直线关于直线对称的直线方程公式
-人民币单位换算器
2023年2月16日发(作者：安全产品)直线直线对称问题的常
用方法与技巧
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直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1.在所求曲线
上选一点),(yxM；2.求出这点关于中心或轴的对称点),(
00
/yxM与),(yxM之间的关
系；3.利用0),(
00
yxf求出曲线0),(yxg。直线关于直线的对称问题是对称问题中
的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大
家参考。
例题：试求直线01:
1
yxl关于直线033:
2
yxl对称的直线
l
的方程。
解法1：（动点转移法）
在
1
l上任取点))(,(
2
//lPyxP，设点P关于
2
l的对称点为),(yxQ，则
又点P在
1
l上运动，所以01yx，所以01
5
343
5
934
yxyx
。即
017yx。所以直线
l
的方程是017yx。
解法2：（到角公式法）
解方程组
0
1
033
01
y
x
yx
yx
所以直线
21
,ll的交点为A(1,0)
设所求直线
l
的方程为)1(xky，即0kykx,由题意知，
1
l到
2
l与
2
l到
l
的角相
等，则
7
1
31
3
131
13
k
k
k
.所以直线
l
的方程是017yx。
解法3：（取特殊点法）
由解法2知，直线
21
,ll的交点为A(1,0)。在
1
l上取点P（2，1），设点P关于
2
l的对
称点的坐标为),(//yxQ，则
5
7
5
4
3
1
2
1
03
2
1
2
2
3
/
/
/
/
//
y
x
x
y
yx
而点A，Q在直线
l
上，由两点式可求直线
l
的方程是017yx。
解法4：（两点对称法）
对解法3，在
1
l上取点P（2，1），设点P关于
2
l的对称点的坐标为Q)
5
7
,
5
4
(，在
1
l上
取点M（0，1），设点P关于
2
l的对称点的坐标为)
5
1
,
5
12
(N而N，Q在直线
l
上，由两
点式可求直线
l
的方程是017yx。
解法5：（角平分线法）
由解法2知，直线
21
,ll的交点为A(1,0)，设所求直线
l
的方程为：设所求直线
l
的方
程为)1(xky,即0kykx.由题意知，
2
l为
1
,ll的角平分线，在
2
l上取点P（0，-
3），则点P到
1
,ll的距离相等，由点到直线距离公式，有：
1
7
1
1
|30|
2
|130|
2
或kk
k
k
1k时为直线
1
l，故
7
1
k。所以直线l的方程是017yx
解法6（公式法）
给出一个重要定理：曲线（或直线）0),(:yxFC关于直线0),(:CByAxyxfl
的对称曲线/C（或直线）的方程为
)1.........(0)],(
2
),,(
2
[
2222
yxf
BA
B
yyxf
BA
A
xF。
证：设),(yxM是曲线/C上的任意一点),(yxM，它关于
l
的对称点为),(///yxM，则
CM/于是)2........(0),(//yxF。∵M与M/关于直线l对称，
∴)3..(..........
),(
2
),(
2
0
22
0)()(
22
/
22
/
//
//
yxf
BA
B
yy
yxf
BA
A
xx
C
yy
B
xx
A
yyAxxB
,（3）代入（2），
得0)],(
2
),,(
2
[
2222
yxf
BA
B
yyxf
BA
A
xF，此即为曲线/C的方程。
解析：定理知，直线
01),(:
1
yxyxFl关于直线033),(:
2
yxyxfl的对称曲线
l
的方程为：
017,0
5
1
5
7
5
1
01)
5
3
5
4
5
3
(
5
9
5
3
5
4
0)
5
3
5
4
5
3
,
5
9
5
3
5
4
(
0)]33(
5
1
),33(
5
3
[0)],(
13
)1(2
),,(
13
32
[
2222
yx即yx
yxyxyxyxF
yxyyxxFyxfyyxfxF
所以直
线
l
的方程是017yx。
；电话
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可
以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问
题的关键.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个
方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意
到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.
例求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已
知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为
2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c=-38.故所求对称直线方程为
2x+11y-38=0.
解法二在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）
的对称点的B（8，2）.由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设
对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两
直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利
用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解
法都体现了直线系方程的优越性.
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，
我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再
用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化
为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，
0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也
可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在
根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.