向量
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2023年2月13日发(作者：)高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量
的数量积．平面两点间的距离、平移．
考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
（2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和
垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握
平移公式．
05.平面向量知识要点
1.本章知识网络结构
2.向量的概念
（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标
表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
（3）向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
（4）特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量
｜aO｜＝1.
x
1
x
2
（5）相等的向量：大小相等，方向相同（ｘ1，ｙ1）＝（ｘ
2，ｙ2）12
y1y2
1平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实
数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（6）相反向量：a=-bb=-aa+b=0
（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也
称为共线向量.
3.向量的运算
运算类型几何方法坐标方法运算性质
向量的1.平行四边形法则
加法2.三角形法则
向量的
减法
三角形法则ab(x1x2,y1y2)
rrrr
aba(b)
uuuruuur
ABBA,OBOAAB
数
乘
向
量
1.
r
a是
一个向量,满
rr
足:
|a||||a|
rrr
2.
>0时,a与a同向;a(x,y)
rr
<0时,a与a异向;
rr
(a)()a
rrr()aaa
rrrr
(ab)abrrrra//
bab
a
r
?b
r是一个数
向
量
的
数
量
积
rrrr
1.a0或b0时，
a?b0.
rrrra0且b0时，
agb|a||b|cos(a,b)
x1x2y1y2
rrrrrr
(a)?ba?(b)(a?b)rrrrr
rr(ab)?ca?cb?c
r
2
r
2
ur
22a|a|*123即|a|=
x2y2rrrr
|a?b||a||b|
yx
rc
（4）线段的定比分点公式
设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则
11
OP＝OP1＋OP2（线段的定比分点的向量公式）
11
x
1
x
2
1（线段定比分点的坐标公式）y
1
y
2
.
1.
当λ＝1时，得中点公式：
x
1OP＝（OP1＋OP2）或
2
y
（5）平移公式
设点P（x，y）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f
（x－ｈ）
（6）正、余弦定理
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径
为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③
S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=PPaPbPc[海伦公式]b+a-c）r
c=1/2（a+c-b）rb
4个，一个是内心，其余3个是旁心A.
余弦定
理：
222
a＝b＋c－2bccos
正弦定
理：
asin
A
bcsinBsinC
222
b＝c＋a－
2cacosB，
c2＝a2＋b2－
2abcosC.
x1x2
2
y1y2
2
则OP＝OP+a或
xh,y
k.
2R.
到三角形三边的距离相等的点
有
O
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2
[注]：如图：
aE
C
ra
1图图2图3图4
图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr
图2中的I为S△
ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交
于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁
心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即a
bc]
2则：
①AE=sa=1/2（b+c-a）②BN=sb=1/2（a+c-b）
③FC=sc=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对
边（如图4）.
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=abcab（如图3）.
2abc⑹在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanC.证明：因为ABC,
所以tanABtanC，所以tanAtanBtanC，结论！
1tanAtanB22⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD2ACBDABBCBDDC.
BC证明：在△ABCD中，由余弦定
理，有AD2AB2BD22222在△ABC中，由余弦定理有
cosBABBCAC②，
2ABBC
22
可得，AD
2ACBDABBC
BDDC（斯德瓦定理）
BC
①若AD是BC上的中线，ma
1
2b22c2a2；a2
②若AD是∠A的平分线，
ta
2bcppa，其中p
bc
③若AD是BC上的高，ha
2ppapbpc，其中p为半周长.
a
ABBDcosB①
②代入①，化简
5
2
⑻△ABC的判定：
空间向量1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向
量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间
向量的加法、减法与数乘向量运算如下
OBOAABab
BAOAOBab
OPa(R)
运算律：⑴加法交换律：abba
⑵加法结合律：(ab)ca(bc)
⑶数乘分配律：(ab)ab
3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或
平
行向量．a平行于b记作a//b．
当我们说向量a、b共线(或a//b)时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直
线，也可能是平行直线．
2c<
2c>
b2
b2
b2
△ABC为直角△
△ABC为钝角△
△ABC为锐角△
∠A+
∠A+
∠A+
∠B<
2
∠B>
2
222
abc
cosC
2ab
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平
方和
附：证明：
，得在钝角△
ABC中，cosC0a
2
b
2
c
2
0,a
2
b
2
c
2
abab
2(a
2b2)
，则称ar与b互相垂直，记作：a
r
b
r
.
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数
λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，
点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
OPOAta．其中向量a叫做直线l的方向向量.
5．向量与平面平行：
ruuurr
r已知平面和向量ar，作rOAar，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量ar
平行于平面，记作：ar//．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：rr如果两个向量ar,b不共线，pr与向量ar,b共面的充要条件是存
在实数x,y使rpxaryb
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，
使
uuuruuur
MPxMA
uuur
yMB或对空间任一点
uuur
O，有OP
uuuur
OM
uuur
xMAuuuryMB
①式叫做平面MAB的向量表达式
7空间向量基本定理：
r
如果三个向量ar,b,cr不共面，那么对空间任一向量
rrrr
x,y,z，使pxaybzc
推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点
8空间向量的夹角及其表示：
rruuurruuurrr已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做
向量ar
r
r
r
r
r
r
rr
r
与b的夹角，记作ar,b；且规定0ar,b，显然有ar,bb,ar；若
rp，存在一个唯一的有序实数组
P，都存在唯一的三个
有序实数x,y,z，使OP
uuuruuur
xOAyOB
uuur
zOC
2
ruuurr
a，则有向线段OA的长度叫做向量ar的长度或模，记
作：
10．向量的数量积：ab|a||b|cosa,
uuurrr
已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，
uuuuruuurr
作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在er上的正射影.
uuuuruuuuruuurrrrr
可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．
11．空间向量数量积的性质：
（1）arer|ar|cosar,er．（2）arbarb0．（3）|a
r
|
2
a
r
a
r．
12．空间向量数量积运算律：
（1）（ar）b（arb）ar（b）．（2）arbbar（交换律）（3）
ar（bcr）arbarcr
（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对
应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a=（a1,a2,a3）,b（b1,b2,b3），则
9．向量的模：
uuur
设OA
|ar|.
ab(a1b1,a2b2,a3b3)
a(
a1,
a2,a3)(
R)
aba1b1
a
2
b
2
a
3
b
3
a∥ba1
b
1
,a
2
b
2
,a
3b3(R)
a
1
a
2
b1b2
a
3
b
3
aba1b1a2b2a3b30
a1
2a2
2a3
2（用到常用的向量模与向量之间的转化：
a2
aa
cosa,b
aba
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
②空间两点的距离公
式：
d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.
|a||b|a1
2a2
2a3
2b1
2b2
2b3
2
2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a
如果a那么向量a叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射
线，其中A，则点B到平面的距离为|ABn|.
|n|
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别
是二面角l中平面,的法向
量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，
n1,n2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a平面，ABa,CD，且CDE三点不共线，则a∥
的充要条件是存在有序实数对使ABCDCE.（常设ABCDCE求解,若,存在即证毕，若,
不存在，则直线AB与平面相交）.
AB
4.重要定理、公式
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.