向量模长公式

向量模长公式

-PMU

2023年2月15日发(作者：张艳娟)

射洪中学高2014级高一数学奥赛平面向量专题

空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中

多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更

接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数

与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的

图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛

试题中涉及的一些向量问题作一些探究．

一、有关知识：

（1）共线向量定理：

()abb0

存在唯一的实数使得a=b

．

（2）平面向量基本定理：设向量

12

,ee为平面内两个不共线的向量，则对于平

面内任意一个向量a，有且仅有唯一的有序实数对

12

,

使得

1122

aee．

（3）若(,)OPOAOBR

uuuruuuruuur

，则

,,PAB

三点共线的充要条件是

1

．定比分点公式：若点P在直线AB上，且APPB

uuuruuur

，O为任意

一点，则

1

OAOB

OP











uuuruuur

uuur

．

（4）对于向量

1122

(,),(,)xyxya=b，

1212

00xxyygabab．

（5）设

,ab

为两个向量，则

ababab

，ababgg．

（6）两向量的夹角公式：

cos,

ab

ab

ab

g

g

；向量模长公式：aaag；

（7）三角形中“四心”的向量形式：

重心：若

G

为

ABCV

的重心，则0GAGBGC

uuuruuuruuurr

；

垂心：若H为

ABCV

的垂心，则(1)HAHBHBHCHCHA

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

ggg；

(2)222222HABCHBCAHCAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

；

外心：若O为ABCV的外心，则2211

,

22

AOABABAOACAC

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

gg

；

结合垂心有：OHOAOBOC

uuuruuuruuuruuur

；

内心：若I为

ABCV

的内心，则0BCIACAIBABIC

uuruuruurr

ggg．

二、赛题分析：

§１几何中的运用

例1、在ABC所在平面有一点P满足BCPCPBPA，则ABC与PBC的

面积之比为

变1.（2004年全国高中联赛）设O点在ABCV的内部，且有230OAOBOC

uuuruuuruuurr

，

则ABCV的面积与AOCV的面积之比为（）

A．2B．

3

2

C．3D．

5

3

【拓展】

命题：设P点在ABCV的内部，则

123

0(0,1,2,3)

i

PAPBPCi

uuuruuuruuurr

成立的

充要条件是

123

::::

BPCCPAAPB

SSSVVV．

推论：设P点在ABCV的内部，若

123

0(0,1,2,3)

i

PAPBPCi

uuuruuuruuurr

，若

(1)

123

::1:1:1，则P为ABCV的重心，反之也成立；

(2)

123

::sin:sin:sinBPCCPAAPB，则P为

ABCV

的外心，反之也成立；

(3)

123

::::BCCAAB，则P为ABCV的内心，反之也成立；

(4)

123

::tan:tan:tanABC，则P为

ABCV

的垂心，反之也成立．

注：由平面向量基本定理知，对于给定的ABCV内部的任意一点P，

123

0(0,1,2,3)

i

PAPBPCi

uuuruuuruuurr

中的

123

::

的比值是唯一的，而推论２

即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．

设点O在ABC内部，且

40OAOBOC

uuuruuuruuurr

，则ABC的面积与OBC的面积之比是：

D

A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2

已知ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且

0543OCOBOA

(1)求数量积,OBOA,OBOCOCOA

（2）求

ABC的面积

例2.四心

1、若

O

为

ABC

内一点，0OAOBOC

uuuruuuruuurr

，则

O

是

ABC

的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

归纳：G是△ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点G是△ABC的重心.

重心)(

3

1

PCPBPAPG.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的

变式：已知DEF，，分别为

ABC△

的边BCACAB，，的中点．则

ADBECF0

uuuruuuruuur

．

变式引申：如图4，平行四边形

ABCD

的中心为

O

，

P

为该平面上任意一点，

则

1

()

4

POPAPBPCPD

uuuruuuruuuruuuruuur

2、若

O

为ABC内一点，

OAOBOC

uuuruuuruuur

，则

O

是ABC的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

例1：（2003年全国高考题）

O

是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P

满足)(

AC

AC

AB

AB

OAOP，,0，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）