昆明三中
-
2023年2月12日发(作者：)2020-2021
学年云南省昆明三中九年级（下）月考数学试卷（
3
月份）
一、填空题（每小题
3
分）
.
1
．
|
﹣
2021|
＝．
2
．若有意义，则
x
的取值范围是．
3
．因式分解：
xy2﹣
4xy+4x
＝．
4
．已知实数
m
，
n
满足则代数式
m2﹣
n2的值为．
5
．观察下列一组数：﹣，
1
，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这
一组数的第
n
个数是．
6
．在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
（
3m
，
2n
）在直线
y
＝﹣
x+1
上，点
B
（
m
，
n
）在双曲
线
y
＝上，则
k
的取值范围为．
二、选择题（共
8
小题）
.
7
．据国家邮政局统计，
2021
年农历除夕和初一两天，全国快递处理超
130000000
件，与
去年同期相比增长
223%
，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，
欢度佳节．将
130000000
用科学记数法表示应为（）
A
．
1.3
×
107B
．
13
×
107C
．
1.3
×
108D
．
0.13
×
109
8
．下列运算正确的是（）
A
．
a4•
a2＝
a8B
．（
2a3）2＝
2a6
C
．（
ab
）6÷（
ab
）2＝
a4b4D
．（
a+b
）（
a
﹣
b
）＝
a2+b2
9
．估计的值应在（）
A
．
3
和
4
之间
B
．
4
和
5
之间
C
．
5
和
6
之间
D
．
6
和
7
之间
10
．解一元一次方程（
x+1
）＝
1
﹣
x
时，去分母正确的是（）
A
．
3
（
x+1
）＝
1
﹣
2xB
．
2
（
x+1
）＝
1
﹣
3x
C
．
2
（
x+1
）＝
6
﹣
3xD
．
3
（
x+1
）＝
6
﹣
2x
11
．一次函数图象经过，当比例系数
k
＜
0
时，其图象大致是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
12
．香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，
要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种
通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区
30
年
以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉
感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有
81
棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，
每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（）
A
．
8
棵
B
．
9
棵
C
．
10
棵
D
．
11
棵
13
．抛物线
y
＝
ax2+bx+c
的部分图象如图所示，对称轴为直线
x
＝﹣
1
，则当
y
＜
0
，
x
的取值
范围是（）
A
．
x
＜
1B
．
x
＞﹣
1C
．﹣
3
＜
x
＜
1D
．﹣
4
≤
x
≤
1
14
．若关于
x
的一元一次不等式组的解集为
x
≤
a
；且关于
y
的分式方程
+
＝
1
有正整数解，则所有满足条件的整数
a
的值之积是（）
A
．
7B
．﹣
14C
．
28D
．﹣
56
三、解答题（本大题共
9
小题，满分
70
分．）
15
．计算：．
16
．先化简，再求值：，其中
x
＝
2cos45
°
+1
．
17
．已知关于
x
的方程
x2﹣（
k+2
）
x+2k
﹣
1
＝
0
．
（
1
）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（
2
）如果方程的一个根为
x
＝
3
，求
k
的值及方程的另一根．
18
．已知，如图，一次函数的图象经过了点
P
（
6
，
4
）和
B
（
0
，﹣
4
），与
x
轴交于点
A
．
（
1
）求一次函数的解析式；
（
2
）在
y
轴上存在一点
M
，且△
ABM
的面积为，求点
M
的坐标．
19
．倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进
A
，
B
两种健身器材若干件，经了解，
B
种健身器材的单价是
A
种健身器材的
1.5
倍，用
7200
元购买
A
种健身器材比用
5400
元
购买
B
种健身器材多
10
件．
（
1
）
A
，
B
两种健身器材的单价分别是多少元？
（
2
）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进
A
，
B
两种健身器
材共
50
件，且费用不超过
21000
元，请问：
A
种健身器材至少要购买多少件？
20
．某出租汽车公司计划购买
A
型和
B
型两种节能汽车，若购买
A
型汽车
4
辆，
B
型汽车
7
辆，共需
310
万元；若购买
A
型汽车
10
辆，
B
型汽车
15
辆，共需
700
万元．
（
1
）
A
型和
B
型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（
2
）该公司计划购买
A
型和
B
型两种汽车共
10
辆，费用不超过
285
万元，且
A
型汽车
的数量少于
B
型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
21
．对于一个函数给出如下定义：对于函数
y
，若当
a
≤
x
≤
b
，函数值
y
满足
m
≤
y
≤
n
，且
满足
n
﹣
m
＝
k
（
b
﹣
a
），则称引函数为“
k
属和合函数”．例如：正比例函数
y
＝﹣
2x
，
当
1
≤
x
≤
3
时，﹣
6
≤
y
≤﹣
2
，则﹣
2
﹣（﹣
6
）＝
k
（
3
﹣
1
），解得：
k
＝
2
，所以函数
y
＝
﹣
2x
为“
2
属和合函数”．
（
1
）一次函数
y
＝
ax
﹣
1
（
a
＜
0
，
1
≤
x
≤
3
）为“
1
属和合函数”，求
a
的值；
（
2
）反比例函数
y
＝（
k
＞
0
，
a
≤
x
≤
b
，且
0
＜
a
＜
b
）是“
k
属和合函数”，且
a+b
＝，
请求出
a2+b2的值．
22
．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为
50
元．规定每件售价不低于进货价，
经市场调查，每月的销售量
y
（件）与每件的售价
x
（元）满足一次函数关系，部分数据
如下表：
售价
x
（元
/
件）
606570
销售量
y
（件）
14
（
1
）求出
y
与
x
之间的函数表达式；（不需要求自变量
x
的取值范围）
（
2
）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利
24000
元，又想尽量给客户实惠，该如何
给这种衬衫定价？
（
3
）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的
30%
，设这种衬衫每月的总
利润为
w
（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23
．如图，二次函数
y
＝
x2+bx+c
的图象与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
y
轴交于点
C
，
OB
＝
OC
．点
D
在函数图象上，
CD
∥
x
轴，且
CD
＝
2
，直线
l
是抛物线的对称轴，
E
是抛物线的顶点．
（
1
）求
b
、
c
的值；
（
2
）如图①，连接
BE
，线段
OC
上的点
F
关于直线
l
的对称点
F\'
恰好在线段
BE
上，求
点
F
的坐标；
（
3
）如图②，动点
P
在线段
OB
上，过点
P
作
x
轴的垂线分别与
BC
交于点
M
，与抛物
线交于点
N
．试问：抛物线上是否存在点
Q
，使得△
PQN
与△
APM
的面积相等，且线段
NQ
的长度最小？如果存在，求出点
Q
的坐标；如果不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题（共
6
小题）
.
1
．
|
﹣
2021|
＝
2021
．
解：根据负数的绝对值是它的相反数，
∴﹣
2021
的绝对值是
2021
，
即
|
﹣
2021|
＝
2021
．
故答案为：
2021
．
2
．若有意义，则
x
的取值范围是
x
≥．
解：要是有意义，
则
2x
﹣
1
≥
0
，
解得
x
≥．
故答案为：
x
≥．
3
．因式分解：
xy2﹣
4xy+4x
＝
x
（
y
﹣
2
）2．
解：
xy2﹣
4xy+4x
＝
x
（
y2﹣
4y+4
）＝
x
（
y
﹣
2
）2．
故答案为：
x
（
y
﹣
2
）2．
4
．已知实数
m
，
n
满足则代数式
m2﹣
n2的值为
3
．
解：因为实数
m
，
n
满足，
则代数式
m2﹣
n2＝（
m
﹣
n
）（
m+n
）＝
3
，
故答案为：
3
5
．观察下列一组数：﹣，
1
，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这
一组数的第
n
个数是．
解：∵一组数：﹣，
1
，﹣，，﹣，…，
∴这组数为：﹣＝﹣，
1
＝，
﹣＝﹣，
…，
∴这一组数的第
n
个数是（﹣
1
）n．
故答案为：（﹣
1
）n．
6
．在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
（
3m
，
2n
）在直线
y
＝﹣
x+1
上，点
B
（
m
，
n
）在双曲
线
y
＝上，则
k
的取值范围为
k
≤且
k
≠
0
．
解：∵点
A
（
3m
，
2n
）在直线
y
＝﹣
x+1
上，
∴
2n
＝﹣
3m+1
，即
n
＝，
∴
B
（
m
，），
∵点
B
在双曲线
y
＝上，
∴
k
＝
m
•＝﹣（
m
﹣）2+
，
∵﹣＜
0
，
∴
k
有最大值为，
∴
k
的取值范围为
k
≤，
∵
k
≠
0
，
故答案为
k
≤且
k
≠
0
．
二、选择题（本大题共
8
小题，每小题只有一个正确选项，每小题
4
分，共
32
分）
7
．据国家邮政局统计，
2021
年农历除夕和初一两天，全国快递处理超
130000000
件，与
去年同期相比增长
223%
，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，
欢度佳节．将
130000000
用科学记数法表示应为（）
A
．
1.3
×
107B
．
13
×
107C
．
1.3
×
108D
．
0.13
×
109
解：
130000000
＝
1.3
×
108．
故选：
C
．
8
．下列运算正确的是（）
A
．
a4•
a2＝
a8B
．（
2a3）2＝
2a6
C
．（
ab
）6÷（
ab
）2＝
a4b4D
．（
a+b
）（
a
﹣
b
）＝
a2+b2
解：
A
、
a4•
a2＝
a6，故本选项不合题意；
B
、（
2a3）2＝
4a6，故本选项不合题意；
C
、（
ab
）6÷（
ab
）2＝（
ab
）2＝
a4b4，故本选项符合题意；
D
、（
a+b
）（
a
﹣
b
）＝
a2﹣
b2，故本选项不合题意；
故选：
C
．
9
．估计的值应在（）
A
．
3
和
4
之间
B
．
4
和
5
之间
C
．
5
和
6
之间
D
．
6
和
7
之间
解：原式＝
＝，
∵，
即，
∴
3+
的值在
5
和
6
之间，
故选：
C
．
10
．解一元一次方程（
x+1
）＝
1
﹣
x
时，去分母正确的是（）
A
．
3
（
x+1
）＝
1
﹣
2xB
．
2
（
x+1
）＝
1
﹣
3x
C
．
2
（
x+1
）＝
6
﹣
3xD
．
3
（
x+1
）＝
6
﹣
2x
解：方程两边都乘以
6
，得：
3
（
x+1
）＝
6
﹣
2x
，
故选：
D
．
11
．一次函数图象经过，当比例系数
k
＜
0
时，其图象大致是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：∵一次函数图象经过，
∴一次函数的图象与
y
轴交于正半轴．
又∵
k
＜
0
，
∴函数值
y
随自变量
x
的增大而减小，
∴其函数图象大致是选项
A
中的图象．
故选：
A
．
12
．香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，
要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种
通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区
30
年
以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉
感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有
81
棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，
每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（）
A
．
8
棵
B
．
9
棵
C
．
10
棵
D
．
11
棵
解：设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为
x
棵，
依题意得：（
1+x
）2＝
81
，
解得：
x
1＝
8
，
x
2＝﹣
10
（不合题意，舍去）．
故选：
A
．
13
．抛物线
y
＝
ax2+bx+c
的部分图象如图所示，对称轴为直线
x
＝﹣
1
，则当
y
＜
0
，
x
的取值
范围是（）
A
．
x
＜
1B
．
x
＞﹣
1C
．﹣
3
＜
x
＜
1D
．﹣
4
≤
x
≤
1
解：∵抛物线与
x
轴的一个交点为（
1,0
），函数的对称轴为
x
＝﹣
1
，
则根据函数的对称性，函数与
x
轴另外一个交点坐标为（﹣
3,0
），
故当
y
＜
0
，
x
的取值范围是﹣
3
＜
x
＜
1
，
故选：
C
．
14
．若关于
x
的一元一次不等式组的解集为
x
≤
a
；且关于
y
的分式方程
+
＝
1
有正整数解，则所有满足条件的整数
a
的值之积是（）
A
．
7B
．﹣
14C
．
28D
．﹣
56
解：不等式组整理得：，
由解集为
x
≤
a
，得到
a
≤
7
，
分式方程去分母得：
y
﹣
a+3y
﹣
4
＝
y
﹣
2
，即
3y
＝
a+2
，
解得：
y
＝，
由
y
为正整数解，且
y
≠
2
得到
a
＝
1
，
7
1
×
7
＝
7
，
故选：
A
．
三、解答题（本大题共
9
小题，满分
70
分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答
题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15
．计算：．
解：原式＝﹣
1+1
﹣
+2
×
+4
＝﹣
1+1
﹣
++4
＝
4
．
16
．先化简，再求值：，其中
x
＝
2cos45
°
+1
．
解：原式＝（
+
）﹣
＝﹣
＝﹣，
当
x
＝
2cos45
°
+1
＝
+1
时，原式＝﹣＝﹣．
17
．已知关于
x
的方程
x2﹣（
k+2
）
x+2k
﹣
1
＝
0
．
（
1
）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（
2
）如果方程的一个根为
x
＝
3
，求
k
的值及方程的另一根．
【解答】（
1
）证明：由于
x2﹣（
k+2
）
x+2k
﹣
1
＝
0
是一元二次方程，△＝
b2﹣
4ac
＝
[
﹣
（
k+2
）
]2﹣
4
×
1
×（
2k
﹣
1
）＝
k2﹣
4k+8
＝（
k
﹣
2
）2+4
，
无论
k
取何实数，总有（
k
﹣
2
）2≥
0
，（
k
﹣
2
）2+4
＞
0
，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（
2
）解：把
x
＝
3
代入方程
x2﹣（
k+2
）
x+2k
﹣
1
＝
0
，有
32﹣
3
（
k+2
）
+2k
﹣
1
＝
0
，
整理，得
2
﹣
k
＝
0
．
解得
k
＝
2
，
此时方程可化为
x2﹣
4x+3
＝
0
．
解此方程，得
x
1＝
1
，
x
2＝
3
．
所以方程的另一根为
x
＝
1
．
18
．已知，如图，一次函数的图象经过了点
P
（
6
，
4
）和
B
（
0
，﹣
4
），与
x
轴交于点
A
．
（
1
）求一次函数的解析式；
（
2
）在
y
轴上存在一点
M
，且△
ABM
的面积为，求点
M
的坐标．
解：（
1
）设一次函数的解析式为
y
＝
kx+b
，
把点
P
（
6
，
4
）和
B
（
0
，﹣
4
）代入
y
＝
kx+b
得，解得，
所以一次函数解析式为；
（
2
）当
y
＝
0
时，，解得
x
＝
3
，
则
A
（
3
，
0
），
∵在
y
轴上存在一点
M
，且△
ABM
的面积为，
∴，即．
∴
BM
＝
5
，
∵
B
（
0
，﹣
4
），
∴
M
（
0
，
1
）或（
0
，﹣
9
）．
19
．倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进
A
，
B
两种健身器材若干件，经了解，
B
种健身器材的单价是
A
种健身器材的
1.5
倍，用
7200
元购买
A
种健身器材比用
5400
元
购买
B
种健身器材多
10
件．
（
1
）
A
，
B
两种健身器材的单价分别是多少元？
（
2
）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进
A
，
B
两种健身器
材共
50
件，且费用不超过
21000
元，请问：
A
种健身器材至少要购买多少件？
解：（
1
）设
A
种型号健身器材的单价为
x
元
/
套，
B
种型号健身器材的单价为
1.5x
元
/
套，
根据题意，可得：，
解得：
x
＝
360
，
经检验
x
＝
360
是原方程的根，
1.5
×
360
＝
540
（元），
因此，
A
，
B
两种健身器材的单价分别是
360
元，
540
元；
（
2
）设购买
A
种型号健身器材
m
套，则购买
B
种型号的健身器材（
50
﹣
m
）套，
根据题意，可得：
360m+540
（
50
﹣
m
）≤
21000
，
解得：
m
≥
33
，
因此，
A
种型号健身器材至少购买
34
套．
20
．某出租汽车公司计划购买
A
型和
B
型两种节能汽车，若购买
A
型汽车
4
辆，
B
型汽车
7
辆，共需
310
万元；若购买
A
型汽车
10
辆，
B
型汽车
15
辆，共需
700
万元．
（
1
）
A
型和
B
型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（
2
）该公司计划购买
A
型和
B
型两种汽车共
10
辆，费用不超过
285
万元，且
A
型汽车
的数量少于
B
型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
解：（
1
）设
A
型汽车每辆的价格为
x
万元，
B
型汽车每辆的价格为
y
万元，
依题意，得：，
解得，
答：
A
型汽车每辆的进价为
25
万元，
B
型汽车每辆的进价为
30
万元；
（
2
）设购进
A
型汽车
m
辆，购进
B
型汽车（
10
﹣
m
）辆，根据题意得：
解得：
3
≤
m
＜
5
，
∵
m
是整数，
∴
m
＝
3
或
4
，
当
m
＝
3
时，该方案所用费用为：
25
×
3+30
×
7
＝
285
（万元）；
当
m
＝
4
时，该方案所用费用为：
25
×
4+30
×
6
＝
280
（万元）．
答：最省的方案是购买
A
型汽车
4
辆，购进
B
型汽车
6
辆，该方案所需费用为
280
万元．
21
．对于一个函数给出如下定义：对于函数
y
，若当
a
≤
x
≤
b
，函数值
y
满足
m
≤
y
≤
n
，且
满足
n
﹣
m
＝
k
（
b
﹣
a
），则称引函数为“
k
属和合函数”．例如：正比例函数
y
＝﹣
2x
，
当
1
≤
x
≤
3
时，﹣
6
≤
y
≤﹣
2
，则﹣
2
﹣（﹣
6
）＝
k
（
3
﹣
1
），解得：
k
＝
2
，所以函数
y
＝
﹣
2x
为“
2
属和合函数”．
（
1
）一次函数
y
＝
ax
﹣
1
（
a
＜
0
，
1
≤
x
≤
3
）为“
1
属和合函数”，求
a
的值；
（
2
）反比例函数
y
＝（
k
＞
0
，
a
≤
x
≤
b
，且
0
＜
a
＜
b
）是“
k
属和合函数”，且
a+b
＝，
请求出
a2+b2的值．
解：（
1
）当
a
＜
0
时，∵
1
≤
x
≤
3
，
∴
3a
﹣
1
≤
y
≤
a
﹣
1
，
∵函数
y
＝
ax
﹣
1
（
1
≤
x
≤
3
）为“
1
属和合函数”，
∴（
a
﹣
1
）﹣（
3a
﹣
1
）＝
1
×（
3
﹣
1
），
∴
a
＝﹣
1
．
（
2
）∵反比例函数，
∴在每一象限内，
y
随
x
的增大而减小，
∵反比例函数（
k
＞
0
，
a
≤
x
≤
b
且
0
＜
a
＜
b
）是“
k
属和合函数”，
∴，
∴
ab
＝
1
，
∵，
∴
a2+b2＝（
a+b
）2﹣
2ab
＝
2021
﹣
2
＝
2019
．
22
．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为
50
元．规定每件售价不低于进货价，
经市场调查，每月的销售量
y
（件）与每件的售价
x
（元）满足一次函数关系，部分数据
如下表：
售价
x
（元
/
件）
606570
销售量
y
（件）
14
（
1
）求出
y
与
x
之间的函数表达式；（不需要求自变量
x
的取值范围）
（
2
）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利
24000
元，又想尽量给客户实惠，该如何
给这种衬衫定价？
（
3
）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的
30%
，设这种衬衫每月的总
利润为
w
（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（
1
）设
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝
kx+b
，
，
解得，，
即
y
与
x
之间的函数表达式是
y
＝﹣
20x+2600
；
（
2
）（
x
﹣
50
）（﹣
20x+2600
）＝
24000
，
解得，
x
1＝
70
，
x
2＝
110
，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为
70
元；
（
3
）由题意可得，
w
＝（
x
﹣
50
）（﹣
20x+2600
）＝﹣
20
（
x
﹣
90
）2+32000
，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的
30%
，每件售价不低于进货价，
∴
50
≤
x
，（
x
﹣
50
）÷
50
≤
30%
，
解得，
50
≤
x
≤
65
，
∴当
x
＝
65
时，
w
取得最大值，此时
w
＝
19500
，
答：售价定为
65
元可获得最大利润，最大利润是
19500
元．
23
．如图，二次函数
y
＝
x2+bx+c
的图象与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
y
轴交于点
C
，
OB
＝
OC
．点
D
在函数图象上，
CD
∥
x
轴，且
CD
＝
2
，直线
l
是抛物线的对称轴，
E
是抛物线的顶点．
（
1
）求
b
、
c
的值；
（
2
）如图①，连接
BE
，线段
OC
上的点
F
关于直线
l
的对称点
F\'
恰好在线段
BE
上，求
点
F
的坐标；
（
3
）如图②，动点
P
在线段
OB
上，过点
P
作
x
轴的垂线分别与
BC
交于点
M
，与抛物
线交于点
N
．试问：抛物线上是否存在点
Q
，使得△
PQN
与△
APM
的面积相等，且线段
NQ
的长度最小？如果存在，求出点
Q
的坐标；如果不存在，说明理由．
解：
（
1
）∵
CD
∥
x
轴，
CD
＝
2
，
∴抛物线对称轴为
x
＝
1
．
∴．
∵
OB
＝
OC
，
C
（
0
，
c
），
∴
B
点的坐标为（﹣
c
，
0
），
∴
0
＝
c2+2c+c
，解得
c
＝﹣
3
或
c
＝
0
（舍去），
∴
c
＝﹣
3
；
（
2
）设点
F
的坐标为（
0
，
m
）．
∵对称轴为直线
x
＝
1
，
∴点
F
关于直线
l
的对称点
F
的坐标为（
2
，
m
）．
由（
1
）可知抛物线解析式为
y
＝
x2﹣
2x
﹣
3
＝（
x
﹣
1
）2﹣
4
，
∴
E
（
1
，﹣
4
），
∵直线
BE
经过点
B
（
3
，
0
），
E
（
1
，﹣
4
），
∴利用待定系数法可得直线
BE
的表达式为
y
＝
2x
﹣
6
．
∵点
F
在
BE
上，
∴
m
＝
2
×
2
﹣
6
＝﹣
2
，即点
F
的坐标为（
0
，﹣
2
）；
（
3
）存在点
Q
满足题意．
设点
P
坐标为（
n
，
0
），则
PA
＝
n+1
，
PB
＝
PM
＝
3
﹣
n
，
PN
＝﹣
n2+2n+3
．
作
QR
⊥
PN
，垂足为
R
，
∵
S
△
PQN
＝
S
△
APM
，
∴，
∴
QR
＝
1
．
①点
Q
在直线
PN
的左侧时，
Q
点的坐标为（
n
﹣
1
，
n2﹣
4n
），
R
点的坐标为（
n
，
n2﹣
4n
），
N
点的坐标为（
n
，
n2﹣
2n
﹣
3
）．
∴在
Rt
△
QRN
中，
NQ2＝
1+
（
2n
﹣
3
）2，
∴时，
NQ
取最小值
1
．此时
Q
点的坐标为；
②点
Q
在直线
PN
的右侧时，
Q
点的坐标为（
n+1
，
n2﹣
4
）．
同理，
NQ2＝
1+
（
2n
﹣
1
）2，
∴时，
NQ
取最小值
1
．此时
Q
点的坐标为．
综上可知存在满足题意的点
Q
，其坐标为或．