全称量词和存在量词
-行为科学理论
2023年2月16日发(作者：pwm调光)1
例说全称量词与存在量词
山东省枣庄市第十八中学高安国邮编277200
含有量词的全称命题与特称命题是新课标教材中新增加的知识点，并且易于和其他知识
建立联系，可以很好的考查学生的能力，因而是数学学习的基础，也是高考命题的热点内容.
本文拟结合例题来说明全称量词与存在量词的有关知识，旨在帮助同学们探索数学学习的规
律，提高数学解题的能力．
一、概念学习
1、全称量词与全称命题
（1）全称量词与全称命题的定义短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全
称量词（universalquantifier）,并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称
命题.
（2）全称命题的表示：全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题.将含
有变量x的语句用p（x）,q（x）,r（x）,„表示，变量x的取值范围用M表示，那么，
全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，可简记,xMpx，读作“对任意x
属于M，有px成立”.
2、存在量词与特称命题
（1）存在量词与特称命题的定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
（2）特称命题的表示：特称命题就是陈述在某集合中（存在）一些元素具有某种性质的
命题.一般地，设p（x）是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么特称命题就是形
如“存在集合M中的元素x,p（x）”的命题，用符号简记为xM，px.读作“存在
M中的元素x，使xp成立”.
3、含有一个量词的命题的否定
（1）一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p:,xMpx,它的否定p：
00
,xMpx.
（2）一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p:
00
,xMpx,它的否定p：,xMpx.
二、规律总结
特称命题与全称命题的关系
1、全称命题“,xMpx
”与特称命题“,xMpx
”中的x表示一般的元素，
不一定是数，也可以是向量、点和图形等等，如前面提到的“*,abN，使2220ab
”
中的x就是数对a,b.
2
2、判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中是否有全称量词和存在量
词.有些全称命题在文字叙述上省略了全称量词，在判断是否为全称命题是要注意.如：“线
段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”、“负数的平方是正数”、“梯形的对
角线相等”等等都是全称命题.
三、判断方法
1、如何判定全称命题
要判定全称命题“,xMpx”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p
（x）成立；但要判定全称命题“,xMpx”是假命题，只要能举出一个反例集合M
中的一个元素
0
xx，使得
0
px不成立即可，那么这个全称命题就是假命题.
2、如何判定特称命题
要判定特称命题“,xMpx”的是真命题，只需要找到集合M中的一个元素
0
x使
0
px成立即可.只有当对集合M中的任意一个元素x,p（x）都不成立时，才说明这个特
称命题是假命题.如“*,abN，使2220ab”为真命题，因为存在正整数2和4，使
222420，而命题“*,abN，使2260ab”则为假命题，这是因为任意两个正
整数的平方和都不会等于60.
3、如何写含量词的命题的否定
（1）一般而言，全称命题的否定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题，
因此在书写它们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词；
（2）要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，在求这类命题的否定
时，一方面要充分理解量词的含义，注意原命题中是否有省略的量词，还要理解原命题的本
质，另一方面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系.例如“矩形有一个外接圆”
的本质应为“所有矩形都有一个外接圆”，因此，它的否定应为“存在矩形没有外接圆”.
四、典例精析
例1.对于满足04p的一切实数p，不等式243xpxxp恒成立，试求x的取
值范围.
解：构造函数243yxpxp，则问题可化为当04p时，0y恒成立，
令2143fpxpxx，当
1x
时，0fp不满足0fp，
∴使0fp
恒成立，当且仅当
00
40
f
f
，即
2
2
430
10
xx
x
，解得
31xx或
.
∴x的取值范围是,13,
.
点评：全称命题为真，意味着对命题成立所对应集合中的每一个元素都具有某性质，使
所给命题为真.因此，当给出该集合的任一个特殊的元素时，则该元素也具有某性质.例如本
3
题中04p时，0y恒成立，即关于p的函数0fp，只需00,40ff即
可.因此，合理进行函数自变量的转换以及临界值的选取是解决本题的关键.
例2.若:sincosrxxxm，2:10sxxmx，如果对xR，r（x）为假命题
且s（x）为真命题，求实数m的取值范围.
解：∵sincos2sin2,2
4
xxx
，∴对任意的xR，r（x）为假命题，
即对任意的xR，不等式sincosxxm恒不成立，∴2m.
又对任意的
xR
，s（x）为真命题，即对任意的
xR
，不等式210xmx，
∴240m，即22m.
故如果对
xR
，r（x）为假命题且s（x）为真命题，应有22m.
点评：本题的综合性较强，涉及的知识较多，解答的关键是准确把握含量词的命题的否定的
概念的理解，以及命题r（x）与命题s（x）所涉及的三角函数变形问题与一元二次不等式
恒成立问题的基础知识.
五、温馨提示同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法.
现列表总结如下表，在实际应用中可以灵活地选择：
命题
全称命题“,xApx”特称命题“,xApx”
表
述
方
法
①所有的xA,p（x）成立
②对一切xA,p（x）成立
③对每一个xA,p（x）成立
④任选一个xA,p（x）成立
⑤凡xA,都有p（x）成立
①存在xA,p（x）成立
②至少有一个xA,使p（x）成立
③对有些xA,使p（x）成立
④对某个xA,使p（x）成立
⑤有一个xA,使p（x）成立