微分的通俗理解

微分的通俗理解

-溴的沸点

2023年2月16日发(作者：白家村)

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知识点：多元函数微分概念

1．背景知识与引入方法

二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微

分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面．微分就是将函数“局部线性

化”，或者将曲面“局部展平”．理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局

部”的含义.

微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点．可以根

据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法．

2．该知识点讲解方法

讲解方法一：

设二元函数

),(yxf

在),(

0

0

0

y

x

P

的某个邻域中有定义.当自变量有改变量

),(yxr



时,如果存在一个以

),(yx

为自变量的线性函数

),(yxl

,使得函

数改变量

),(),()(

0

0

0

0

0

y

x

fy

y

x

x

f

P

f

可以表示成

),(yxlf

(1)

其中



满足

0

)()(

lim

22

0

0







yx

y

x



(2)

则称

),(yxf

在点),(

0

0

0

y

x

P

可微.其中线性函数

),(yxl

称为

),(yxf

在点

),(

0

0

0

y

x

P

的微分(即全微分),记作

),(d

0

0

y

x

f

或

),(

00

d

yx

f.

讲解方法二：

设二元函数),(yxf在),(

0

0

0

y

x

P

的某个邻域中有定义.当自变量有改变量

),(yx时,如果存在常数

ba,

,使得函数改变量

),(),()(

0

0

0

0

0

y

x

fy

y

x

x

f

P

f

可以表示成

ybxaf(1)

其中



满足

0

)()(

lim

22

0

0







yx

y

x



(2)

则称),(yxf在点

),(

0

0

0

y

x

P

可微.其中

ybxa

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是变量),(yx的线性函数,这个线性函数称为

),(yxf

在点),(

0

0

0

y

x

P

的微分(即

全微分),记作

),(d

0

0

y

x

f

或

),(

00

d

yx

f.

注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象．在近代

分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法

二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有

影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于

学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.

讲解方法三

如果存在常数

ba,

，使得函数

),(yxf

在),(

0

0

0

y

x

P

的改变量

),(),(

0

0

0

0

y

x

fy

y

x

x

f可以表示成

yxybxaf

21



其中

21

,是

yx,

的函数，满足

0lim

1

0

0









y

x

,0lim

2

0

0









y

x

则称

),(yxf

在),(

0

0

0

y

x

P

可微，并且称

ybxa

是

),(yxf

在),(

0

0

0

y

x

P

的全

微分.

注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义

是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数

微分法的证明会带来一些方便．缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样

切中微分概念的关键之处（即

))()((22yxo）.

具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解．

（参考[1]）

讲解方法四

设二元函数

),(yxf

在点),(

00

yx存在两个偏导数

y

f

x

f









,.令

),(),(

0

0

0

0

y

x

fy

y

x

x

f

)y

y

f

x

x

f













（

如果当

0,0yx

时，有

0

)()(22



yx



则称

),(yxf

在点),(

00

yx可微，并且称

y

y

f

x

x

f

yxyx













),(),(

0000

为),(yxf在点),(

00

yx的微分.

当),(yxf在点),(

00

yx可微时，用),(d

00

yxf表示),(yxf在点),(

00

yx的微分，

即

y

y

f

x

x

f

yxf

yxyx















),(),(00

0000

),(d

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注释：

这个定义的优点是直接点出微分表达式y

y

f

x

x

f

yxyx













),(),(

0000

，并且概

念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易

懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.

另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理

证明都会带来方便.

(参考[3])

例题

例题１：求函数

y

x

yxf),(在任意点

),(yx

的全微分

),(dyxf

和点

)1,1(

处的

全微分

)1,1(df

.

解当

0y

时,

yx

f

1







,

2y

x

y

f









,并且两个偏导数都连续,所以

2

dd

d),(d

y

yxy

y

y

f

dx

x

f

yxf

















当

)1,1(),(yx

时,

yxy

y

f

x

x

f

fddd

)1,1(

d

)1,1(

)1,1(d













例题２：讨论函数



















0,0

0,

),(

22

22

22

yx

yx

yx

xy

yxf

的在原点

)0,0(

是否存在偏导数，是否可微.

解：当)0,0(),(yx时，

2

3)(

),(

22

3

22

22

2

22

yx

y

yx

yx

x

yx

yyxf

x















.

2

3)(

),(

22

3

22

22

2

22

yx

x

yx

yx

y

yx

xyxf

y















.

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当)0,0(),(yx时，注意到0)0,(,0),0(xfyf，所以

0

)0,0()0,(

lim)0,0(

0









x

fxf

f

x

x

，0

)0,0(),0(

lim)0,0(

0









y

fyf

f

y

y

因此),(yxf处处存在偏导数.

下面证明函数),(yxf在点

)0,0(

处不可微.

下面证明),(yxf在点

)0,0(

处不可微．

反证：如果),(yxf在点

)0,0(

处可微，则),(yxf在点

)0,0(

的微分就是

000)0,0()0,0()0,0(d







yxyfxff

yx

又根据微分定义，当0,0yx时，

)()0,0(d22

22

yxof

yx

xy

f



)(22yxo

但是，最后这个等式不成立，因为当0,0yx时，

22yx

xy



与

22yx

相比较不是高阶无穷小量.例如当

yxyx并且,0,0

时，有

2

1

2

1

2

2

2222









x

x

yx

xy

yx

于是据微分定义推出，

),(yxf

在点

)0,0(

不可微.

例3：两个电阻

1

R和

2

R并联以后的电阻为

21

21

RR

RR

R



.假设

1

R的标定值为

300ohms,相对误差不超过2；

2

R的标定值为500ohms，相对误差不超过3.

试确定并联电阻R的最大相对误差.

解：根据题意，有

02.0||

1

1



R

R

，03.0||

2

2



R

R

由于

2

21

2

2

1

)(RR

R

R

R









，

2

21

2

1

2

)(RR

R

R

R









所以

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2

21

2

2

21

2

2

)(

d

RR

RRRR

RR







于是R的相对误差近似地等于

2

2

21

1

1

1

21

2

21

21

2

21

2

2

21

2

2

)(

R

R

RR

R

R

R

RR

R

RR

RR

RR

RRRR

R

R

























因此近似地得到

||||||

2

2

21

1

1

1

21

2

R

R

RR

R

R

R

RR

R

R

R















02375.003.0

500300

500

02.0

500300

300











3．难点问题及解决方法

多元函数微分概念是一个教学难点，主要原因是概念比较抽象，同时

))()((22yxo这个记号也不容易理解。

解决方法１：如果用讲解方法1进行教学，可以借助于简单直观的例子引入

概念，并且用近似计算的例题解释微分的本质:

引例：设有一个矩形，其长、宽

分别为

ba,

.由于环境温度变化,

b

它的长和宽分别改变了

ba,

，

问其面积改变了多少？

若记面积改变量为A.则

b

baabAba

(图3-1).

这个问题很简单，但答案却很有意义.

aa

它说明面积改变量A可以分成两部分，一部分是自变量图1

改变量

),(ba

的线性函数

baab

;而其余的部分则满足下面的条件：

0lim

22

0

0









ba

ba

b

a

这个现象启示人们考虑这样的问题:当二元函数),(yxf的自变量),(yx在点

),(

00

yx有改变量),(yx时,由此产生的函数改变量),(),(

00

yxfyxff

能否表示成下述形式:

ybxaf

其中ba,是与),(yx无关的常数,



是与),(yx有关的量,当

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0,0yx

时,满足

0

)()(

lim

22

0

0







yx

y

x



.研究这个问题就导致函数微分概念的建立.

解决方法２：建议采用讲解方法4．这种定义方法比较直观。直接给出微分表

达式，定义本身就明确了微分与偏导数的关系。可以使微分学该之间的关系简单

明了，并且有助于简化一些定理的推导过程。虽然在抽象程度上有些折扣，但是

在科学性方面并没有任何损失.

常见错误分析

1.函数在一点),(

0

0

y

x的微分是自变量改变量),(yx的函数，学生往往理

解不清楚这一点.特别是对于在任意点),(yx的微分),(dyxf，常常混淆

),(yx和),(yx的区别。

2.

4．与其他知识点的关联

（１）多元函数的线性近似．

以二元函数为例，令

),(),(

0

0

0

0

y

x

fy

y

x

x

f)y

y

f

x

x

f













（

当0,0yx时，有

0

)()(22



yx



所以，如果

y

f

x

f









,在点),(

0

0

y

x

不全等于零，则当0,0yx时，有

0













x

x

f

x

x

f



于是若用微分y

y

f

x

x

f













作为函数改变量

),(),(

0000

yxfyyxxff

的近似值，则当yx,很小时，相对误差

x

x

f

x

x

f















也非常小．

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（２）曲面的切平面

二元函数的微分有明显的几何意义．假设函数

),(yxf

在点),(

0

0

y

x

可微，则曲

面

),(:yxfzS

在点)),(,,(

000

0

0

yxfz

y

x

的切平面方程是

)()(),(

0),(0),(00

0000

yy

y

f

xx

x

f

yxfz

yxyx















法向量为)1,,(

),(),(

0000

yxyxy

f

x

f











．

（３）证明微分概念2与微分概念4互相等价(概念1与概念3等价).

定理１：函数),(yxf在

),(

0

0

y

x

可微的充分必要条件是：可以将函数),(yxf

在点

),(

0

0

y

x

的改变量表示为

),(),(

0000

yxfyyxxff

xyxf

x







),(

00

yxyyxf

y









2100

),((1)

其中

21

,是yx,的函数，满足

0lim,0lim

2

0

0

1

0

0













y

x

y

x

证明：

必要性：如果),(yxf在

),(

0

0

y

x

可微，则当0,0yx时，

),(),(

0000

yxfyyxxff

xyxf

x







),(

00







yyxf

y

),(

00

(2)

其中



满足0

)()(

lim

22

0

0







yx

y

x



.

当0,0yx时，

22)()(yx和||||yx是同阶无穷小量，所

以

0

||||

lim

0

0







yx

y

x



(3)

将



写成

y

yx

y

x

yx

x















||||

)sgn(

||||

)sgn(

(4)

(其中sgn表示符号函数)

令

||||

)sgn(

,

||||

)sgn(

21yx

y

yx

x



















(5)

则由(5)式可以推出

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0lim,0lim

2

0

0

1

0

0













y

x

y

x

将(5)和(4)式代入(2)式，就得到(1)式.

充分性：假定(1)式成立。因为

22)()(||yxx，

22)()(||yxy

所以有

22

2121

)()(|)||(|||yxyx

于是当0,0yx时，0

)()(22

21





yx

yx

。根据可微性定义，由此可

以推出函数),(yxf在

),(

00

yx可微.定理证毕.

（４）函数可微的充分条件

定理2:如果函数),(yxf的两个偏导数

y

f

x

f









,都在),(

00

yx处连续，则

),(yxf在),(

00

yx处可微，并且

y

y

yxf

x

x

yxf

yxfd

),(

d

),(

),(d0000

00











(5）一元函数的微分

一元函数的微分

)(d

0

xf的概念有三种等价的引入方式。

1．设函数)(xf在点

0

x

的某个邻域中有定义.如果存在一个常数

a

，使得当

0x时，函数改变量

)()()(

000

xfxxfxf

可以表示为

xaxf)(

0

其中是x的函数，满足

0lim

0



xx



则称

)(xf

在点

0

x可微，

x

的线性函数

xa

称为函数

)(xf

在点

0

x的微分，记作

)(d

0

xf

.其中常数a称为

)(xf

在点

0

x的微分系数.

2．设)(

0

xf



存在，x的线性函数xxf



)(

0

称为函数)(xf在点

0

x的微分。

3．如果

)(xf

在点

0

x的函数改变量可以表示为

xxxfxfxxff



)()()(

000

其中



是x的函数，满足

0lim

0







x

.则称)(xf在点

0

x可微，并称xxf



)(

0

称为

函数)(xf在点

0

x的微分.

5．扩展知识

(1)多元函数的导数。

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对于多元函数),,,(

21n

xxxfy，与一元函数微分概念xxfxfd)()(d

00





对应的是多元函数的微分概念

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Pfddd)(d

2

2

1

1

0

















与一元函数的导数对应的概念是由偏导数组成的向量：

),,(

21n

x

f

x

f

x

f















这个向量在多元函数的运算中所起的作用相当于一元函数的导数)(

0

xf



在一

元函数微分法中所起的作用..

例如

①函数微分表达式

一元函数微分表达式：xxfxfd)()(d

00



；

多元函数的微分表达式：

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Pfddd)(d

2

2

1

1

0



























































n

n

x

x

x

x

f

x

f

x

f

d

d

d

),,(2

1

21





②复合函数微分法的链式法则

一元函数情形:若)(),(xuuuyy，则

x

u

u

y

x

y

d

d

d

d

d

d



多元函数情形：

若),,,(

21m

uuuyy，),,2,1)(,,,(

21

mkxxxuu

nkk

，则







i

x

y





















































































m

k

i

k

k

i

m

i

i

m

x

u

u

y

x

u

x

u

x

u

u

y

u

y

u

y

1

2

1

21

),,(





（ni,,2,1）

(2)映射的微分

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令T

21

),,,(

m

yyyy



，T

21

),,,(

n

xxxx



，T

21

),,,(

n

xxxx



．假设

)(xfy







是定义于区域nDR、取值于mR

的映射，

),,,(

020100n

xxxx



D。如果存在一个nR

到mR

的线性映射L，使得当

T

21

),,,(

n

xxx时，有

))()()(()()(22

2

2

100n

xxxoxfxxf









则称映射)(xfy







在点),,,(

020100n

xxxx



可微，并且称

)(xL





为映射

)(xfy







在点),,,(

020100n

xxxx



的微分（映射）。记作)(d

0

xf





.

6．参考教案：

参考文献：

[1]AdvancedCalculus(著者：WilfredKaplan;出版商：Addison—WesleyPublishing

Company)

[2]CalculusWithAnalyticGeometry(著者：Edwards&Penney;出版商：Instructor’s

Edition)

[3]MultivariableCalculus(著者：y&,出版商：Prentice

Hall)

.