率为.

6.设)(xf为可导函数,)()

1

()(,1)1(2xf

x

fxFf



,则



)1(F.

7.若),1(2

)(

0

2xxdttxf则)2(f.

8.

xxxf2)(

在[0,4]上的最大值为.

9.广义积分

dxex2

0

.

10.设D为圆形区域dxdyxyyx

D

5221,1.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.计算)

)2(

1

)1(

11

(lim

222nnnn









.

2.求1032)10()3()2)(1(xxxxy在（0，+）内的导数.

3.求不定积分dx

xx



)1(

1

.

4.计算定积分dxxx



0

53sinsin.

5.求函数22324),(yxyxxyxf的极值.

6.设平面区域D是由

xyxy,

围成，计算

dxdy

y

y

D



sin

.

7.计算由曲线

xyxyxyxy3,,2,1

围成的平面图形在第一象限的面积.

8.求微分方程

y

x

yy

2





的通解.

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：

2

tanarcsin

1

x

arcx

x





)(x.

2.设)(xf在闭区间[],ba上连续，且,0)(xf

dt

tf

dttfxFxx

b

0)(

1

)()(

证明：方程0)(xF在区间),(ba内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1.442xx；2.1；3.1/2；xyy)/()/1(2；

5.2/3；6.1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.解：因为

2

1

(2)

n

n



222

111

(1)(2)nnn





L

2

1n

n



且

2

1

lim0

(2)n

n

n



，

2

1

lim

n

n

n



=0

由迫敛性定理知：)

)2(

1

)1(

11

(lim

222nnnn









=0

2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(lnxxxy

10

10

2

2

1

11

















xxx

y

y



)(10()1(



xxy)

10

10

2

2

1

1









xxx



3.解：原式=



xd

x1

1

2

=



xd

x2)(1

1

2

=2

cxarcsin

4.解：原式=

dxxx

0

23cossin

=2

0

2

3

sincos



xdxx



2

2

3

sincosxdxx

=2

0

2

3

sinsin



xxd



2

2

3

sinsinxxd

=2

0

2

5

][sin

5

2

x



2

2

5

][sin

5

2

x

=4/5

5.解：

02832



yxxf

x

022



yxf

y

故











0

0

y

x

或











2

2

y

x

当











0

0

y

x

时8)0,0(



xx

f，2)0,0(



yy

f，2)0,0(



xy

f

02)2()8(2且A=08

（0，0）为极大值点且0)0,0(f

当











2

2

y

x

时

4)2,2(



xx

f，

2)2,2(



yy

f

，

2)2,2(



xy

f

02)2(42无法判断

6.解：D=yxyyyx2,10),(

1

02

sinsiny

y

D

dx

y

y

dydxdy

y

y

=dyx

y

y

y

y2][

sin1

0

=

dyyyy)sin(sin

1

0

=1

0

1

0

cos]cos[yydy

=1

0

1

0

cos]cos[1cos1ydyyy

=1sin1

7.解：令xyu，

x

y

v；则21u，31v

v

v

u

u

v

vv

u

uv

yy

xx

J

vu

vu

2

1

2

22

1







3ln

2

12

1

3

1



D

dv

v

dudA

8.解：令uy2，知xuu42)(



由微分公式知：)4(22

2cdxxeeyudxdx









)4(22cdxxeexx

)2(222cexeexxx

四.证明题（每题10分，共20分）

1.解：设

21

arcsinarctan)(

x

x

xxf





2

2

2

2

2

2

21

1

1

1

1

1

1

1

)(

x

x

x

x

x

x

x

xf





















=0

cxf)(x

令0x0000)0(cf即：原式成立。

2.解：],[)(baxF在上连续

且dt

tf

aFa

b

)(

1

)(<0,dttfbFb

a)()(>0

故方程0)(xF在),(ba上至少有一个实根.

又

)(

1

)()(

xf

xfxF



0)(xf

2)(



xF

即)(xF在区间],[ba上单调递增

)(xF在区间),(ba上有且仅有一个实根.

《高等数学》

专业学号姓名

一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共

10

分）

1.)(xf在点

0

x处有定义是)(xf在点

0

x处连续的必要条件.

2.若)(xfy在点

0

x不可导，则曲线)(xfy在))(,(

00

xfx处一定没有切线.

3.若)(xf在],[ba上可积，)(xg在],[ba上不可积，则)()(xgxf在],[ba上必不可

积.

4.方程0xyz和

0222zyx在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.

5.设*y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则

*yyy为一阶线性微分方程的通解.

二、填空题（每题2分，共

20

分）

1.设

,5)(,12)3(afxxf

则

a

.

2.设

x

x

xf

3arcsin

)21ln(

)(



，当)0(f时，)(xf在点0x连续.

3.设xt

tt

xxf2)

1

1(lim)(



，则)(xf



.

4.已知)(xf在

ax

处可导，且Aaf



)(，则





h

hafhaf

h

)3()2(

lim

0

.

5.若2)]([cos)(2xf

dx

d

xxf，并且1)0(f，则)(xf.

6.若)(),(xgxf在点b左连续，且)()(),()(xgxfbgbf







)(bxa，

则)(xf与)(xg大小比较为)(xf).(xg

7.若2sinxy，则

)(2xd

dy

；

dx

dy

.

8.设x

x

tdtxf

2

ln)(，则



)

2

1

(f.

9.设yxez2，则

)1,1(

dz.

10.累次积分dyyxfdx

xRR)(2

0

2

0

22

化为极坐标下的累次积分为.

三、计算题（前

6

题每题

5

分，后两题每题

6

分，共42分）

1.







x

x

t

xdt

t

t

dtt

0

sin

0

1

0

sin

)1(

lim;2.设

1

ln

2

2





x

x

e

e

y，求y



;

x

xx







2sin1

cossin

;

4.2

0

224dxxx;5.设

22yx

x

z



,求

yx

z

y

z







2

,.

6.求由方程)ln()(2yxyxxy所确定的函数)(xyy的微分dy.

7.设平面区域D是由

xyxy,

围成，计算

dxdy

y

y

D



sin

.

8.求方程0)ln(lndyyxydxy在初始条件ey

x



1

下的特解.

四、（7分）

已知bxaxxxf23)(在1x处有极值2，试确定系数

a

、b，并求出所有的极

大值与极小值.

五、应用题（每题

7

分，共14分）

1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为)/(10hkm时，

燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每

航行km1所消耗的费用最小？

2.过点)0,1(向曲线

2xy

作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）

图形绕y

轴旋转所得旋转体的体积.

六、证明题（7分）

设函数)(xf在ax0上的二阶导数存在，且0)0(f,0)(



xf.证明

x

xf

xg

)(

)(在ax0上单调增加.

高等数学参考答案

一、判断题1.√；2.×；3.√；4.×；5.√.

二、填空题

1.36；2.

3

2

；2)1(4；4.A5；1；6.；

7.22cos2,cosxxx；8.2ln；2；

10.2

00

)2cos(



Rrdrrfd.

三、计算题

1.原式

x

x

xxx

x

sin

cos)sin1(

lim

sin

1

0







e

e



1

2.

22

2222

2

2

2

2)1(

2)1(2

1

2

1

1

1

















x

xxxx

x

x

x

xe

eeee

e

e

e

e

y

22

2

2

2

)1(

2

2

1











x

x

x

x

e

e

e

e

xe21

1





3．原式=

dx

xx

xx







2)cos(sin

cossin

)cos(sin

)cos(sin

1

2

xxd

xx







C

xx







cossin

1

4．设txsin2则tdtdxcos2

原式=2

0

2cos2cos2sin4



tdttt

2

0

22cossin16



tdtt

2

0

2

0

2)4cos1(22sin4



dtttdt





2

0

)4sin

4

1

(2tt

5．

2

3

22

22

22

)(

2

2

yx

xy

yx

yx

y

x

y

z

















322

2

1

22

2

3

22

2

)(

2)(

2

3

)(

yx

xyxxyyxy

yx

z











322

2232

)(

)2(

yx

yxyyx







6．两边同时微分得：

)(

1

)()ln()(2dydx

yx

yxyxdydxdxdy





即)()ln()ln(2dydxdyyxdxyxdxdy

故dx

yx

yx

dy

)ln(3

)ln(2







（本题求出导数后，用dxydy



解出结果也可）

7．1

02

sinsiny

y

D

dx

y

y

dydxdy

y

y

1

0

)sin(sindyyyy

1

0

1

0

1

0

coscoscosydyyyy

1

0

sin1cos1cos1y

1sin1

8．原方程可化为

y

x

yydy

dx1

ln

1



通解为]

1

[ln

1

ln

1

Cdy

y

eex

dy

yy

dy

yy





]

1

[lnlnlnlnCdy

y

eeyy

]ln

1

[

ln

1

Cydy

yy

])(ln

2

1

[

ln

1

2Cy

y



y

C

y

ln

ln

2

1



ey

x



1

代入通解得1C

故所求特解为：01ln2)(ln2yxy

四、解：

baxxxf



23)(2

因为)(xf在1x处有极值2，所以1x必为驻点

故023)1(



baf

又21)1(baf

解得：3,0ba

于是xxxf3)(3)1(3)(2



xxf

xxf6)(



由0)(



xf得1x，从而

06)1(



f，在1x处有极小值2)1(f

06)1(



f，在1x处有极大值2)1(f

五、1.解：设船速为)/(hkmx，依题意每航行km1的耗费为

)96(

1

3kx

x

y

又10x时，6103k故得006.0k，所以有

)96006.0(

1

3x

x

y，),0(x

令0)8000(

012.0

3

2





x

x

y，得驻点20x

由极值第一充分条件检验得20x是极小值点.由于在),0(上该函数处处可导，且

只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20hkm时，每航

行km1的耗费最少，其值为2.7

20

96

20006.02

min

y（元）

2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(

00

yx，则切线的斜率为

1

0

0

x

y

，

又因为22xy上的切线斜率满足12



yy，在),(

00

yx上即有12

0





yy

所以1

1

2

0

0

0







x

y

y，即12

00





xy

又因为

),(

00

yx满足2

0

2

0

xy，解方程组















2

12

0

2

0

0

2

0

xy

xy

得











1

3

0

0

y

x

所以切线方程为)1(

2

1

xy

则所围成图形的面积为：

6

1

)]12(2[1

0

2dyyyS

（2）图形绕

x

轴旋转所得旋转体的体积为：

6

)2()1(

4

13

2

1

0

2



dxxdxxV

六、证：

22

)]0()([)()()(

]

)(

[

x

fxfxfx

x

xfxfx

x

xf













在],0[x上，对)(xf应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x，使得

)()0()(fxfxf





代入上式得

2

)()(

]

)(

[

x

fxfx

x

xf







由假设0)(



xf知)(xf



为增函数，又x，则)()(fxf







,

于是0)()(





fxf,从而0]

)(

[



x

xf

，故

x

xf)(

在),0(a内单调增加.

《高等数学》试卷

专业学号姓名

一、填空题（每小题1分，共10分）

1．函数2

2

1

arcsin1

1

yx

x





的定义域为_______________。

2．函数xyxe上点（０，１）处的切线方程是______________。

3．设()fx在

0

x可导且

0

()fxA



，则00

0

(2)(3)

lim

h

fxhfxh

h



＝_______。

4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)xy的切线斜率为2x，则该曲线的方程是_________。

5．

41

x

dx

x

＝_____________。

６．

1

limsin

x

x

x

＝___________。

7．设(,)sinfxyxy，则

(,)

x

fxy＝____________。

8．累次积分

22

22

00

()RRxdxfxydy化为极坐标下的累次积分为________。

9．微分方程

32

2

32

3

()0

dydy

dxxdx

的阶数为____________。

10．设级数

1

n

n

a





发散，则级数

1000

n

n

a





_______________。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写

在题干的（）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）

1．设函数

1

(),()1fxgxx

x

，则(())fgx＝（）

①

1

1

x

②

1

1

x

③

1

1x

④ｘ

2．0x时，

1

sin1x

x

是（）

①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量

3．下列说法正确的是（）

①若()fx在

0

xx连续，则()fx在

0

xx可导

②若()fx在

0

xx不可导，则()fx在

0

xx不连续

③若()fx在

0

xx不可微，则()fx在

0

xx极限不存在

④若()fx在

0

xx不连续，则()fx在

0

xx不可导

4．若在(,)ab内恒有()0,()0fxfx



，则在(,)ab内曲线弧()yfx为（）.

①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧

5．设()()FxGx



，则（）

①()()FxGx为常数②()()FxGx为常数

③()()0FxGx④()()

dd

FxdxGxdx

dxdx

ｘ

6．

1

1

xdx

＝（）

①０②１③２④３

7．方程231xy在空间表示的图形是（）

①平行于xOy面的平面②平行于Oz轴的平面

③过Oz轴的平面④直线

8．设332(,)fxyxyxy，则(,)ftxty（）

①(,)tfxy②2(,)tfxy③3(,)tfxy④

2

1

(,)fxy

t

9．设

0

n

a，且

1

limn

n

n

a

a



＝ｐ，则级数

1

n

n

a





（）

①在1p时收敛，1p时发散②在1P时收敛，1p时发散

③在1p时收敛，1p时发散④在1p时收敛，1p时发散

10．方程236yxyxy



是（）

①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程④二阶微分方程

11．下列函数中为偶函数的是（）

①xye②31yx③3cosyxx④lnyx

12．设()fx在(,)ab可导，

12

axxb，则至少有一点(,)ab使（）

①()()()()fbfafba

②

21

()()()()fbfafxx



③

21

()()()()fxfxfba

④

2121

()()()()fxfxfxx



13．设()fx在

0

xx的左右导数存在且相等是()fx在

0

xx可导的（）

①充分必要的条件②必要非充分的条件

③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件

14．设22()cos[()]

d

fxxfx

dx

，则(0)1f，则()fx（）

①

cosx

②2cosx③1sinx④1sinx

15．过点（１，２）且切线斜率为34x的曲线方程为ｙ＝（）

①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④34x

16．设幂级数

0

n

n

n

ax





在

0

x（

0

0x）收敛，则

0

n

n

n

ax





在

0

xx（）

①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与

n

a有关

17．设Ｄ域由2,yxyx所围成，则

sin

D

x

d

x

（）

①

11

0

sin

x

x

dxdy

x

；②

1

0

siny

y

x

dydx

x

；

③

1

0

sinx

x

x

dxdy

x

；④

1

0

sinx

x

x

dydx

x

.

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）

１．设

1

(3)

x

y

xx







求y



.

２．求

2

4

3

sin(916)

lim

34x

x

x





.

３．计算

2(1)x

dx

e

.

４．设1

0

(cos)arctan,(sin)arctant

t

xuuduyuudu，求

dy

dx

.

５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.

６．设sinxyzue，求ｄｕ.

７．计算

sin

00

sinxardrd

.

８．求微分方程2

1

()

1

y

dydx

x







的通解.

９．将

3

()

(1)(2)

fx

xx





展成的幂级数.

四、应用和证明题（共15分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度

（比例常数为0k）求速度与时间的关系。

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1时，

1

23x

x

。

高等数学参考答案

一、填空题（每小题1分，共10分）

１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１

５．2

1

arctan

2

xc６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

８．2

2

00

()dfrrdr



９．三阶１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

（）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）

1．③2．③3．④4．④5．②6．②7．②8．⑤9．④10．③

11．④12．④13．⑤14．③15．③16．①17．②

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）

１．解：

1

ln[ln(1)lnln(3)]

2

yxxx

11111

()

213

y

yxxx







11111

()

2(3)13

x

y

xxxxx









２．解：原式＝

2

4

3

18cos(916)

lim

3x

xx





＝

2

44

18()cos(9()16)

33

3



＝８

３．解：原式＝

2

(1)

(1)

xx

x

eedx

e







＝

(1)x

dx

e

-

2

(1)

(1)

x

x

de

e







＝

(1)

1

xx

x

eedx

e







1

1xe





＝

1

ln(1)

1

x

x

xec

e





４．解：因为(cos),(sin)dxtarctgtdtdytarctgtdt

(sin)

(s)

dytarctgtdt

tgt

dxcotarctgtdt





５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝

所求直线方程为

112

103

xyz





６．解：sin(sin)xyzduedxyz

sin

1

(s)

2

xyzedxdycozdz

y



７．解：原积分＝

sin

23

000

1

sinsin

2

adrdrad



＝232

2

0

2

sin

3

ada





８．解：两边同除以2(1)y得

22(1)(1)

dydx

yx





两边积分得

22(1)(1)

dydx

yx







亦即所求通解为

11

11

c

xy





９．解：分解，得()fx＝

11

12xx







111

12

1

2

x

x







＝

00

1

(1)

22

n

nn

n

nn

x

x





（1x且1

2

x

）

＝

1

0

1

[1(1)]

2

nn

n

n

x







（1x）

四、应用和证明题（共１５分）

１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足

du

mmgku

dt



解方程得

1

()ktumgce

k



由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得(1)kt

mg

ue

k



２．证：令()fx

1

23x

x

则()fx在区间［１，＋∞］连续

而且当1x时，

2

11

()0(1)fxx

x

x





因此()fx在［１，＋∞］单调增加

从而当1x时，()fx(1)f＝０

即当1x时，

1

23x

x



《高等数学》

专业学号姓名

一、判断正误（每题2分，共20分）

1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.

2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.

3.xfy在点

0

x连续，则xfy在点

0

x必定可导.

4.若



x

点为xfy的极值点，则必有

0

xf



0.

5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.

6.方程

122yx表示一个圆.

7.若yxfz,在点

000

,yxM可微，则yxfz,在点

000

,yxM连续.

8.xexy



22是二阶微分方程.

9.xxtdt

dx

d

1

1sinsinsin.

10.若xfy为连续函数，则dttf

x

a必定可导.

二、填空题（每题4分，共20分）

1.___________

sin1







x

dx

.

2._______

2sin

lim

x

x

x

.

3.设1



xf，且10f，则___________dxxf.

4.2xyz，则___________dz.

5.____________sin2b

a

x

dx

d

.

三、计算题与证明题（共计60分）

1.n

nn

n

















1

2

lim1，（5分）；



















1

11

lim2

0

x

xe

x

，（5分）。

2.求函数xxxxysincoscossin的导数。（10分）

3.若在,上00,0



fxf.证明：



x

xf

xF在区间0,和,0

上单调增加.（10分）

4.对物体长度进行了

n

次测量，得到

n

个数

n

xxx,,,

21



。现在要确定一个量

x

，使之

与测得的数值之差的平方和最小.

x

应该是多少？（10分）

5.计算dxxx2sin.（5分）

6.由曲线xyln与两直线0,1yxey所围成的平面图形的面积是多少.（5分）

7.求微分方程yx

dx

dy

x满足条件0

2



x

y的特解。（5分）

8.计算二重积分,2dxdyx

D

D是由圆122yx及422yx围成的区域.（5分）

高等数学参考答案

一、判断正误（每题2分，共20分）

1-5．╳，╳，╳，╳，√.6-10.╳，√，╳，╳，√.

二、填空题（每题4分，共20分）

c

x

x

cos

1

tan.1；0.2；cx2

2

1

.3；xydydxy2.42；0.5.

三、计算题与证明题。（共计60分）

1.n

nn

n

















1

2

lim1=

1

3

3

1

1

3

1lim



•





















n

nn

nn

=1

3

lim





n

n

ne



















1

11

lim2

0

x

xe

x

=



















1

1

lim

0

x

x

xex

xe

=





















2

0

1

lim

x

xex

x

=



















x

ex

x2

1

lim

02

1

2

lim

0





















x

x

e

2.令xxycos

1

sinxxysin

2

cos则xxeysinlncos

1









xxeysinlncos

1

xxxxxexxxsinlncotsinsinlncos21cossinlncos



同理xxxyx21sin

2

tancoslncos





xxxyxsinlncotsin21cosxxxx21sintancoslncos

3.



x

xf

xF













x

xf

xF=



2x

xfxfx



令xfxfxxg



则0







xfxxg

为单调递减。时，为单调递增；时，当xgxxgx00

则当0x时()00gxg为单调递增时，当xFxxF00





当0x时()00gxg为单调递增时，当xFxxF00





故命题成立。

4.令22

2

2

1n

xxxxxxxf



n

xxxnxxf



21

2

则令为驻点

n

xx

xxfn









1

0

0

02

0





nxf的极小值点点为xfx

0



n

xx

xn







1应为

2sin=dx

x

x



2

2cos1

=dxxxx2cos

2

1

=cxxxx2cos

8

1

2sin

4

1

4

1

2

6.

2

3

2

1

111

0

1

0

1

0

21

0

yyeyyedyeyeS

7.方程变形为1

1





y

x

y

而















•



cdxeeydx

x

dx

x

11

1=x

x

c

2

1



初始条件：10

2





cy

x

x

x

y

2

11

*

8、20,21,*rrD

•

2

0

2

1

32222

4

15

coscos

*

drrdrdrdrdxdyx

D

D

《高等数学》

专业学号姓名

一、判断（每小题2分，共20分）

1.f(x)在点x

0

处有定义是f(x)在点x

0

处连续的必要条件.()

2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.()

3.y=f(x)在x

0

处可导,则y=|f(x)|在x

0

处也可导.()

4.初等函数在其定义域内必连续.()

5.可导函数f(x)的极值点一定是f(x)的驻点.()

6.对任意常数k,有dxxkf)(=kdxxf)(.()

7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.()

8.若f(x,y)在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y)为关于x的奇函数

时,

D

dxdyyxf),(=0.()

9.)(y

2=-2x-ex的通解中含有两个独立任意常数.()

10.若z=f(x,y)在P

o

的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P

0

连续.()

二、填空（每空2分，共20分）

1.

x

lim[xsin

x

1

+

x

1

sinx+(

x

x2

)x]=.

2.函数f(x)=x

x3

在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值=.

3.设f(x)=











0

0

xxa

xex

当a=时,f(x)在x=0处连续.

4.设z=eyx22,则dz|(0,0)=.

5.函数f(x)=ex-x-1在内单调增加;在内单调减少.

6.函数32yaxbxcxd满足条件时,这函数没有极值.

7.

dx

d

b

a

x2sindx=其中a,b为常数.

8.f



(x)=1且(0)0f,则dxxf)(=.

9.若I=1

02

),(x

x

yxfdxdxdy交换积分次序后得.

三、计算（每小题5分,共40分）

1.求

0

lim

x

(

2

1

x

-

xtgx

1

)；

t

txe1

ln

+

dtt

y)3(cos

1=2,求dy；

3.求

dx

xx



)1(

1

；4.求dx

x





1

4

311

1

；5.求dxxex



0

2；

6.设z=ln(x2+y2)求

x

z





,

yx

z



2

；

7.计算I=

D

xdxdy.其中D是由圆x2+y2=4围成的区域；

8.求微分方程-ydx+(x+y3)dy=0的通解.

四、应用题(每题7分,共14分)

1.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方

形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.

2.求由y=

x

1

,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体

积.

五、证明(本题6分)

证明:当x0时,不等式1+xx1

2

1

成立.

高等数学参考答案

一、判断正误（每题2分，共20分）

1√；2√；3╳；4╳；5√；6╳；7√；8√；9╳；10

╳.

二、填空题（每题4分，共20分）

1.21e；2.2；3.1；4.2dx；5.[0)，+，,0]（-；6.230bac；

7.0；8.2

1

2

xc；9.

1

0

(,)y

y

dyfxydx.

三、计算题与证明题（共计60分）

1.

2

0

11

lim

tanxxxx











2

0

tan

lim

tanx

xx

xx











3

0

tan

lim

x

xx

x











2

0

sec1

lim

3x

x

x











2

0

2sectan1

lim

63x

xx

x









2.方程两边同时对

x

求导得：

则

ln

(cos3)0

x

x

x

e

eyy

e





(cos3)0xy

cos3

x

y

y







cos3

x

dydx

y





3.

1

(1)

dx

xx



2

1

dx

x





2

1

2

1()

dx

x

2arctanxc

4、令2112xtxtdxtdt

当

3

4

x时

1

2

t；当1x时0t

原式

1

1

2

2

1

t

dt

t







11

22

00

1

221

11

t

dtdt

tt









1

2

0

2[ln112ln2tt

5.









0

2

0

2)

2

1

(dxexdxxexx







0

2

0

2)

2

1

()

2

1

(dxeexxx

4

1

4

1

0

2



xe

6.

22

22

22

2

)(

1

yx

x

yx

yx

x

z

















222222

2

)(

4

2

)(

2

yx

xy

y

yx

x

yx

z













7.令















sin

cos

ry

rx

，



2

0

2

0

cosrdrrdI

0]

3

1

[][sincos2

0

32

0

2

0

2

0

2rdrrd



8.解：2

1

yx

ydy

dx



)(

1

2

1

cdyeyex

dy

y

dy

y









)

2

1

(2cyy

原方程的通解为：)

2

1

(2cyyx

四、（每题7分，共14分）

1.解：设长方形的长和宽分别为

x

和y，面积为

s

，则202yx即yx220

2220yyxys)0(y

0420



ys，得5y

04



s

当长10xM；宽5yM时，面积最大。

五、（本题6分）

令xxxf1

2

1

1)(0

12

1

2

1

)(







x

xf

0)0()(fxf

即xx1

2

1

1