平面方程的法向量

平面方程的法向量

-字谜大全及答案100个

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

重点难点剖析

1．空间直线的方向向量：

如果一非零向量

s



平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量．若

),,(pnms



，那么

s



的坐标

pnm,,

称作这条直线的方向数，而

s



的方向余弦叫做该直线

的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，

直线上任一向量都平行于该直线的方向向量．

2．利用向量求距离的方法

(1)利用|AB|=|

AB

|=ABAB可以求解有关距离问题；

求线段的长度：222ABABxyz222

212121

xxyyzz

(2)设e是直线l上的一个单位方向向量，线段AB在l上的投影是A′B′，

则有|''AB|=|

AB

·e|，由此可求点到线，点到面的距离问题。其中以法向量的

应用最常用。

求P点到平面



的距离：

||

||

PMn

PN

n





，（N为垂足，M为斜足，

n

为平面



的法向量）。

3．平面与方程

平面方程为三元一次方程0AxByCzD；反之，一个这样的三元一方程也一定

表示一个平面.这是因为，取方程的一组解

000

,,xyz

，则有

000

0AxByCzD，从而

有

000

()()()0AxxByyCzz.它表示过点

0

M

000

(,,)xyz

且以

{,,}nABC为

法向量的一个平面方程，这个方程与0AxByCzD是同解的，故三元一次方程表示

平面。

方程0AxByCzD为平面的一般式方程，其中,,xyz的系数就是平面的法向量

的坐标，即平面法向量的法向量{,,}nABC

.

平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的

平面，它们的位置关系由系数,,ABC和常数D来确定。当系数,,ABC或常数D[中某些个]

为零时，平面有明显的位特征：如0AxByCz确定的平面过坐标原点；

0ByCzD的法向量为{0,,},nBC

表明这平面垂直于与

x

轴；类似地，0AxCzD确定的平面垂直于y轴，

0AxByD确定的平面垂直于z轴；再者，0AxD表示平行于坐标面yOz的平

面；0ByD表示平行于坐标面xOz的平面，0CzD表示平行于坐标面xOy的平面；

而0(0)Axx是坐标面yOz的方程，0(0)Byy是坐标面xOz的方程，

0(0)Czz是坐标面xOy的方程.

典例分析

例1已知

(3,0,4)AB

，AC（5，-2，-14），求BAC角平分线上的单位向量．

分析欲求角平分线上的单位向量，由于0

a

a

a

，我们只需先在角平分线上求出任一向量，

它可以看作是菱形的对角线向量，由此就不难求出单位向量．

解：在AB、AC上分别取'B、'C，使''ABAC，以'AB、'AC为邻边作平行四边

形''ACDB，则''ADABAC即为ABC的平分线上的向量，特别的可取'AB、'AC为

单位向量，'

222

111

(3,0,4)(3,0,4)

5

(3)04

ABAB

AB





，

''

222

'

121

(5,2,14)(5,2,14)

15

5(2)(14)

ACAC

AC





．

于是''

11

(3,0,4)(5,2,14)

515

ADABAC

352414

(,0,)

41515515



2

(2,1,1)

15

．

AD上的单位向量有两个向量，它们为

1

(2,1,1)

6

AD

AD



点评：利用向量解决几何问题时，要与几何图形相联系．与向量a平行的向量的方向有两个，

故需要添“”号.

例2求△ABC所在平面的单位法向量，其中A（－1，－1，0）、B（1，1，1）、C（3，4，3）

分析：求出平面内的两个向量后，利用待定法求解.

解：∵，，，，，ABAC







()()221453设，，nxy



()1

则由

·

·

nAB

nAC

xy

xy































0

0

2210

4530

∴，，n



()

1

2

11

于是单位法向量为±±，，＝±，，

n

n







||

()()

2

3

1

2

11

1

3

2

3

2

3

点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有

一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，

故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.

例3设平面



过原点与点(6,3,2)M，并且与平面

1

：428xyz垂直，求平面

的方程.

解：由



过原点，可设其方程为0AxByCz，由过点M得6320ABC；

再由





1

即

1

{,,}{4,1,2}nABCn，得420ABC；联立

6320,

420

ABC

ABC











解得

,

3

.

2

BA

CA















所以平面



的方程为

3

0

2

xyz，

即2230xyz.

点评：平面0AxByCzD的法向量为{,,}nABC

.

例4如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，

且GC＝2，求点B到平面EFG的距离

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求

解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离

解：如图，设

CD

4i，CB4j，CG2k，

以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)

∴

(2,0,0)BE

，

(4,2,0)BF

，

(0,4,2)BG

，

(2,4,2)GE

，

(2,2,0)EF

设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，

存在实数a、b、c，使得

BMaBEbBFcBG)1(cba，

∴

(2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BMabc

＝(2a+4b,－2b－4c,2c)

由BM平面EFG，得GEBM，EFBM，于是

0BMGE

，

0BMEF

∴

















1

0)0,2,2()2,42,42(

0)2,4,2()2,42,42(

cba

ccbba

ccbba

整理得：

















1

023

05

cba

cba

ca

，解得

























11

3

11

7

11

15

c

b

a

．

∴

BM

＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝)

11

6

,

11

2

,

11

2

(．

∴

222226211

||

11111111

BM









故点B到平面EFG的距离为

11

112

另法：∵(0,4,0B，(2,4,0)E，(4,2,0)F，(0,0,2)G设EFG的方程为：

0AxByCzD

则

240

420,

62

20

ABD

DD

ABDABC

CD

















取D＝－6，则A=B=1,C=3,所以EFG的方程为：360xyz，

所以点(0,4,0)B到平面EFG的距离为：000

222

||

2211

11

11

AxByCzD

d

ABC







.

点评：（1）向量法求解距离问题的步骤：

①建立适当的空间直角坐标系；

②将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来；

③利用向量的相应距离公式求解。

（2）用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向

量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了

随堂练习：

1．正四面体P-ABC中M,N分别是平面PAC,PBC的重心,则MN是()

A.平面PAB的法向量B.平面PBC的法向量

C.直线AB的方向向量D.直线PC的方向向量

2．相交于同一点的三直线,,abc的方向向量分别是

123

,,eee，若

1223

0,0eeee则（）

A．//C.

2

e是直线,ac所在平面的法向量D.以上都不正确

3．直线l的方向向量是e，平面



的法向量是n，且n与e不平行，也不垂直，则在平

面



内（）

A．不存在直线与l平行，也不存在直线与l垂直

B．不存在直线与l平行，但存在直线与l垂直

A．存在直线与l平行，但不存在直线与l垂直

A．存在直线与l平行，也存在直线与l垂直

4．点1,1,1到平面20xyz的距离是.

5．向量AB的终点为7,1,2B，它在各坐标轴的投影依次为7,4,4，则始点为；

且模||AB=.

6．

jkia











，则||a



=.

7．一平面平行于

xoz

坐标面，且过点(2,－5,3)，则该平面方程为.

8．.设X，Y，Z三点分别为在空间坐标系中x轴，y轴，z轴上的点，求XOY

A

C

B

P

E

F

在xy平面上的平分线与YOZ在yz平面上的平分线之夹角。

9．如图，正四棱锥

SABCD

的高

2SO

，底边长2AB，求异面直线BD

和

SC

之间的距离.

10．在棱长为1的正方体

1111

ABCDABCD

中，E、F分别是

11

AB

、

CD

的中点，求点B到截面

1

AECF

的距离.

11．已知边长为42的正三角形

ABC

中，E、F分别为

BC

和

AC

的中点，

PA面

ABC

，且2PA，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面间的距离.

12．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果

(2,1,4)AB

，

(4,2,0)AD

，

(1,2,1)AP

，（1）求证：AP是平面ABCD的法向量；（2）求平行四边形ABCD的

面积．

13．在

x

轴上求一点，使它到平面12920190xyz和到平16121590xyz

的距离相等。

A

B

C

D

S

A

B

C

DO

S

x

y

z

图

参考答案

1.C2.C3.B4.35.2,3,0;96.37.y=-58．

3

2

3



或

9．解析：建立如图所示的直角坐标系，则

22

(,,0)

22

A

，

22

(,,0)

22

B

，

22

(,,0)

22

C

，

22

(,,0)

22

D

，

(0,0,2)S

.(2,2,0)DB，

22

(,,2)

22

CS

.

令向量(,,1)nxy，且,nDBnCS，则

0

0

nDB

nCS















，

(,,1)(2,2,0)0

22

(,,1)(,,2)0

22

xy

xy

















，

0

220

xy

xy















，

2

2

x

y

















，

(2,2,1)n.异面直线BD和

SC

之间的距离为：

OCn

d

n





22

(,,0)(2,2,1)

22

(2,2,1)





222

110

25

5

(2)(2)1







10．解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

11

(1,0,0),(0,,0),(1,,1)

22

AFE，

1

(0,,1)

2

AE，

1

(1,,0)

2

AF；设面

1

AECF的法向量

为(1,,)n，则有：0,0nAEnAF，

1

0

2

2

11

10

2





































，(1,2,1)n，又

(0,1,0)AB，所以点B到截面

1

AECF

的距离为

||ABn

n



=

26

3

16





.

11．解析：设

AP

、

AE

、EC的单位向量分别为

1

e、

2

e、

3

e，选取{

1

e，

2

e，

3

e}作为空间

向量的一组基底，易知

121323

0eeeeee，

123

2,26,22,APeAEeECe

PFPAAF

=

1

2

PAAC=

1

()

2

PAAEEC=

123

262eee，

设

123

nxeyee是平面的一个法向量，则

,nAEnPF，

0

0

nAE

nPF

















，即2

2

222

123

260

2620

ye

xeyee















0

2

2

y

x

















，

13

2

.

2

nee直线AE与平面间的距离

d

Apn

n



=

113

2

2

13

2

2()

2

23

.

3

2

2

eee

ee







12．（1）略（2）86．

13．解析：因所求点在

x

轴上，故可设这一点的坐标为(,0,0)Mx，由公式（5-6），

x

满足

222222

|1219||169|

1292016(12)15

xx





，

由于2222221292016(12)15，所以|1219||169|xx，解得

5

2

x或

1x，于是所求点为

1

5

(,0,0)

2

M或

2

(1,0,0)M.