开普勒三定律

开普勒三定律

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2023年2月16日发(作者：初中数学试题)

万有引力及天体运动

一．开普勒行星运动三大定律

1、开普勒第一定律(轨道定律):

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2、开普勒第二定律(面积定律):

对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

3、开普勒第三定律(周期定律):

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

1、如下图是行星m绕恒星M运动的情况示意图，那么下面的说法正确的选项是：

A、速度最大的点是B点

B、速度最小的点是C点

C、m从A到B做减速运动

D、m从B到A做减速运动

二、万有引力定律

1、万有引力定律的建立

①太阳与行星间引力公式

②月—地检验

③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G

2、万有引力定律

①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量

1

m和

2

m的乘积成正比，与它们之间的距离r

的二次方成反比。即：

②适用条件

〔Ⅰ〕可看成质点的两物体间，r为两个物体质心间的距离。

〔Ⅱ〕质量分布均匀的两球体间，r为两个球体球心间的距离。

③运用

地上：忽略地球自转可得：

2〕计算重力加速度

地球上空距离地心r=R+h处方法：

在质量为M’，半径为R’的任意天体外表的重力加速度''g

方法：

〔3〕计算天体的质量和密度

利用自身外表的重力加速度：

天上：利用环绕天体的公转：等等

〔注：结合得到中心天体的密度〕

〔4〕双星：两者质量分别为m

1

、m

2

，两者相距L

特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。

双星轨道半径之比：

双星的线速度之比：

三、宇宙航行

1、人造卫星的运行规律

2

Mm

FG

r



11226.6710/GNmkg

12

2

mm

FG

r



2R

Mm

Gmg

2

''

''

''

R

mM

Gmg

mg

R

Mm

G

2

r

T

mrm

r

v

m

r

Mm

G

2

2

2

2

2

4



3

3

4

RM

2

'

)(hR

Mm

Gmg





1

2

2

1

2

1

m

m

v

v

R

R



2

2

(1):

MmGM

v

Gmv

rrr

卫

地地

卫

由得

r

T

mrm

r

v

m

r

Mm

G

2

2

2

2

2

4



3

32

T=2.

GM

GMGMrM

vaG

rrr

，，，

例.两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为T

A

：T

B

=1：8，那么轨道半径之比和运动速率之比分别为〔〕

2、宇宙速度

第一宇宙速度：V

1

=7.9km/s第二宇宙速度：V

2

=11.2km/s脱离速度第三宇宙速度：V

3

=16.7km/s逃逸速度

注：〔1〕宇宙速度均指发射速度

〔2〕第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度〔环绕速度〕

3、地球同步卫星〔通讯卫星〕

〔1〕运动周期与地球自转周期相同，且T=24h；

〔2〕运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；

〔3〕同步卫星高度不变，运行速率不变〔因为T不变〕；

〔4〕同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。

对同步卫星：运动规律：

由于同步卫星的运动周期确定〔为T=24h〕，故而其r、v、ω、T、a等均为定值。

3)卫星的变轨问题

卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，有．当卫星由于某种

原因速度突然增大时，，卫星将做离心运动；当突然减小时，，卫星做向心运动。

变轨处机械能会改变

四、小专题剖析

1、测天体的质量及密度：

1.继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，

美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼〞号土星探测器于美国东部时间6月30日〔北京时间7月1日〕抵

达预定轨道，开始“拜访〞土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗卫星最详尽的探测！假设“卡西尼〞

号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星外表高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕

n

周飞行时

间为t。试计算土星的质量和平均密度。

3、人造卫星、宇宙速度：

将卫星发射至近地圆轨道1〔如下图〕，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、

2相切于Q点，2、3相切于P点，那么当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说

法正确的选项是：

2

23

(2):

MmGM

Gmr

rr

卫

地地

卫

由得

23

22

4

2(3):

Mm

r

GmrT

rTGM



卫

地

卫

地

由得

r

T

mrm

r

v

m

r

GMm

22

2

2

)

2

(





P

1

2

3

•

•

Q

A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。

D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。

2.“神舟六号〞飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远

地点350km的圆轨道3。设轨道2与1相切于Q点，与轨道3相切于P点，如图３所示，那么飞船分别在1、2、轨道

上运行时〔〕

A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B．飞船在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C．飞船在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点的加速度

D．飞船在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度

2021年9月25日至28日我国成功实施了“神舟〞七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞

行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90

分钟。以下判断正确的选项是〔〕

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度小于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

4、双星问题：

【例4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测

得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

5、有关航天问题的分析：

无人飞船“神州二号〞曾在离地高度为H＝3.4



105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多

少圈？〔地球半径R=6.37



106m，重力加速度g＝9.8m/s2〕

P

地球

Q

轨道1

轨道2

作业

1．火星的质量和半径分别约为地球的

10

1

和

2

1

，地球外表的重力加速度为g，那么火星外表的重力加速度约为

A．0.2gB．0.4g

C．2.5gD．5g

2.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球外表约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的

观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球

外表的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是

A．0.6小时B．1.6小时C．4.0小时D．24小时

3.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。某一近地卫星绕地球运

动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,,由此估算该行星的平均密度为

〔〕

×103kg/m3B.5.6×103kg/m3

C.1.1×104kg/m3×104kg/m3

4.英国?新科学家〔NewScientist〕?杂志评选出了2021年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最

小黑洞位列其中，假设某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足

2

2

Mc

RG

〔其中

c

为光速，G为引力

常量〕，那么该黑洞外表重力加速度的数量级为〔〕

A．8210m/sB．10210m/s

C．12210m/sD．14210m/s

5.我国探月的“嫦娥工程〞已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假设宇航员在月球上测得摆长为l的单摆

做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，那么月球的密度为

A．

2

π

3

l

GrT

B．

2

3πl

GrT

C．

2

16π

3

l

GrT

D．

2

3π

16

l

GrT

6．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S

1

和S

2

构成，两星在相互之间的万有引力

作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由于文观察测得其运动周期为T，S

1

到C点的距离为r

1

，S

1

和

S

2

的距离为r，引力常量为G。由此可求出S

2

的质量为〔〕

A．

2

1

22)(4

GT

rrr

B．

2

3

1

24

GT

r

C．

2

324

GT

r

D．

2

1

224

GT

rr

7.地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据

可推算出

A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8

B.地球外表重力加速度与月球外表重力加速度之比约为9∶4

C.靠近地球外表沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球外表沿圆轨道运行的航天器的周期

之比约为8∶9

D.靠近地球外表沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球外表沿圆轨道运行的航天器线速度之

比约为81∶4

8.〔15分〕天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利

用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别

做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。〔引力常量为G〕

9.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星外表上，再经过屡次弹跳才停下来。假设着陆器第一次

落到火星外表弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ

0

，求它第二次落到火星外表时速度

的大小，计算时不计大气阻力。火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r

0

的均匀球体。

10.〔10分〕宇航员在地球外表以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；假设他在某星球外表以相同

的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。〔取地球外表重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计〕

⑴求该星球外表附近的重力加速度g/；

⑵该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。

11.〔15分〕中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转

周期为T＝s

30

1

。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时

星体可视为均匀球体。

12.我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号〞。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球外表．月球的质量约

为地球质量的，月球的半径约为地球半径的,地球上的第一宇宙速度约为7．9km/s，那么该探月卫星绕月运行的

速率约为〔〕

A．0．4km/sB．1．8km/sC．11km/sD．36km/s

13.一飞船在某行星外表附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测

量〔〕

A．飞船的轨道半径B．飞船的运行速度

C．飞船的运行周期D．行星的质量

14.如图4所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，以下说法正确的选项是〔〕

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c

D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大

15．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200km,运用周期127分钟。假设还知道引力常量

和月球平均半径,仅利用以上条件不能

．．

求出的是

A．月球外表的重力加速度B．月球对卫星的吸引力

C．卫星绕月球运行的速度D．卫星绕月运行的加速度

16、据报道．我国数据中继卫星“天链一号01星〞于2021年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变

轨控制后，于5月l日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星〞，以下说法

正确的选项是

A．运行速度大于7.9Kg/s

B．离地面高度一定，相对地面静止

C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

17.由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动。对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法

正确的选项是

A．向心力指向地心B．速度等于第一宇宙速度

C．加速度等于重力加速度D．周期与地球自转的周期相等

18、现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为r

A

和r

B

。如果r

A

＜r

B

，那么

A．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大

B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大

C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大

D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大

19.假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运

动，那么以下物理量变化正确的选项是

A．地球的向心力变为缩小前的一半

B．地球的向心力变为缩小前的

16

1

C．地球绕太阳公转周期与缩小前不相同

D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

20.天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出

A．行星的质量B．行星的半径

C．恒星的质量D．恒星的半径

21.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居〞行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球外表重量为600N

的人在这个行星外表的重量将变为960N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为

A．0.5B．2.

C．3.2D．4

22.、太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方〞与“行星与太阳的平均距离的三次方〞成正

比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为

A．1.2亿千米B．2.3亿千米

C．4.6亿千米D．6.9亿千米

23.土星周围有美丽壮观的“光环〞，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，

它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km。环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量

为6.67×10-11Nm2/kg2，那么土星的质量约为〔估算时不考虑环中颗粒间的相互作用〕

Ａ．9.0×1016kgＢ．6.4×1017kgＣ．9.0×1025kgＤ．6.4×1026kg

24.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，

它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，

仅利用以上两个数据可以求出的量有

A．恒星质量与太阳质量之比B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比D．行星运行速度与地球公转速度之比

24.16分〕神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度342hkm的圆形

轨道。地球半径31037.6Rkm，地面处的重力加速度2m/s10g。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公

式〔用h、R、g表示〕，然后计算周期T的数值〔保存两位有效数字〕

水星金星地球火星木星土星

公转周期〔年〕0.2410.6151.01.8811.8629.5

25.如图5所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。地球半径为R，地

球自转角速度为，地球外表的重力加速度为g，O为地球中心．

〔1〕求卫星B的运行周期。

〔2〕如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近〔O、B、A在同一直线上〕，那么至少

经过多长时间，他们再一次相距最近？

27.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观

测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑

其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图7所示。引力常量为

G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

〔1〕可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体〔视为质点〕对它的引力，设A和B

的质量分别为m1、m2，试求m’〔用m1、m2表示〕；

〔2〕求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

〔3〕恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。假设可见星A的速率v＝2．7

×105m/s，运行周期T＝4．7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？〔G＝6．67×10－11N·m2/kg2，

ms＝2．0×1030kg〕

DBDCBDC

8.解析：设两颗恒星的质量分别为m

1

、m

2

，做圆周运动的半径分别为r

1

、r

2

，角速度分别为w

1

,w

2

。根据题意有

w

1

=w

2

①

r

1

+r

2

=r②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

1

2

11

2

21rwm

r

mm

③

G

1

2

21

2

21rwm

r

mm

④

联立以上各式解得

21

2

1mm

rm

r



⑤

根据解速度与周期的关系知

T

ww

2

21

⑥

联立③⑤⑥式解得

3

2

2

21

4

r

GT

mm



⑦

9.〔16分〕

G──

M

r

m

0

2

′

=m′g′①G──

M

r

m

2

=m(

──

2π

T

)2r②

υ

1

2=2g′h③υ=√

─────────

υ

1

2+υ

0

2④

υ=√───────

───────

8π2

2

h

T

r

0

2

r3

+υ

0

2

10.解：⑴0

2v

t

g



故：/2

1

2m/s

5

gg

⑵

2

GM

g

R

，所以

2gR

M

G



可解得：M星:M地＝112:542＝1:80，

11.设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物质质量为m，

那么有

Rm

R

GMm

2

2



T

2



3R

3

4

M

由以上各式得

2GT

3



代人数据解得

314m/kg1027.1

BCDBCDABCBBDAD

24.设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有

v

r

T

r

v

m

r

Mm

G

2

2

2





地面附近

mg

R

Mm

G

2

由条件

hRr

解以上各式得

3

2

()

2

Rh

T

Rg







代入数值，得

s104.53T

26.解析：〔1〕由万有引力定律和向心力公式得

忽略地球自转影响有

解得

〔2〕设A、B两卫星经时间再次相距最近，由题意得，又有

解得

27.解析：设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛

顿运动定律，有，，

设A、B间距离为，那么

由以上各式解得

由万有引力定律，有，代入得

令，通过比拟得

〔2〕由牛顿第二定律，有

而可见星A的轨道半径

将代入上式解得

〔3〕将代入上式得

代入数据得

设，将其代入上式得

可见，的值随的增大而增大，试令，得

可见，假设使以上等式成立，那么必大于2，即暗星B的质量必大于，由此可得出结论：暗星B有可能

是黑洞。

作业

1．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，

这飞行器距地心距离与距月心距离之比为______．

2．地面的重力加速度是g，距地面高度等于地球半径2倍处的重力加速度为______g．

3．一物体在地球外表重16N，它在以2m/s5的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，那么此时火箭离地面的距

离为地球半径的_____倍．〔2m/s10g〕

4．太阳质量是kg1097.130，地球质量是kg1098.524，太阳和地球间的平均距离是m1049.111，太阳和地球

间的万有引力是______N．拉断截面积为2cm1的钢棒需力N1086.64，那么，地球和太阳间的万有引力可以拉断截

面积是_____2m的钢棒．

5．两个物体的质量分别是

21

mm，当它们相距为r时，它们间的引力是F．

〔1〕当

1

m增大为

1

2m，

2

m增大为

2

3m，其他条件不变，那么引力为_____F．

〔2〕当r增大为r2，其他条件不变，那么引力为______F．

〔3〕当

1

m、

2

m、r都增大为原来的2倍，那么引力为______F．

6．两颗行星都绕太阳做匀速圆周运动，它们的质量之比pmm

21

:，轨道半径之比qrr

21

:，那么它们的公转

周期之比

21

:TT_____它们受到太阳的引力之比

21

:FF_____．

7．一物体在地球外表受重力为

1

G，在离地面h米高处受重力为

2

G，那么地球半径应为______．

8．两个质量为

1

m、

2

m的均匀球体，球心间距为L，在其连线上有一质量为

m

的小球，受到

1

m与

2

m对它的引力，

假设引力的合力为零，那么

m

到质量为

2

m的小球的距离为______．

参考答案：

1．1:92．

9

1

3．3

4．221054.3

5．〔1〕6；〔2〕

4

1

；〔3〕1

6．1:3q2:qp

7．h

GG

G





21

2

8．L

mm

m





21

2