实数教案

实数教案

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2023年2月16日发(作者：铁谱仪)

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戴氏教育名校冲刺教育中心

初中实数重难点突破

【亲爱的孩子：重要的不是知识的数量,而是知识的质量,有些人知道很多很多,但却不知道最有用的东西】

一、旧知回顾

1）实数的概念和分类

2）实数的倒数、相反数和绝对值

3）算术平方根、平方根和立方根

4）实数中的非负数及其性质

5）算术平方根有关计算（二次根式）

6）实数的运算

二、新知讲解

重点

①实数的概念及分类

正有理数

有理数零自然数（有限小数和无限循环小数）

实数的分类负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···

（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···

（4）开方开不尽的数，如：

35,3。

有理数及无理数的区别：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；而无理数是无限不循环小数

有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

②实数的倒数、相反数和绝对值

相反数a及b互为相反数〈=〉a+b=0

绝对值任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0

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互为相反数的两个数的绝对值相等,即a=a

倒数a及b互为倒数〈=〉ab=1

正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；零没有倒数。

数轴实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系

正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。

③实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，;1;1;1ba

b

a

ba

b

a

ba

b

a



（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则baba。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则baba22

。

④估算

⑤算数平方根、平方根和立方根

算术平方根

（1）定义：：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0

的算术平方根是0。

表示方法：记作“a”，读作根号a

（2）性质：算术平方根a具有双重非负性：

被开方数a是非负数，即a≥0.

算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

也就是说，（正数）的算术平方根是一个正数，

零的算术平方根是（零），

（负数）没有算术平方根。

a2的算术平方根的性质

有

a(a≥0)

2a=│a│=

-a(a<0)

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从算术平方根的定义可得：

2)(a=a(a≥0)

⑥平方根

（1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

（2）非负数a的平方根的表示方法:

（3）性质：

1.一个（正数）有两个平方根，这两个平方根(互为相反数)。

2.(0)只有一个平方根，它是(0)。

3.(负数)没有平方根。

（4）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

（5）说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是非负数a的平方根、非负数a

的算术平方根、非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作

3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：

33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

两个重要的公式

为任何数）

为任何数）

aaa

aa

(

()a(

3

3

3

3





⑦实数中的非负数及其性质

实数中的非负数及其性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学过的非负数有如下三种形式：

⑴任何一个实数a的绝对值是非负数，即

a

≥0

⑵任何一个实数的平方是非负数，即

2a

≥0；

⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即

a

≥0

非负数有以下性质：

⑴非负数有最小值零；

⑵有限个非负数之和仍然是非负数；

⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

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⑧算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

（1）)0()(2aaa

（2）aa2

（3）)0,0(•babaab（)0,0(•baabba）

（4）)0,0(ba

b

a

b

a

（)0,0(ba

b

a

b

a

）

3、运算结果若含有“a”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含

能开得尽方的因数或因式

⑨实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方

（2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3）运算律

加法交换律abba

加法结合律)()(cbacba

乘法交换律baab

乘法结合律)()(bcacab

乘法对加法的分配律acabcba)(

三典型例题：

例一、实数概念判断题

（1）无理数一定不能化成分数（x）；

（2）负数的平方根、立方根都是负数（x）；

（3）开方开不尽的数是无理数（v）；

（4）无理数的平方一定是有理数（x）；

例2、实数的分类

（1）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：

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①25.0②③16④

39⑤0⑥1010010001.0⑦3⑧

2

1

3

有理数集合：｛…｝无理数集合：｛…｝

正实数集合：｛…｝负实数集合：｛…｝

例3、开平方、开立方

（1）38，

（4）若23m及6m是同一个数的平方根，求出这个数.

随堂训练

1、如果

3

2

x









有平方根，且满足216x，试求

3

2

x









的平方根.

2、已知m，n是有理数，且(52)(325)70mn，求m，n的值.

例4、实数范围内有意义

当x为和值时下列各式有意义

（5）________x11的值是在实数范围内有意义的xx

例5、实数的运算

（1）计算

练习

例：化简下列各式：

(1)|-1.4|(2)|π-3.142|

(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)

随堂训练：

1、化简：

例6、综合运用

例：

的值求356356

.

练习：.)(.20062007,200620072的值求：已知：abbaba

练一练：

一、填空题:

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1.4的平方根是。

2.实数中

0

2

1

)2(,4,3.0,14.3,2,

7

22

,

•

,属于无理是。

3．一个正数的平方等于144,则这个正数是,一个数的立方等于27,则这个数是。

4.2的相反数是倒数是-

36的绝对值是。

5.如果,01x,那么用“<”号连接

xx

x

1

,

1

,的式子是。

6．

2

1

的相反数是、倒数是、绝对值是。

7.由四舍五入得到的近似数为0.600万,它精确位,有效数字有个。

8.如果53,23ba

,则



2

1

9ba

。

9.计算2

1

2

1

)223()223(。

10.5的整数部分为a,小数部分为b,则ab。

11.._______a,2)2(2的取值范围是则若aa

二、选择题

1、下列计算正确的有（）

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

2、下列等式正确的是（）；

A.64=±8；B.

2)5(=－5；C.

28=8D.16)16(2。

3、下列说法正确的是（）；

A.任意数的算术平方根都是非负数；B.0.01是0.1的算术平方根；

C.如果

2x=4，则x=4；D.式子12x无论取任何数都有意义；

4、下列说法正确的是（）；

A.8的立方根是±2；B.负数没有立方根；

C.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；D.立方根是它本身的数是0。

5、下列说法错误的是（）；

A.任何数都只有一个立方根；B.064.0的立方根是0.4；

C.16的立方根是

316D.2的立方根是8

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三、计算题

(1)

5

520

-2(2)5326

2

1



8

1

(3)

7

1

+63-112

(4)(-225)(252)（5）

2

98

312

（6）

0)31(

3

3122





（7）)31)(21(（8）

2)3322(（9）)32)(32(

四、求下列各式中的实数x.

(1)｜x-5｜=10(2)(x+10)

3

=-27(3)(x-3)

2

=9

课后练习：

一、填空题

1．36的算术平方根是，1.44的平方根是，11的平方根是，

的平方根是

2

3

，

2)3.4(的算术平方根是，

410是的平方。

2.–1的立方根是

27

1

的立方根是9的立方根是.

3．比较大小:234.9；

2

16

2

12

.(填“>”或“<”)

A.任何数都只有一个立方根；B.064.0的立方根是0.4；

C.16的立方根是

316D.2的立方根是8

三、计算题

(1)

5

520

-2(2)

5326

2

1



8

1

(3)

7

1

+63-112

(4)(-

225

)(2

52

)（5）

2

98

312

（6）

0)31(

3

3122





（7）)31)(21(（8）

2)3322(（9）)32)(32(

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四、求下列各式中的实数x.

(1)｜x-5｜=10(2)(x+10)

3

=-27(3)(x-3)

2

=9

课后练习：

一、填空题

1．36的算术平方根是，1.44的平方根是，11的平方根是，

的平方根是

2

3

，

2)3.4(的算术平方根是，

410是的平方。

2.–1的立方根是

27

1

的立方根是9的立方根是.

3．比较大小:234.9；

2

16

2

12

.(填“>”或“<”)

A.42的算术平方根是4B.24的算术平方根是

C.332的算术平方根是D.981的算术平方根是

9．在实数范围内，下列说法中正确的是（）

三、计算题

四、解答题

1．解方程（1）049162x（2）064)13(2x

2．

bbab),022a)-12求（已知（的值.

3．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的平方根

4.已知

1993

33

2

()

43

aa

a

x

aa









，求x的个位数字

5.已知x、y是实数，且

222(1)533xyxyxy与互为相反数，求的值。