高数知识点总结

高数知识点总结

股指期货培训-成功的英文

2023年2月15日发(作者：科技制作小发明)

大一高数知识点总结

大一高数知识点总结

篇一：

大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分

1.1初等函数

一、函数的概念

1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种

刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量x与y，

如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则

都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记

作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的

集合叫做函数的值域。

2、函数的表示方法

（1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1,y=

︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入

分析。

（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便

于差的某一处的函数值。

（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能

从图像上看出函数的某些特性。分段函数——即当自变量取不同值

时，函数的表达式不一样，如1??2x?1,x?0?xsin,

f?xy??x?2x?1,x?00x?0x?0隐函数——相对于显函数而言

的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，

如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间

的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，

e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。参数式函数——若变量

x,y之间的函数关系是通过参数式方程?x?y而由2x+y-3=0?x?y?0

等。?xt?，?t?T?给出的，??y??t?这样的函数称为由参数方程

确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。反函数——如果在已

给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的

函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y=fˉ1(x)(以

x表示自变量).

二、函数常见的性质

1、单调性（单调增加、单调减少）

2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：

关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）

3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）

4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则

称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无

界。

5、极大值、极小值

6、最大值、最小值

三、初等函数

1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角

函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10）

2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=

∫(x)，且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的

函数，称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数，记作y=f(∫

(x))。

3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的

函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。

四、函数关系举例与经济函数关系式

1、函数关系举例

2、经济函数关系式

（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=

总成本/产量

（2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量

（3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本

（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售

价格)

1.2函数的极限

一、数列的极限对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果

an无限接近于一个确定的常数A，则lim称A为数列{an}的极限，

记为a=A，或当n→∞时，an→A。n→∞nlim1lim若数列{an}存在

极限，也称数列{an}收敛，例如?0，C?C（C为n??nn??limn常数），

q=0q?1)。n→∞若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。数列

极限不存在的两种情况：

（1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，

如：

1?n?1；

（2）数列无界，如数列{n2}。

二、当x→0时，函数f（x）的极限如果当x的绝对值无限增大

（记作x→∞）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A

为函数f(x)当x→∞时的极限，记作limf?x??A，或当x→∞时，

f(x)→A。x??单向极限定义如果当x或?x时，函数f(x)

无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x或?x

时得极限，记作lim?lim??。??f?x??A?fx?A??xn

三、当X→X时，函数f（x）的极限

1、当X→X时，函数f(x)的极限定义如果当x无限接近X(记作X

→X)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)

当X→X时的极限，记作limf?x??A，或当X→X时，f(x)→A。n??

2、当X→X时，函数f(x)的左极限和右极限如果当X→Xˉ（或

x?x0）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X

→X时的左极限（右极限）为A，记作

四、无穷大与无穷小

1、无穷大与无穷小的定义??limfx?Af?x??x?x0?x?x0lim?

A??。?lim如果当X→X时，f(x)→0，就称f(x)当X→X时的无穷

小，记作f?x??0；如x?x0果当X→X时，f(x)的绝对值无限增大，

就称函数f(x)当X→X时为无穷大，记作limf?x。其中，如果

当X→X时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当Xx?x0lim

→X时为正无穷大，记作f?x；如果当X→X时，f(x)向负的方向

无限增大，x?x0就称函数f(x)当X→X时为负无穷大，记作

2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中，如果f(x)为

无穷大，那么limf?x。x?x01为无穷小；反之，如果f(x)f(x)

为无穷小，那么1为无穷大。f(x)根据这个性质，无穷大的问题

可以转化为无穷小的问题。

3、无穷小的性质性质1：

有限个无穷小的代数和为无穷小；性质2：

有限个无穷小的乘积为无穷小；性质3：

有界函数与无穷小的乘积为无穷小。

4、无穷小的比较设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记

作a=(b)；a=0，则称a是比b低阶的无穷小；ba

(2)如果lim=∞,则称a是比b高阶的无穷小；b

(1)如果lima=c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。

ba特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a～

b。b

(3)如果lim

1.3极限运算法则法则一若limu=A，limv=B，则lim(u±v)=lim

u±limv=A±B;法则二若limu=A，limv=B，则lim(u·v)=limu·lim

v=A·B；法则三若limu=A，limv=B，且B≠0，则limulimuA==

vlimvB推论若limu=A，C为常数，k∈N，则

(1)limC·u=C·limu=C·A；

(2)limu=(limu)k=A注运用这一法则的前提条件是u与v的极

限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。kk

1.4两个重要极限

一、limsinx=1x?0xlim?1?x

二、?1??=exx?

1.5函数的连续性

一、函数连续性的概念

1.函数在某点的连续性若函数f(x)在点x0及其左右有定义，且

处连续，x0为函数f(x)的连续点。理解这个定义要把握三个要点：

（1）f(x)要在点x0及其左右有定义；

（2）limf(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0x?x0limf(x)要

存在x?x0limf(x)=f(x0)。x?x0

（3）增量△x=x-x0△y=f(x)-f(x0)设函数f(x)在点x0及

其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时，

相应的函数增量△y也趋近于零，即lim则称函数f(x)在点x0处连

续，x0?y?0，?x?0为f(x)的连续点。

2.函数在区间上的连续性、连续函数如果函数f(x)在区间（a，b）

上每一点上连续，则称函数f(x)在区间（a，b）上连续。如果函数

f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。

二、连续函数的运算与初等函数的连续性

1.连续函数的运算如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、

差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。设函数u在点x0

处连续，且u0x0?，函数y=f(u)点u0处连续，那么复合函数

y?f(??x0?)在点x0处也连续。

2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。第二章

微分与导数

2.1导数的概念设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内

有定义，当△x→0时，若?y得极限?x存在，则称y=f(x)在点x0

处可导，并称此极限值为函数y=f(x)点x0处的导数，记作

limf?x0??x??f?x0??y，?x0??f’??x?0?x?x?0?xlim还可记作y’

∣x?x0或dydy∣x?x0dxdx∣x?x0。?(x0)和f??(x0)都存

在且等于A，即函数f(x)在点x0可导且f′(x0)=A等价于

f???x0??fx0??A。f??x0??A?f?根据这个定理，函数在某点的

左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的

导数就不存在。

2.2导数的四则运算法则和基本公式

篇二：

高等数学知识点归纳第一讲:一.数列函数:

1.类型:极限与连续

(1)数列:*an?f(n);*an?1?f(an)

(2)初等函数:

(3)分段函数:*F(x)???f1(x)x?x0?f(x)x?x0;

*F(x)??;*,,?ax?x0?f2(x)x?x0

(4)复合(含f)函数:y?f(u),u??(x)

(5)隐式(方程):F(x,y)?0(6)参式(数一,二):??x?x(t)?y?y(t)

(7)变限积分函数:F(x)??xaf(x,t)dt(8)级数和函数(数一,三):

S(x)?

2.特征(几何):?ax,x??nnn?0?

(1)单调性与有界性(判别);(f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))

定号)

(2)奇偶性与周期性(应用).

3.反函数与直接函数:y?f(x)?x?f二.极限性质:

1.类型:*liman;*limf(x)(含x);*limf(x)(含x?x0?)n??

x???1(y)?y?f?1(x)x?x0

2.无穷小与无穷大(注:无穷量):

3.未定型:0??,,1,,0??,00,?00?

4.性质:*有界性,*保号性,*归并性

三.常用结论:ann?1,a(a?0)?1,(a?b?c?maxa(b,,

c,)?a?0??0n!nn1n1n1nn1xnlnnxxx?1,lix?0?0,(x?0)??,lim,

lim?xxx?0xexxxlnx?0lim,e??x?0?n?0x,x

四.必备公式:

1.等价无穷小:当u(x)?0时,ux(?)ux(;)tanu(x)?u(x);

1?csu(x)?sin12u(x);2eu(x)?1?u(x);ln(1?u(x))?u(x);

(1?u(x))??1??u(x);unx(?)ux;(arctanu(x)?u(x)arcsi

2.泰勒公式:12x?(x2);2!122

(2)ln(1?x)?x?x?(x);2134

(3)sinx?x?x?(x);3!12145

(4)csx?1?x?x?(x);2!4!?(??1)2?x?(x2).

(5)(1?x)?1??x?2!

(1)e?1?x?x五.常规方法:前提:

(1)准确判断,

1.抓大弃小(0??1,1,?M(其它如:,0??,00,?0);

(2)变量代换(如:?t)0?x?),?

2.无穷小与有界量乘积(??M)(注:sin?1?1,x??)x

3.1处理(其它如:0,?)

4.左右极限(包括x):11x

(1)(x?0);

(2)e(x??);ex(x?0);

(3)分段函数:x,[x],maxf(x)x00

5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)

6.洛必达法则

(1)先”处理”,后法则(0xlnxxlnx最后方法);(注意对比:lim

与lim)x?1x?001?x1?xv(x)

(2)幂指型处理:u(x)?ev(x)lnu(x)(如:e1x?1?e?e(e

1x1x11?x?1x?1))

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小

8.极限函数:f(x)?limF(x,n)(?分段函数)n??六.非常手段

1.收敛准则:

(1)an?f(n)?limf(x)x

(2)双边夹:*bn?an?cn?,*bn,cn?a?

(3)单边挤:an?1?f(an)*a2?a1?*an?M?*f(x)?0??f?fx

0()?x?0?x1112n[?)f(??)?f(??)]fxd(

3.积分和:lif,x)0n??nnnn

2.导数定义(洛必达?):li

4.中值定理:lim[f(x?a)?f(x)]?alimf(?)xx

5.级数和(数一三):?2nn!

(1)?an收敛?liman?0,(如limn)

(2)lim(a1?a2an)??an,n??n??nn??n?1n?1??

(3){an}与?(an?1n?an?1)同敛散七.常见应用:

1.无穷小比较(等价,阶):*f(x)?kxn,(x?0)?

(1)f(0)?f(0)f

(2)(n?1)(0)?0,f(n)(0)?a?f(x)?anax??(xn)?xnn!n!?x

f(t)dt??ktndtx

2.渐近线(含斜):f(x),b?lim[f(x)?ax]?f(x)?ax?b??x??x??x1

(2)f(x)?ax?b??,(?0)x

(1)a?lim

3.连续性:

(1)间断点判别(个数);

(2)分段函数连续性(附:极限函数,f(x)连续性)八.[a,b]上连

续函数性质

1.连通性:f([a,b])?[m,M](注:?01,“平均”

值:?f(a)?(1??)f(b)?f(x0))

2.介值定理:(附:达布定理)

(1)零点存在定理:f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数);

(2)f(x)?0?(?xaf(x)dx)?0.第二讲:导数及应用(一元)(含中

值定理)一.基本概念:

1.差商与导数:f(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)f(x)?f(x0);f

(x0)?limx?x0?xx?x0

(1)f(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x)?A(f连续)?f(0)?0,f(0)?A)

(注:limx?0xx

(2)左右导:f?(x0),f?(x0);

(3)可导与连续;(在x?0处,x连续不可导;xx可导)

2.微分与导数:?f?f(x??x)?f(x)?f(x)?x?(?x)?df?f(x)dx

(1)可微?可导;

(2)比较?f,df与0的大小比较(图示);二.求导准备:

1.基本初等函数求导公式;(注:(f(x)))

2.法则:

(1)四则运算;

(2)复合法则;

(3)反函数

三.各类求导(方法步骤):dx1?dyyf(x?h)?f(x?h)h

1.定义导:

(1)f(a)与f(x)x?a;

(2)分段函数左右导;

(3)limh?0?F(x)x?x0(注:f(x)??,求:f(x0),f(x)及f(x)

的连续性),x?xa?0

2.初等导(公式加法则):

(1)u?f[g(x)],求:u(x0)(图形题);

(2)F(x)?

(3)y???xaf(t)dt,求:F(x)(注:

(?f(x,t)dt),(?f(x,t)dt),(?f(t)dt))aaaxbb?f1(x)x?x0,,

求f?(x0),f?(x0)及f(x0)(待定系数)?f2(x)x?x0dyd2y,

3.隐式(f(x,y)?0)导:dxdx2

(1)存在定理;

(2)微分法(一阶微分的形式不变性).

(3)对数求导法.?x?x(t)dyd2y,2

4.参式导(数一,二):?,求:dxdx?y?y(t)

5.高阶导f(n)(x)公式:(e)ax(n)1(n)bnn!;)??ae;(n?1

a?bx(a?bx)nax(n)(sinax)?ansin(ax??2?n);

(csax)(n)?ancs(ax??2?n)1(n?1)2(n?2)

(uv)(n)?u(n)v?Cnuv?Cnuv??注:f(n)f(n)(0)(0)与泰勒展式:

f(x)?a0?a1x?a2x2anxan?n!n四.各类应用:

1.斜率与切线(法线);(区别:y?f(x)上点M0和过点M0的切线)

2.物理:(相对)变化率?速度;

3.曲率(数一二):??曲率半径,曲率中心,曲率圆)

4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单

调性与极值(必求导)

1.判别(驻点f(x0)?0):

(1)f(x)?0?f(x)?;f(x)?0?f(x)?;

(2)分段函数的单调性

(3)f(x)?0?零点唯一;f(x)?0?驻点唯一(必为极值,最值).

2.极值点:

(1)表格(f(x)变号);(由limx?x0f(x)f(x)f

(x)?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点)x?x0x?x0xxx

(2)二阶导(f(x0)?0)注

(1)f与f,f的匹配(f图形中包含的信息);

(2)实例:由f(x)??(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点.

(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)

3.不等式证明(f(x)?0)

(1)区别:*单变量与双变量?*x?[a,b]与x?[a,??),x?(??,??)?

(2)类型:*f?0,f(a)?0;*f?0,f(b)?0

篇三：

吉林大学高数知识点公式大全吉林大学高数复习公式高等

数学公式平方关系：

sin^2(α)+cs^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)

ct^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：

sinα=tanα*csαcsα=ctα*sinαtanα=sinα*secαctα

=csα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*ctα倒数关系：

tanα·ctα=1sinα·cscα=1csα·secα=1直角三角形ABC

中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比

斜边正切等于对边比邻边,两角和与差的三角函数：

cs(α+β)=csα·csβ-sinα·sinβcs(α-β)=csα·csβ+sin

α·sinβsin(α±β)=sinα·csβ±csα·sinβtan(α+β)=(tan

α+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tan

α·tanβ)三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·csβ·csγ+csα·sinβ·csγ+csα·cs

β·sinγ-sinα·sinβ·sinγcs(α+β+γ)=csα·csβ·csγ

-csα·sinβ·sinγ-sinα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·csγtan(α

+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tan

β-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)吉林大学高数复习公式辅助角

公式：

Asinα+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cst=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsin

α+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)cs(α-t)，tant=A/B倍角公式：

sin(2α)=2sinα·csα=2/(tanα+ctα)cs(2

α)=cs^2(α)-sin^2(α)=2cs^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2

α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式sin(3α)=3sinα

-4sin^3(α)cs(3α)=4cs^3(α)-3csα半角公式：

sin(α/2)=±√((1-csα)/2)cs(α/2)=±√((1+csα)/2)

tan(α/2)=±√((1-csα)/(1+csα))=sinα/(1+csα)=(1-cs

α)/sinα降幂公式sin^2(α)=(1-cs(2α))/2=versin(2α)/2

cs^2(α)=(1+cs(2α))/2=cvers(2α)/2tan^2(α)=(1-cs(2

α))/(1+cs(2α))万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]csα=[1-tan^2(α

/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化

和差公式：

sinα·csβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]csα·sinβ

=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]csα·csβ=(1/2)[cs(α+

β)+cs(α-β)]吉林大学高数复习公式sinα·sinβ

=-(1/2)[cs(α+β)-cs(α-β)]和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cs[(α-β)/2]sinα-sinβ

=2cs[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]csα+csβ=2cs[(α+

β)/2]cs[(α-β)/2]csα-csβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

推导公式tanα+ctα=2/sin2αtanα-ctα=-2ct2α1+cs2α

=2cs^2α1-cs2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+csα/2)^2三角函

数的角度换算公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinαcs（2kπ＋α）＝csαtan（2kπ＋

α）＝tanαct（2kπ＋α）＝ctα公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关

系：

sin（π＋α）＝－sinαcs（π＋α）＝－csαtan（π＋α）

＝tanαct（π＋α）＝ctα公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinαcs（－α）＝csαtan（－α）＝－tan

αct（－α）＝－ctα吉林大学高数复习公式公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关

系：

sin（π－α）＝sinαcs（π－α）＝－csαtan（π－α）

＝－tanαct（π－α）＝－ctα公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的

关系：

sin（2π－α）＝－sinαcs（2π－α）＝csαtan（2π－α）

＝－tanαct（2π－α）＝－ctα公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝csαcs（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2

＋α）＝－ctαct（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cs

αcs（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝ctαct（π/2－α）

＝tanαsin（3π/2＋α）＝－csαcs（3π/2＋α）＝sinαtan

（3π/2＋α）＝－ctαct（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－

α）＝－csαcs（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝ct

αct（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)吉林大学高数复习公

式高等数学公式

(tgx)??sec2x(arcsinx)??1(ctgx)csc2x?x2(secx)??secx?tgx(a

rccsx)1(cscx)cscx?ctgx?x2(ax)??axlna(arctgx)??11?x2

(lgx)??1axlna(arcctgx)11?x2导数公式：

tgxdxlncsxCctgxdxlnsinxCdxcs2xsec2xdxtgxC

secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2

sin2x?xdx??ctgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?d

x?cscx?ctgxdx??cscx?Ca2?x2?1aarctgxa?C?dx?axdx?axlna?C

x2?a2?12alnx?ax?a?C?shxdx?chx?C?dx1a?

a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxx

a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a22)a2?Cx???22In

n??sinxdx??csnxdx?n?100nIn?2?x2?a2dx?x22x2?a2?a

2ln(x?x2?a2)?C?x2?a2dx?xx2?a2?a2lnx?x22?a22?C?a2?x2dx?x

2a2?x2?a22arcsinxa?C篇四：

高数上册知识点总结高数重点知识总结

1、基本初等函数：

反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数

(y?ax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。x2?xx?lim?1

3、无穷小：

高阶+低阶=低阶例如：

limx?0x?0xxsinx

4、两个重要极限：

(1)lim?1x?0x

(2)lim?1?x?ex?01x?1?lim?1ex???x?g(x)x经验公式：

当x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x)

例如：

lim?1?3x?ex?01xx?0??3x?limx??e?3

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：

y?|x|连续但不可导。

6、导数的定义：

lim?x?0f(x??x)?f(x)?f(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f?x0?

x?x0

7、复合函数求导：

df?g(x)??f?g(x)??g(x)dx例如：

y?x?x,y?2x?2x?12x?x4x2?xx1?1

8、隐函数求导：

(1)直接求导法；

(2)方程两边同时微分，再求出dy/dxx2?y2?1例如：

解：

法

(1),左右两边同时求导,2x?2yy?0?y??xydyx法

(2),左右两边同时微分,2xdx?2ydydxy

9、由参数方程所确定的函数求导：

若??y?g(t)dydy/dtg(t)??，则，其二阶导数：

dxdx/dth(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g(t)/h(t)?dyd?dy/dx

2dxdxdx/dth(t)2

10、微分的近似计算：

f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)例如：

计算sin31?

1

1、函数间断点的类型：

(1)第一类：

可去间断点和跳跃间断点；例如：

y?sinx（x=0是x函数可去间断点），y?sgn(x)（x=0是函数的

跳跃间断点）

(2)第二类：

振荡间断点和无穷间断点；例如：

f(x)?sin??（x=0是函数的振荡间断点），y?断点）

1

2、渐近线：

水平渐近线：

y?limf(x)?cx???1??x?1（x=0是函数的无穷间xlimf(x)??，

则x?a是铅直渐近线.铅直渐近线：

若，x?a斜渐近线：

设斜渐近线为y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax?

x??xx3?x2?x?1例如：

求函数y?的渐近线x2?1

1

3、驻点：

令函数y=f(x)，若f(x0)=0，称x0是驻点。

1

4、极值点：

令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,

δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是

f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

1

5、拐点：

连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

1

6、拐点的判定定理：

令函数y=f(x)，若f(x0)=0，且xx0,f(x)0；xx0时，f(x)

0或xx0,f(x)0；xx0时，f(x)0，称点(x0，f(x0))为f(x)的

拐点。

1

7、极值点的必要条件：

令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f(x0)=0。

1

8、改变单调性的点：

f(x0)?0，f(x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻

点，也可能是不可导点）

1

9、改变凹凸性的点：

f(x0)?0，f(x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于

零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是

极值点。2

1、中值定理：

(1)罗尔定理：

f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得f

(?)?0

(2)拉格朗日中值定理：

f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得

f(b)?f(a)?(b?a)f(?)

(3)积分中值定理：

f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点?，使得

b?f(x)dx?(b?a)f(?)a2

2、常用的等价无穷小代换：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(?x?1)~ln(1?x)1?csx~

12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x32632

3、对数求导法：

例如，y?xx，解：

lny?xlnx?1y?lnx?1?y?xx?lnx?1?y2

4、洛必达法则：

适用于“0?”型，“”型，“0??”型等。当0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，

f(x),g(x)皆存在，且g(x)?0，则f(x)f

(x)ex?sinx?10ex?csx0ex?sinx1lim?lim例如，limlimlim?

2x?x0g(x)x?x0g(x)x?0x?0x?0x2x222

5、无穷大：

高阶+低阶=高阶例如，2

6、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法（凑微分法）

(3)第二类换元法：

哪里复杂换哪里，常用的换元：

1)三角换元：

23?x?1??2x?3?lim?x2x5x2?2x?lim?4x2x53a2?x2，

可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect2)当有

理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x?1t2

7、分部积分法：

udv?uv?vdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积

x3分出现循环形式的情况，例如：

ecsxdx,secxdx????2

8、有理函数的积分：

例如：

3x?22(x?1)?x11dx??2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx

11x?1?xx?1?x1dx需要进行拆分，令?x(x?1)2

x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2其中，前部分?111??2xx?1(x?1)2

9、定积分的定义：

f()xf(x)dxlima0iii1bn30、定积分的性质：

b

(1)当a=b时，?f(x)dx?0；aba

(2)当ab时，?f(x)dxf(x)dxaba?aa

(3)当f(x)是奇函数，?f(x)dx?0,a?0a

(4)当f(x)是偶函数，b?a?f(x)dx?2?f(x)dxcb

(5)可加性：

f(x)dxf(x)dxf(x)dxaacxxd3

1、变上限积分：

(x)f(t)dt(x)f(t)dtf(x)dxaad推广：

dxu(x)?f(t)dt?f?u(x)?u(x)ab3

2、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：

bb?f(x)dx?F(b)?F(a)a3

3、定积分的分部积分法：

udv??uv??vdu例如：

xlnxdx?aba?a???bb3

4、反常积分：

(1)无穷限的反常积分：

f(x)dxlimf(x)dxaabbta

(2)无界函数的反常积分：

3

5、平面图形的面积：

(1)A??f(x)dx?lim?f(x)dxatd??f(x)?f(x)?dx

(2)A(y)??(y)?dy2121ac2

(2)绕y轴旋转，f(x)dxV???(y)dy??2acbdb3

6、旋转体的体积：

(1)绕x轴旋转，V??篇五：

高等数学知识点总结高等数学知识点总结导数公式：

2

(tanx)??secx(ctanx)cscx(secx)??secx?tanx(cscx)cscx?ct

x(a)??alna(lgaxx2(arcsinx)??(arccsx)(arctanx)??1?x2

1?x121?x2x)??1xlna(arcctx)11?x2基本积分表：

三角函数的有理式积分：

tansecaxaxdxlncsxCctxdxlnsinxC

xdx?lnsecx?tanx?C?cs?sindx2xx???sec?csc2

xdx?tanx?Cxdx??ctx?Cdx22?cscxdx?lncscx?ctx?Cdx2?secx

x?tanxdx?secx?Cxdx??cscx?Cx?xdx?adx?xdx221a1

arctanlnlnxa?C?C?C?cscx?ct?adx?ax?ax?aa?xa?xxalna?C22

2a12a?shxdx?chxdx??2?chx?C?shx?C?ln(x?x?a)?C2222a?x

2?arcsin?Cdxx?a22?2In??sin02nxdx??csnxdx?2n?1naaa

2In?2x?a)?Cx?axa?C2222sinx?2u1?ux?adx?x?adx?a?xdx?

22222x2x2x2x?a?x?a?a?x?2222222ln(x?lnx?arcsin2

2?C2，csx?21?u1?u2，u?tan2x2，dx?2du1?u2一些初

等函数：

两个重要极限：

e?e2e?e2shxchx2x?xx?x双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?

双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx?12ln1?x1?xlim

sinx(1?x1xx?0?1)xlime?ee?exx?x?xx???e?x?1）x?1)

2三角函数公式：

·诱导公式：

·和差角公式：

·和差化积公式：

sin()?sin?cs??cs?sin?cs()?cs?cs??sin?sin?tan()?ct(

)?tan??tan?1?tan??tan?ct??ct??1ct??ct?

sin??sin??2sinsin??sin??2cs2cssin222

cs??cs??2cscs??cs??2sin2cssin222·倍角公式：

sin2??2sin?cs?cs2??2cs??1?1?2sin??cs??sin?ct2??tan2??

ct??12ct?2tan?1?tan?222222

sin3??3sin??4sin?cs3??4cs??3cs?tan3??3tan??tan?1?3tan?233

3·半角公式：

sintan?2?????cs?21?cs?1?cs?asinA1?cs?sin?bsinB?

csct?2??1?cs?2?21?cs?sin?2?2??csin?1?cs??2??

1?cs?1?cs?2?sin?1?cs?·正弦定理：

sinC2R·余弦定理：

c?a?b?2abcsC·反三角函数性质：

arcsinx??2?arccsxarctanx??2?arcctx高阶导数公式—

—莱布尼兹（Leibniz）公式：

n(uv)?u(n)??Ck?0knu(n?k)v(k)(n)v?nu(n?1)v??

n(n?1)2!u(n?2)vn(n?1)?(n?k?1)k!u(n?k)v(k)???uv

(n)中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

柯西中值定理：

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?f?(?)F?(?)拉格朗日中值定理。

f(b)?f(a)F(b)?F(a)当F(x)?x时，柯西中值定理就是曲率：

弧微分公式：

平均曲率：

K?dss?y?dx,其中y??tg???:从M点到M?点，切线斜率的

倾角变sd?dsy??(1?y?)232化量；?s：

MM?弧长。M点的曲率：

直线：

K?0;K?lim?s?0??.半径为a的圆：

K?1a.定积分的近似计算：

b矩形法：

f(x)abban(y0y1yn1)梯形法：

f(x)abba1[(y0yn)y1yn1]n2ba3n

[(y0?yn)?2(y2?y4yn?2)?4(y1?y3yn?1)]抛物线法：

f(x)a定积分应用相关公式：

功：

Fs水压力：

F?p?A引力：

F?km1m2r2,k为引力系数函数的平均值：

y?1b?ab?b?aa1bf(x)dx均方根：

af(t)dt2空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：

向量在轴上的投影：

d?M1M2?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222PrjuAB?cs?,?是AB

与u轴的夹角。Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2

a?b?a?bcs??axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角：

cs??k,axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222i

c?a?b?axbxjaybyaz,c?a?bsin?.例：

线速度：

bzaybycyazbzczv??向量的混合积：

[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。?a?b?ccs?,?

为锐角时，平面的方程：

1、点法式：

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中

n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1d?

Ax0?By0?Cz0?DA?B?C空间直线的方程：

222

2、一般方程：

3、截距世方程：

平面外任意一点到该平面的距离：

xx0mtxx0yy0zz0t,其中s?{m,n,p};参数方程：

yy0ntmnpzzpt02222二次曲面：

1、椭球面：

2、抛物面：

3、双曲面：

单叶双曲面：

双叶双曲面：

xaxa2222xa222??yb?2zc?1xy2p2q?z（,p,q同号）??

ybyb2222??zczc2222?1?（马鞍面）1多元函数微分法及应用全

微分：

dz??z?xdx??z?ydydu??u?xdx??u?ydy??u?zdz全微分的近

似计算：

多元复合函数的求导法?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y：

dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v

z?f[u(x,y),v(x,y)]?????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，

du??u?xdx??u?ydydv??v?xdx??v?ydy隐函数的求导公式：

FFFdydy??dy隐函数F(x,y)?0??x2?(?x)＋(?x)?

dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0?????xFz?yFz2