安徽省江南十校联考

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2020年安徽省“江南十校”综合素质检测

理科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知复数z＝(1－a)＋(a2－1)i(i为虚数单位，a>1)，则z在复平面内的对应点所在的象限为

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

|

2.已知集合A＝{x|3x

A.(－1，2)B.(2，7)C.(2，＋∞)D.(1，2)

3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发

彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径

为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为

厘米厘米厘米厘米

4.函数f(x)＝

cos

22xx

xx



在[－

2



，

2



]上的图象大致为

5.若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2，x3的系数之和为－10，则实数a的值为

A.－3B.－2C.－1

6.已知a＝log

32，b＝ln3，c＝2－，则a，b，c的大小关系为

>c>a>b>c>a>b>b>a

》

7.执行下面的程序框图，则输出S的值为

A.

1

12

B.

23

60

C.

11

20

D.

43

60

8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个

质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，

我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩。若将6拆

成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为

A.

1

5

B.

1

3

C.

3

5

D.

2

3

9.已知正项等比数列{a

n

}的前n项和为S

n

，S

2

＝

1

9

，S

3

＝

7

27

，则a

1

a

2

…a

n

的最小值为

A.

24

27







B.

34

27







C.

44

27







D.

54

27







10.已知点P是双曲线C：

22

22

22

1(0,0,)

xy

abcab

ab

上一点，若点P到双曲线C

的两条渐近线的距离之积为2

1

4

c，则双曲线C的离心率为

A.2B.

5

2

C.3

11.已知f(x)＝1－2cos2(ωx＋

3



)(ω>0)。给出下列判断：

}

①若f(x

1

)＝1，f(x

2

)＝－1，且|x

1

－x

2

|

min

＝π，则ω＝2；

②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象右移

6



个单位长度后得到的图象关于y轴对称；

③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[

41

24

，

47

24

)；

④若f(x)在[－

6



，

4



]上单调递增，则ω的取值范围为(0，

2

3

]。

其中，判断正确的个数为

12.如图，在平面四边形ABCD中，满足AB＝BC，CD＝AD，且AB＋AD＝10，BD＝8，沿着BD

把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC＝2，则三棱锥P－BCD体积的最大值为

2C.

162

3

D.

16

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

,

13.已知函数f(x)＝lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为。

14.若x

0

∈R，x

0

2－a2

0

1x＋5<0为假，则实数a的取值范围为。

15.在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|

＝3

10

，则向量OC的坐标为。

16.已知抛物线C：y2＝4x，点P为抛物线C上一动点，过点P作圆M：(x－3)2＋y2＝4的切线，

切点分别为A，B，则线段AB长度的取值范围为。

三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB＝bsin(

3



－C)＋

3

b。

(1)求角C的大小；

(2)若c＝7，a＋b＝3，求AB边上的高。

》

18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB2本小题

满分12分)

一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分。

(1)设抛掷4次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望。

(2)当游戏得分为n(n∈N*)时，游戏停止，记得n分的概率和为Q

n

，Q

1

＝

1

2

。

①求Q

2

；

②当n∈N*时，记A

n

＝Q

n＋1

＋

1

2

Q

n

，B

n

＝Q

n＋1

－Q

n

，证明：数列{A

n

}为常数列，数列{B

n

}为等比

数列。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆E：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的离心率为

3

2

，且过点(

73

,

24

)，点P在第一象限，A

为左顶点，B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D。

》

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若CD本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－x2＋ax(a∈R)。

(1)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；

(2)设函数f(x)的极值点为x

0

，当a变化时，点(x

0

，f(x

0

)构成曲线M。证明：过原点的任意直线

y＝kx与曲线M有且仅有一个公共点。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l

1

的参数方程为



1

1

xm

ykm















(m为参数)，直线l

2

的参数方程

2

xn

n

y

k















(n为参数)。若直线l

1

，l

2

的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C。

(1)求曲线C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l

3

的极

坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，tanα＝

4

3

(0<α<

2



)，点Q为射线l

3

与曲线C的交点，求点Q的极径。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|。

(1)求不等式f(x)

(2)若不等式m－x2－2x≤f(x)在R上恒成立，求实数m的取值范围。

]

】