双曲线焦点公式
-慢热的反义词
2023年2月16日发(作者：企业党建工作总结)今天我们介绍双曲线的焦点弦。如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么
这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将
直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公
式求出弦长。但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义和余弦定理推导
出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。
先看例题：
例：设双曲线
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
，其中两焦点坐标为
21
(),,()0,0FcFc－，过
1
F的直线
l的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（1）当arctanarctan
bb
aa
时，（如图1）
直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连
22
,FAFB，设
11
|,|||FFAmBn，
由双曲线定义可得
22
|2,|||2FAamBanF，
由余弦定理可得222(2)22cos(2)mcmcam整理可得
2
cos
b
m
ac
，
同理
2
cos
b
n
ac
，
则可求得弦长
22
||
coscos
bb
ABmn
acac
=
2
222
2
cos
ab
ac
。
图1
（2）当0arctanarctan
bb
aa
或时，（如图2）
直线l与双曲线的两个交点A、B不在同一支上，连
22
,FAFB，设
11
|,|||FFAmBn，由双
曲线定义可得
22
|2,|||2FAamBnaF，
由余弦定理可得222(2)22cos(2)mcmcam整理可得
2
cos
b
m
ac
，
同理222(2)22cos()(2)ncncna,
2
cos
b
n
ca
，
则可求得弦长
22
||
coscos
bb
ABnm
caac
=
2
222
2
cos
ab
ca
图2
因此焦点在x轴的焦点弦长公式：为
2
222
2
222
2
,arctanarctan
cos
||
2
,0arctanarctan
cos
abbb
acaa
AB
abbb
caaa
或
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
2
222
2
222
2
,0arctanarctan
cos
||
2
,arctanarctan
cos
abaa
acbb
AB
abaa
cabb
或
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，α为AB的倾斜角。
整理：
设双曲线
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
，其中两焦点坐标为
21
(),,()0,0FcFc－，过
1
F的直线l的
倾斜角为，交双曲线于A、B两点，则弦
2
222
2
222
2
,arctanarctan
cos
||
2
,0arctanarctan
cos
abbb
acaa
AB
abbb
caaa
或
。
特殊情形；倾斜角为=90，即为双曲线的通径，
22
b
AB
a
。
再看一个例题，加深印象：
例：过双曲线
22
1
48
xy
的右焦点F作倾斜角为45的直线，交双曲线于A、B两点，求弦长
|AB|。
解：利用公式
2
222
2
|cos|
ab
AB
ac
，代入得
2
222
2228
==16
1
|cos|
|412|
2
ab
AB
ac
。
总结：
1.在求直线与双曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采
取步骤为：设点
联立方程
消元
韦达定理
弦长公式。
2.掌握双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长.
练习：
1.过双曲线
22
1
48
xy
的右焦点F作倾斜角为135的直线，交双曲线于A、B两点，求弦长
|AB|。
2.已知双曲线
22xy
1
98
的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交双曲线
于A,B两点，求
2
ABF的面积
3.过双曲线223-448xy的左焦点引直线交双曲线于A,B两点，|AB|=48，求直线方程.
答案：
1.
2.
解：直线方程为y2x2，
5
2,cos
5
k，
2
F到直线AB的距离
5
54
h
2
222
260
|cos|7
ab
AB
ac
1245
SABh
27
3.