拐点怎么求

拐点怎么求

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2023年2月16日发(作者：音乐术语)

曲线的凹凸性与拐点

为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用

曲线的“凹凸性”来描述的.

一、曲线的凹凸性

从图3-12（a），（b）可以观察到.

定义1如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如

果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间

与凸区间.

从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()fx



随着x的增大而增大，即()fx



单调增加；

对于凸的曲线弧，其切线的斜率()fx



随着x的增大而减少，即()fx



单调减少.而函数()fx



的单调性又可用它的导

数，即()fx的二阶导数()fx



的符号来判定，故曲线()yfx的凹凸性与()fx



的符号有关.

定理1设函数()fx在区间(,)ab上具有二阶导数.

（1）如果在区间(,)ab上，有()fx



>0，那么曲线在(,)ab上是凹的；

（2）如果在区间(,)ab上，有()fx



<0，那么曲线在(,)ab上是凸的.

例1判定曲线lnyx的凹凸性.

解函数的定义域为(0,)，而

2

11

,yy

xx



因此曲线lnyx在(0,)内是凸的.

例2讨论曲线3yx的凹凸区间.

解函数的定义域为(,)，23,6yxyx





显然，当

0x

时，0y



；当

0x

时，0y



.因此(,0)为曲线的凸区间，(0,)为曲线的凹区间.

二、曲线的拐点

在例2中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义.

定义2在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点.

下面来讨论曲线()yfx拐点的求法.

由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()fx



存在且连续，则在拐点的左右近旁()fx



o

x

y

A

B

（a）

B

A

o

x

y

（b）

图3-12

必然异号，因此曲线拐点的横坐标

0

x，是可能使()fx



=0的点，从而可知求拐点的步骤为：

（1）求()fx



；

（2）令()fx



=0，解出方程()fx



=0在某区间内的实根

0

x；

（3）对每一个实根

0

x，考察()fx



在

0

x的左右近旁的符号，若()fx



在

0

x的左右

近旁的符号相反，则点

00

(,())xfx是拐点，若()fx



在

0

x的左右近旁的符号相同，则点

00

(,())xfx不是拐点.

例3求曲线45

3

1

5

1

xxy的凹凸区间与拐点.

解函数的定义域为(,)34

3

4

xxy



，)1(444223



xxxxy

令0y



，得1,0xx.

由于

0x

的左右近旁y



不改变符号，（0，0）不是拐点.当

1x

时，0



y；当

1x

时，0



y.所以曲线在)1,(内是凸的，在,1(）内是凹的；（)

15

2

,1为拐点.

注意：使()fx



不存在而()fx连续的点，也可能成为曲线的拐点.

例4求曲线

5

3yx的拐点.

解定义域为(,)，

2

3

5

3

yx



，

1

3

10

,(0)

9

yxx



因为令0y



时，方程

1

3

10

0

9

x无解.而当

0x

时，0y



；当

0x

时，0y



，

即曲线在区间(,0)内是凸的，在区间(0,)内是凹的，又曲线在点

0x

处是连续的，所以点（0，0）是曲线的

拐点.

三、函数绘图

1、渐近线

定义3如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定

直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.

例如直线

0,0

xyxy

abab

为双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的渐近线.

但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.

（1）水平渐近线

如果当自变量x时，函数()fx以常量C为极限，即

lim()

x

fxC





，则称直线yC

为曲线()yfx的水平渐近线.

（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）

如果当自变量

0

xx时，函数()fx为无穷大量，即

0

lim()

xx

fx



，则称直线

0

xx为曲线()yfx的铅直渐

近线.

说明：对x时，有时也可能仅当x或x；对

0

xx，有时也可能仅当

0

xx或

0

xx.

例5求下列曲线的水平或垂直渐近线.

（1）

3

223

x

y

xx





（2）

2

2

1

2

x

ye



.

解（1）因为

3

2

3

lim

23x

x

xx





，

3

2

1

lim

23x

x

xx





所以直线3,1xx是两条铅直渐近线.

（2）因为

2

2

1

lim0

2

x

x

e







，所以直线0y为其水平渐近线.

2、函数图形的描绘

利用导数描绘函数图形的一般步骤为：

（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；

（2）确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点；

（3）考察渐近线；

（4）作一些辅助点；

（5）由上面的讨论，画出函数的图形.

例6作函数32()31fxxx的图形.

解（1）函数定义域为(,)；

（2）2()36fxxx



，令()0fx





得

12

0,2xx；

()66fxx



令()0fx



得

3

1x.

列表：

x

(,0)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,)

()fx



+0----0+

()fx



----0++

()fx极大值1

拐点

（1，--1）

极小值

--3

说明：“”表示上升且为凸的，“”表示下降且为凸的，“”表示下降且为凹的，“”表示上升且为凹的.

（3）无渐近线；

（4）取辅助点（1,3)、（3，1）；

（6）画图（如图3-13）

例7作函数1

)2(

1

2









x

x

y的图形.

y

x-1

1

1

-1

2

32

O

图3-13

y

x

4

1

1

2

3

-1

4'

3

2

O

解定义域为),2()2,(

34

2

)2()2(

)2)(1(2)2(













x

x

x

xxx

y

令0



y，得

0x

；

46

23

)2(

)1(2

)2(

)2(3)2(















x

x

x

xxx

y，

令0



y，得

1x

；

列表：

x(1,）1

)0,1(

0

（)2,0(2,)

()fx



——0+—

()fx



—0+++

()fx拐点

)

9

11

,1(极小值

4

5



渐近线：因为







]1

)2(

1

[lim

2

2x

x

x

，所以

2x

是铅直渐近线；又因为

1]1

)2(

1

[lim

2







x

x

x

，所以1y是水平渐近线.

作辅助点：（)1,1、)0,

2

55

(



、

)

4

5

,0(.

作图：（如图3-14）

习题

1、判定下列曲线的凹凸性：

（1）)0(2acbxaxy；（2）xxyarctan.

2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：

（1）53523xxxy；（2）321xy.

3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：

（1）

12

3

2





xx

x

y；（2）xey

1

；

（3）

)1ln(

x

e

y；（4）1

1







x

e

y

x

.

4、作函数的图形：

（1）1612823xxxy；（2）2xey；

（3）3443xxy；（4）xxey.