有理数包括0吗
-平行线判定定理
2023年2月16日发(作者：继续教育公需课)绵阳中学英才黉舍四初一期末复习之有理数之杨若古
兰创作
有理数概念清算
班级：姓名：
（一）有理数：
（1）整数与分数统称
按定义分类：
_______
____
____
_____
____
有理数
_____
_____
_____按符号分类：
_____
_____
____
____
有理数零
____
____
注：①负数和零统称为；②负数和零统称为；③正整数和零统
称为；④负整数和零统称为.
留意：都大于零，都小于零.“0”即不是，也不是.
（3）用负数、负数暗示相反意义的量：
如果用负数暗示某种意义的量，那么负数暗示其意义的量，如
果负数暗示某种意义的量，则负数暗示其意义的量.如：若-5米
暗示向东走5米，则+3米暗示向走3米；若+6米暗示上升6
米，则-2米暗示；+7C暗示零上7C，-7C则暗示.
（4）有理数“0”的感化：
感化举例
暗示数的性质0是天然数、是有理数、是整数
暗示没有3个苹果用+3暗示，没有苹果用0暗示
暗示某种形态00C
暗示冰点
暗示负数与负数的界点0非正非负，是一个中性数
（二）数轴
（1）概念：规定了、和的直线
注：①、、称为数轴的三要素，三者缺一不成.
（2）数轴的画法及罕见错误分析
①画一条水平的；
②在这条直线上适当地位取一实心点作为：
③确定向右的方向为，用暗示；
⑤数轴画法的罕见错误
（3）有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的暗示出来.在数轴上，右侧的点所
对应的数总比右边的点所对应的数，负数都大于，负数都小
于，负数大于一切负数.
留意：数轴上的点不都是有理数，如.
（三）相反数
（1）相反数：只要的两个数互称为相反数．特别地，0的相反
数是
；若a与b互为相反数，则___ab ，反之亦然.
（2）相反数的性质：
①代数意义：只要的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相
反数是0．相反数必须出现，不克不及单独存在．例如+5和互
为相反数，或者说+5是的相反数，－5是的相反数，而单独的
一个数不克不及说是．另外，定义中的“只要”指除之外，两
个数，留意应与“只需符号分歧”区分开．例如+3与－3互为
相反数，而+3与－2虽然分歧，但它们不是相反数．
②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，而且到原
点的相等．这两点是关于对称的．
③求任意一个数的相反数，只需在这个数的前面添上“”号即
可．普通地，数a的相反数是；这里以a暗示任意一个数，可
觉得、、负数，也能够是任意一个代数式．留意－a纷歧定是．
留意：当a＞0时，－a0(负数的相反数是数)；
当a=0时，－aO(0的相反数是)；
当a＜0时，aO(负数的相反数是)．
④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，
反之，若a+b=O，则a与b互为．
⑤多重符号的化简：一个负数前面不管有多少个“＋”号，都
可以全部；一个负数前面有个“－”号，也能够把“－”号全
部去掉；一个负数前面有个“－”号，则化简后只保存一个
“－”号，即“负正”（其中“奇偶”是指负数前面的“”号
的个数的，“负正”是指化简的最初结果的.
（四）绝对值
（1）绝对值的代数意义及几何意义
①绝对值的代数意义：一个负数的绝对值是；一个负数的绝对
值是它的；0的绝对值是.
②绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上暗示数a
的与的距离.数a的绝对值记作.
留意：
①取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，
就是根据性质绝对值符号.
②绝对值具有性，取绝对值的结果老是.
③任何一个有理数都是由部分构成：和它的，如：－5，符号
是，绝对值是.
（2）字母a的绝对值的分类
___,()
___,(0)
___,(0)
ao
aa
a
或
___,(0)
___,(0)
a
a
a
或
___,(0)
___,(0)
a
a
a
（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小
规则：两个负数，绝对值大的反而.
步调：①计算两个负数的.
②比较这两个的大小.
③写出准确的判断结果.
④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.
例如：若0,____,____,______abcabc则
常识点二：有理数运算
（一）有理数比较大小
1、
0
同正：__________大的数大
两数同号
同负：__________大的反而小
比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______
正数与0：_______大于0
其中有时
负数与0：_______小于0
2、数形结合利用数轴比较有理数大小.
（二）有理数的加减法
（1）有理数加法法则
①同号两数相加，取不异的，并把绝对值.
②绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大
的减去较小的.
③一个数同0相加，仍得.
（2）有理数加法的运算步调
法则是运算的根据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加
法的运算步调：
①确定和的；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.
（3）有理数加法的运算律
①两个加数相加，交换加数的地位，不变.即a+b=b+a(加法律)
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，
不变.
即(a+b)+c=a+(b+c)（加法律）
（4）有理数加法的运算技巧
①分数与小数均有时，应先化为方式.
②带分数可分为与两部分介入运算.
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一路.
⑥不异的数可以先结合在一路.
（5）有理数减法法则
减去一个数，等于，即a-b=a+()
（6）有理数减法的运算步调
①把减号变成加号（改变运算符号）
②把减数变成它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步调进行运算.
（7）有理数加减混合运算的步调
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
留意：
根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，是以加减混合运
算可以根据上述法则改变成只要的运算，即变成求几个负数，
负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号
与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的方式，
（三）有理数的乘除法
（1）有理数乘法法则
两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.
任何数同相乘，都得0.
（2）有理数乘法的运算律
①两个数相乘，交换因数的地位，积相等.即ab=（乘法结合
律）
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，
积相等.
即abc=（乘法结合律）
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相
乘，再把积相加.即a(b+c)=（乘法分配律）
（3）有理数乘法法则的推广
①几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数
是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为.
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.
在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有
小数及分数，普通先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配
律及其逆用，也可简化计算.
（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数
的.
即a÷b=a·(b≠0)
两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等
于0的数，都得0.
（5）倒数及有理数除法
①乘积为的两个数互为倒数.
倒数是出现的，单独一个数不克不及称为倒数；互为倒数的两
个数的乘积必定；没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只需
把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）.
留意：,ab互为倒数，则___ab；,ab互为负倒数，则____ab.反之
亦然.
②有理数除法的运算步调：
首先确定商的，然后再求出商的绝对值.
（四）有理数的乘方
（1）概念：求n个不异因数的积的运算，叫做，的结果叫做，
在na中，a叫做，n叫做.
（2）含义：na中，a为底数，n为指数，即暗示a的个数，na暗
示有相乘.例如：53暗示3×3×3×3×3，(-3)5暗示（-3）×（-
3）×（-3）×（-3）×（-3），特别留意负数及分数的乘方，
应把底数加上括号.如(-2)7暗示相乘，而-27则暗示7个2相乘的
积的.
当n为奇数时，(-a)n=；而当n为偶数时，(-a)n=.
留意：负数的奇次幂是，负数的幂是负数.
负数的任何次幂都是，0的任何次幂都是，任何不为0的数的0
次幂都是.
（3）“奇负偶正”口诀的利用
口诀“奇负偶正”在多处常识点中均提到过，它具体的利用有
如下几点：
①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：
－[－（－3）]=，－[+（－3）]=.
②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因
数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）
×（－6）=，而（－3）×（－2）×6=.
③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数
为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（－3）2=，
（－3）3=.
（4）有理数混合运算的运算顺序：
①先乘方，再乘除，最初加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号
顺次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方
（当前学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；
分歧级运算，应先算级运算，然后级，最初级；如果有括号，
先算括号里的，有多重括号时，应先算___括号里的，再算括号
里的，最初算括号里的.以上运算顺序可以简记为：“从左到
右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.
（五）近似数、和科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数暗示成的方式（其中
_____a ，n是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：
200000=5210就是科学记数法暗示数的方式.又如：10200000=
也是.
（2）科学计数法a和n的确定：a就是把原数的小数点挪动过
到右边第1个不是0的数字后面所到的数；n的值比原数的整
数位少1.