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课题:第二章土的压缩性与地基沉降计算

一、教学目的：1.了解土的压缩性及压缩性指标；

2.掌握土中应力的计算、地基变形的计算；

3.掌握变形与时间的关系。

二、教学重点：土中应力的计算、地基沉降量计算、固结沉降与时间的关系。

三、教学难点：固结沉降理论

四、教学时数：8学时。

五、习题：3.1，3.2，3.3，3.4，3.9,3.10,3.13,3.14,3.15

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第二章土的压缩性与地基沉降计算

一、土的压缩性

1.基本概念

土的压缩性是指土在压力作用下体积变小的特性。

（1）土的压缩性大：土为三相碎散性材料，比连续介质材料压缩性大。

（2）地基产生压缩的原因；

1）外因：

外荷载作用（普遍存在）；

地下水位下降（施加荷载

w

h

,

h

为地下水位下降值）；

基槽持力层土体结构扰动；

振动产生震沉；

冻融；

浸水下沉

2）内因：三相压缩。

固体颗粒和土中水的压缩在一般压力作用下可忽略不计；空气的挤出和压缩与水的挤

出为压缩量的主要组成部分，即土孔隙体积减小。

综上，土的压缩是由于孔隙体积减小的缘故；对饱和土来说，仅是孔隙水的挤出。无

粘性土透水性好，水易于排出，压缩稳定很快完成（不用讨论）；粘性土透水性差，水不

易排出，压缩过程所需时间长（一般讨论饱和粘性土的固结）。

（3）饱和土体压缩过程：（长时间）渗流固结过程。

土的固结：土体在压力作用下，压缩量随时间增长的过程。

（4）蠕变的影响：长期荷载作用下变形随时间而变慢。

2.土的应力应变关系

（1）土体中的应力

1）土体中应力应变关系的假定：

连续介质假定：地基土为均匀、各向同性、半无限空间的线弹性体。土体尺寸远

大于土颗粒尺寸，宏观上作为连续体处理。

弹性体假定：理想弹性体应力应变成正比关系，卸载后完全恢复，土则属于弹塑

性材料，卸载后不能完全恢复，一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量不是很大，尚未

达到塑性破坏或塑性破坏区域较小，为简化用弹性理论求应力分布，方便而准确。

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3

2）土中的应力状态

三维应力状态：三对剪力，三个应力分量。

二维应变状态：（横截面应力大小和分布形式一样）一对剪力，三个应力分量（挡

墙、堤坝）。

侧限应力状态：没有剪力，只有应力。

3）土力学中应力符号的规定：与材料力学相反。

二、土体中的自重应力计算

自重应力：由于土体重力引起的应力。一般是自土形成之日起就在土中产生。土体在

自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经压缩稳定，因此，土的自重应力一般不再引起

土的变形。但由于新沉积层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的变形。

假定：地基为均质的半无限体，自重下只能产生竖向变形，无侧向位移和剪切变形。

1.均质土层的自重应力

假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀，天然重度为(kN/m3)，则在天然

地面下任意深度z(m)处的竖向自重应力

cz



(kPa)可取作用于该深度水平面上任一单位面

积上土柱的重量

1z

计算，则

cz

z

（2.1）

由于地基中的自重应力状态属于侧限

应力状态,故侧限条件0

xy

，且

cxcy

，根据广义虎克定理，

()x

xcyczEE







侧限条件带入上式

()0cx

xcyczEE







图2.1自重应力状态

得

1cxcycz











令

01

K









则

0cxcycz

K（2.2）

式中:

0

K

―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数，

0

K

=0.33~0.72。

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作用在此微元上的剪应力为

0

xyyzzx

（2.3）

2.成层土和有地下水时的自重应力

1122

1

n

cznnii

i

hhhh





（2.4）

如图2.2，第一层和第二层

土中自重应力分别是

11

h

和

1122

hh，应力在层面上发生

转折，成为为连续折线，在第三

层中遇到地下水，需要把土的浮

力除去，乘以有效重度，如果遇

到不透水层，不透水层不存在水

的浮力，按照上浮土层中的水土

总重来计算，在不透水面自重应

力发生突变，突变值为

33

()

w

hh。图2.2成层土的自重应力分布

总结：

（1）地下水位面以上采用天然重度，地下水位面以下采用有效重度。

（2）非均质土中自重应力沿折线分布。

（3）不透水层中不存在水的浮力，故层面以及以下应按上覆土层的水土总重计

算，因此不透水层层面上下自重应力发生突变。

廿字箴言：折线分布，遇层而折，水上天然，水下有效，隔水突变。

讨论：地下水位对自重应力的影响。

（1）地下水位下降对自重应力的影响：

如图2.3，当地下水位下降时，水位变化范围内的土体，土中的自重应力会增大，

这时应考虑土体在自重应力增量作用下的变形。若在地基中大量开采地下水，

造成地下水位大幅度下降，将会引起地面大面积下沉的严重后果。

（2）地下水位上升对自重应力的影响：

如图2.4，地下水位上升使原来未受浮力作用的土颗粒受到了浮力作用，致使土的自重

应力减小，也会带来一些不利影响。即：地下水上升除引起自重应力减小外，还将引起

湿陷性黄土湿陷。在人工抬高蓄水水位的地区，滑坡现象常增多。在基础工程完工之前，

如果停止基坑降水使地下水位回升，可能导致基坑边坡坍塌，或使刚浇注强度尚低的基础

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底板断裂。

天然地面天然地面

原地下水位新地下水位

新地下水位原地下水位

图2.3地下水位下降图2.4地下水位上升

三、基底压力计算

基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础底面传递给地基表面，在基础底

面与地基之间产生接触压力，称基底压力或基底接触压力。

1.基底压力的分布规律

试验表明，基础底面接触压力的分布图形取决于下列诸因素：

（1）地基与基础的相对刚度；

1）弹性地基上的完全柔性基础（EI=0）

柔性基础：刚度小，几乎无抵抗变形能力，基础随地基同步变形，压力分布与荷载分

布情况相同，均布荷载作用下基底反力均匀分布。实际上完全柔性基础不存在。

2）弹性地基上绝对刚性基础（EI=∞）刚性基础：

由于基础刚度接近无穷大，在均布荷载作用下，基础只能保持平面而不能弯曲。但对

于地基而言，均匀分布的基底压力将产生不均匀沉降，其结果是基础变形与与地基变形不

相适应，基底中部将会与地面脱开，出现应力架桥作用。因此，基底压力的分布形式与作

用在其上的荷载分布形式不一样。

3）塑性地基上的有限刚性基础

弹性理论的基底分布图形实际上是不可能出现的，土体形成塑性区后，多余应力向中

间转移，出现应力重分布。

（2）荷载大小与分布情况

随着荷载的增加，刚性基础基底压力分布出现中间小两边的的弧形形状，随后出现马

鞍形—>抛物线形—>钟形等分布。

（3）基础埋深大小；

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6

基础埋深的大小影响基础底面附加应力。

（4）地基土的性质。

当刚性基础放在砂土地基表面时，由于砂颗粒间无粘结力，其基底压力分布更易发展

成抛物线形；而在粘性土地基表面上的刚性基础，其基底压力分布易呈马鞍形分布。

2.工程简化计算

刚性基础的基底压力呈非线性分布，荷载越大，越均匀。

根据圣维南原理：基底下一定深度处的附加应力与基底荷载的分布状态无关，只与和

力的大小和作用点位置有关。所以，对于具有一定刚度以及尺寸较小的基础，其基底压力

近似视为线性分布，按材料力学公式进行简化计算。对于复杂的其他基础，一般需考虑上

部结构和基础的刚度以及地基土的力学性质，按弹性地基梁板的方法计算。

（1）中心荷载作用下基底压力

作用于基底上的荷载合力通过基底形心时，基底压力为均匀分布（图2.4）其值按材料

力学中心受压公式计算，

NG

p

A





（2.5）

式中p—基底底面平均压力（kPa）；

N

—上部结构传至基础顶面上的竖向荷载设计值（kN）；

A—基础底面面积（m2）,

Alb

；

基底压力还可以表示成如下形式：

G

N

pd

A



（2.6）

G



—基础及回填土平均重度（kN/m3），一般取20kN/m3，

如在地下水位以下则取效重度；\'

G



取10kN/m3。

d

—设计地面到基底的深度。

若基础长宽比大于或等于10时，可简化为平面应变图2.5中心荷载作用下基底压力

问题处理，这种基础称为条形基础，此时可沿长度方向取1m延长的底面积进行计算。

/pFGb()（2.7）

/

G

pFbd（2.8）

2）单向偏心荷载作用下基底压力

荷载的合力与基础中心线不重合时，基底压力为三角形或梯形分布。通常将基础长边

方向定在偏心方向，以材料力学的偏心受压公式计算，即

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图2.6单向偏心荷载作用下基底压力

max

min

6

(1)

Re

p

Ab



（2.9）

式中

maxmin

,pp—基底两端边缘最大、最小压力(kPa)；

R—作用在基础底面的竖向合力设计值，kN。

e—偏心距（m）；

讨论：

当

maxmin

/6,,0elpp

，基底压力呈梯形分布；

当

maxmin

/6,0,0elpp，基底压力呈三角形分布；

当

maxmin

/6,0,0elpp

，基底出现拉应力，基底压力重分布；总的竖向荷载作

用在基底压力分布图形心上，三角形荷载面积

3()

2

l

eb

，

max

1

3()

22

l

FGpeb

，所以

max

2()

3()

2

FG

p

l

eb







（2.10）

其中：

/()eMFG

还可表示成如下形式：

max

min

FGM

p

AW



（2.11）

M—作用于基底的偏心荷载对基底形心产生的力矩(kN·m),

()MFGe

，

W

—基础底面的抵抗矩（m3），W=bl2/6。

为了避免因地基应力不均匀，引起过大的不均匀沉降，通常ma

mi

1.50~3.0x

n

p

p

。对压缩

性高的粘性土应采用最小值，对压缩性小的无粘性土可用大值。

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*当受到双向偏心荷载时，根据材料力学偏心荷载公式计算，即

max

min

y

x

xy

M

M

FG

p

AWW





(2.12)

四、基础底面附加压力

一般情况下，由于土在自重作用下已经固结，自重应力不再引起地基变形，只有新增

的建筑物荷载，即作用于地基表面的附加应力，才会引起地基压缩变形。当基础埋置于底

面下一定深度后，该处的自重应力因基坑开挖而卸除，所以，计算附加应力时用到的底面

荷载强度不是基底压力，而应该将基底原有的自重应力扣除。

基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增的压力，即导致地基中产生

附加应力的那部分基底压力。基底附加压力在数值上等于基底压力扣除基底标高处原有土

体的自重应力。

总是埋置在天然地面下一定深度处，未造建筑物前，在该深度处已存在土的自重应力，

后来由于开挖，该处原有的自重应力被卸除。因此，作用于基底上的压力扣除该处原有的

自重应力后，才是引起地基沉降的新增加的附加压力，简称基底附加压力，其值为：

0m

ppd（2.13）

式中

0

p

—基底附加压力（kPa）；

p—基底处土的自重应力（kPa）；

m



—基底以上天然土层(非设计地面)的加权平均重度（kN/m3）,地下水位以下取有

效重度加权平均值。

讨论：注意两个

d

的取值。

五、地基中的附加应力

地基中的附加应力是指建筑物荷载或其他原因在地基中引起的应力增量。

计算基本假定：

地基是无限半空间弹性体；

地基土是连续均匀的，即变形模量和泊松比各处相等；

各项同性的，即变形模量和泊松比各方向相等；

1.竖向集中力荷载分布

（1）计算方法（布辛尼斯科解）

竖向集中荷载作用下地基的附加应力。

2

z

P

z

（2.14）

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9

式中—集中荷载作用下土中附加应力

系数。

(/)frz，可通过查表或线性内插

求得；

z—M点的垂直深度（m）；

注意：

绝对的集中应力是不存在的，不管怎

样总会有作用面积；2.7半无限弹性体表面受集中力作用

应力增大一定程度后，就会由弹性状态变化到塑性状态，应力会发生重新分布。

离开坐标原点很远时，和荷载形式关系不大，应力可以忽略不计。

（2）荷载分布图(如图2.8，2.9)

图2.8集中力荷载分布图图2.9附加应力分布规律

（3）分布规律：

距离地面越远，附加应力分布范围越广；

在集中力作用线上附加应力最大，向两侧逐渐减小；

在同一竖向线上的附加应力随深度而变化；

在集中力作用线上。当

0

z

z时，

，随着深度增加，

z



逐渐减小；

竖向集中力作用引起的附加应力向深处向四周无线传播，在传播过程中应力强度

不断降低（应力扩散），见图2.9。在遇到多个集中力时，引起的参数（内力、应力、位移），

等于每个外力单独作用时各参数的代数和（等代荷载法）。

2.矩形竖向均布荷载

（1）矩形均布荷载角点下的附加应力

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10

由布辛尼斯科解积分求得。

zc

P（2.15）

式中

c



—矩形基础角点下的竖向附加应力

系数，(/,/)

c

flbzb，可查表。

（2）矩形均布荷载任一点应力

应用角点法，分四种情况解答：

受荷面积边上：()

zcIcII

p

受荷面积内：()

zcIcIIcIIIIV

p图2.10均布矩形荷载角点下的附加应力

受荷面积外：

()

zcIcIIcIIIIV

p

面积角点外侧()

zcIcIIcIIIIV

p

IIIVIIIIV

MMM

IIIIIIIMIV

图2.11角点法计算均布矩形荷载下任一点应力

计算原则：受荷面积等于各矩形面积和；且长边为l,短边为b。

3.矩形竖向三角形荷载

如图2.14，由布辛尼斯科解积分求得。

ztct

p（2.16）

式中

tc



—竖向附加应力系数，

(/,/)

c

flbzb

，可

查表。

4.圆形面积均布荷载2.12三角形荷载竖向附加应力

如图2.15，由布辛尼斯科解积分求得。

00z

p（2.17）

式中

0



—竖向附加应力系数，

00

(/)fzr

，可查表。

5.条形基础均布荷载

s

zz

p（2.18）

其中2.13圆形面积均布荷载

2

221

(arctan)

142

s

z

n

nn









（2.19）

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11

式中s

z



—竖向附加应力系数，可通过（2.19）计算，或(/,/)s

z

fxbzb，可查表。

n—/nzb

6.条形基础三角形荷载

s

ztt

p（2.20）

s

t



—竖向附加应力系数，由(/,/)s

t

fxbzb查表。

六、有效应力原理

1.土中的两种应力试验（单一变量，相同压力）

甲：砂+钢球—>e减小—通过砂土骨架传递应力，土层发生压缩变化，强度发生变化。

乙：砂+水—>e不变—通过孔隙中水传递应力，土层未发生压缩变化，强度发生变化。

以上两种试验可等效工程实际模型，如无地下水换填，含地下水地基。

2.有效应力原理

饱和土体承受的总应力

为有效应力

\'

和孔隙水压力

u

之和：

\'u（2.21）

土的变形强度只随有效应力而变化，有效应力是分析地基变形与受力的重要手段。

注意：

（1）只有有效应力引起土体发生压缩；

（2）只有有效应力影响土的抗剪强度。

3.现场应用实例（测出饱和重度即可）

七、压缩试验

1.侧限条件下土的压缩性

原状土侧限压缩试验可模拟工程中均布荷

载时的地基变形，简称压缩试验或固结试验。

（1）压缩已示意图：如图2.14所示。2.14压缩仪示意图

（2）试验方法：称量—>测定密

度含水率—>装土检测—>加压—>

读数—>求值。

（3）成果整理：

初始孔隙比：0

0

0

(1)

1sw

Gw

e









，

各级荷载下孔隙比:

00

0

(1)i

i

h

eee

h



2.14压缩曲线

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12

e1

e2

e

1



2



P(kPa)

M1

M2

α

（4）绘制ep或

lgep

曲线：如图所示。

2.侧限压缩指标

（1）土的压力系数a

侧限试验中如图区段内以直带曲，直线斜率为

12

12

tan1000

ee

a









（2.22）

不难看出，a代表曲线斜率，随

\'增大而减小，

而非定值，是一个变量。

《地基基础设计规范》规定：取

100~200pkpa

压力区间相对应的压缩系数

1~2

a

来评价土的压缩性。图2.16压缩曲线

1~2

a值是判断土的压缩性高低的一个重要指标。

1~2

a的大小将地基土的压缩性分为以下三类：

当1

1~2

0.5aMa时，为高压缩性土；当11

1~2

0.10.5MaaMa时，为中压缩性土；

当1

1~2

0.1aMa时，为低压缩性土。

土的压缩性高低，取决于土的类别、原始密度和天然结构是否扰动等因素。

（2）压缩指数

纵坐标不变，横坐标取对数，斜率则为压缩指数：

1212

\'

\'\'

2

21

\'

1

lglglg\'

lg

C

eeee

e

C

p

pp

p











(2.23)

结论：C

C

越大，压缩性越高，反之越小。

0.2

C

C

低压缩性土，

0.20.4

C

C

中压缩性土，图2.17压缩曲线

0.4

C

C

高压缩性土。

（3）侧限压缩模量s

E

定义：土试样单向受压，应力增量与应变增量（竖向）的比值。

\'\'\'\'

2121

1

12

12

1

\'

s

z

Eh

hh

hh

h

















（2.24）

试验表明：完全侧限条件下，竖向压力与侧向压力之比，保持常值

0

K

，侧限条件亦称

0

K

条件。

结论：

4

s

EMPa

，高压缩性土；

415

s

MPaEMPa中压缩性土，15

s

EMPa，

低压缩性土。

（4）侧限压缩模量s

E

与土的压力系数a的关系

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13

利用三相草图，侧向条件面积不变：

压缩前：孔隙比

1

e

，面积A=1，体积

S

V

=1



111

1Vhe

压缩后：孔隙比

2

e

，面积\'A=1,体积\'

S

V=1



222

1Vhe

竖向应变

z



=1212

11

1

hhee

he







（2.25）

于是

\'\'

21

1

12

\'

(1)

s

z

Ee

ee















（2.26）

将12

12

tan1000

ee

a









带入上式得

1

1

S

e

E

a





（2.27）

结论：土的压缩模量

s

E

与压缩系数a成反比，

s

E

越大，a越小，土的压缩性越低。

3.土层侧限压缩变形量(承受

\'

增量)

（1）已知

S

E

值：由

\'\'\'\'

2121

1

12

12

1

\'

s

z

Eh

hh

hh

h

















得

\'\'

21

1211

\'

SS

hhhhh

EE







（2.28）

结论：压缩变形量与压力增量成正比，与土层厚度成正比。

（2）已知a值：将0

1

S

e

E

a





带入上式得：

1

1

\'

1

a

hh

e







（2.29）

（3）若有

\'e

曲线，由

z



=1212

11

1

hhee

he







得：

12

1

1

1

ee

hh

e







（2.30）

4.现场荷载试验及变形模量

（1）荷载试验

1）试验过程：选址—>加荷—>读数—>出图—>确定地基承载力。

2）地基变形模量

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14

2

0(1)

pB

E

s



（2.31）

式中：—形状系数；

—地基土泊松比；

0

p—载荷试验ps曲线比例界限对应的荷载，kPa。

s—相应于ps曲线上比例界限对应的沉降，cm。

3）土的变形模量与压缩模量的关系：

22

(1)

1ss

EEE











（2.32）

证明：

==

1

=(),=(),=()

=()

==0

z

z

s

z

xy

y

x

z

xyzyxzzxy

z

zxy

xy

E

EEEEEE

EE































































2

2

2

=(1)

1

2

(1)

1

z

z

s

z

z

s

E

EE

E









































结论：变形模量与压缩模量成正比。

（2）旁压试验

1）实验过程：打孔—>加压—>稳压—>计算。

2）变形模量

22

0(1)

p

Erm

s





（2.33）

3）压缩模量（

s

E

>5MPa的粘性土或粉土）

22

01.25(1)4.2

s

p

Er

s





（2.34）

八、地基的最终沉降量

定义：地基土层在建筑物荷载作用下，不断地产生压缩，直至压缩稳定后地基表

面的沉降量称为地基最终沉降。

原因：通常认为自重下土层压缩已稳定，外因为地基产生的附加应力，内因为土

兰州交通大学博文学院教案

15

的碎散性。

目的：预知建筑沉降，保证建筑安全。

计算方法：分层总和法、规范法、弹性力学法

1.分层总和法

（1）计算原理

12

1

n

ni

i

sssss





(2.35)

（2）几点假定：

1）均质、各项同性半的无限空间弹性体；

2）采用基底中心点下的附加应力计算地基变形量；

3）地基土在压力作用下不允许侧向膨胀，计算时采用完全侧限条件下的压缩性指标；

4）计算至某一深度即可。

（4）计算方法与步骤

1）分层：

不同土层的的分界面与地下水位面为天然层面，必须分层；

每层厚度：

0.4

i

hb

2）计算自重应力：

1

n

czii

i

h



，计算结果按比例将图绘制于基础中心线左侧。

3）计算基础底面接触压力：用公式

FG

p

A





、max

min

6

1

FGe

p

Al











或

FGM

p

AW





4)计算基础底面附加应力：

00

ppd

5）计算地基中的附加应力分部：层厚小于0.4b，绘制附加应力曲线。

6)绘图：自重应力和附加应力分布曲线；

自重应力曲线从天然地面起画；

附加应力曲线从基础底面起画。

7）确定地基受压层深度

n

z

,一般土

0.2

zcz



，软土

0.1

zcz



，图上求解或解析求解

确定

n

z

。

8）计算各土层压缩量：

已知

S

E

值：zi

ii

si

sh

E





兰州交通大学博文学院教案

16

已知

a

值：

1

()

1izii

a

sh

e





若有

\'e

曲线：12

1

()

1iii

ee

sh

e







式中

zi

—第i层土的平均附加应力；

si

E—第i层土的侧限压缩模量；

i

h—第i层土的厚度；

a—第i层土的压缩系数；

1

e—第i层土的压缩前的孔隙比；

2

e—第i层土的压缩终止后的孔隙比；

9）计算地基最终沉降量：

12

1

n

ni

i

sssss





2.《规范》法

（1）压缩量的数学意义

假设均质地基土，在侧限条件下，压缩模量不随深度而变化，压缩量的积分形式为：

00

1

1

\'

n

zz

zii

z

z

i

ssss

h

A

sdzdz

EEEE











（2.36）

所以，土层的压缩量等于附加应力面积与侧限压缩模量的比值。

（2）附加应力面积与平均附加应力系数

由于附加应力面积

0

z

z

Adz，引入附加应力计算公式0z

p

，易知0

0

zApdz，

引入平均附加应力系数0

0

zdz

A

zpz







，因此附加应力面积可表示为0

Apz

，压缩量

0

\'

s

z

sp

E



。

（3）各层压缩量和地基沉降量

如图2.22，利用附加应力面积等代值计算地基任一范围内的沉降量，因某一层的沉降

量为

\'\'\'

10

111

()ii

iiiiiii

sisi

AAp

ssszz

EE









（2.37）

兰州交通大学博文学院教案

17

\'

0

11

11

\'()

nn

iiiii

ii

si

p

sszz

E







（2.38）

地基沉降量

0

1

1

1

()

n

ii

ssii

i

si

p

sszz

E









（2.39）

式中s—基础最终沉降量（mm）；

s



—按分层总和法计算的基础沉降量

（mm）；图2.18附加应力面积计算

s



—沉降计算经验系数，查表，

n

—地基沉降计算深度范围内所划分的土层数，（以天然土层分界面来划分）；

0

p—基底附加压力（kPa）；

si

E

—基础底面下第i层土的压缩模量，按实际应力范围取值（MPa）；

i

z，

1i

z



—基础底面至第i层土、第i-1层土底面的距离（m）；

i，1i—基础底面至第i层土、第i-1层土底面范围内平均附加应力系数

（5）计算步骤

1）求变形计算深度：

无相邻荷载基础中点下：

(2.50.4ln)

n

zbb

（2.40）

式中b-基础宽度，适用于1～30m范围

存在相邻荷载影响：

1

0.025

n

ni

i

ss





（2.41）

式中

i

s





—计算深度范围内，第i层土的计算沉降量（mm），

n

s





—由计算深度zn

处向上取厚度为Δz的土层计算沉降值(mm),查表。

2）求基底附加压力：同分层总和法；

3）求地基土压缩模量：同分层总和法；

4）分步骤计算沉降：

通过查表求得平均附加应力系数，沉降按式0

1

1

1

\'()

n

ii

ii

i

si

p

szz

E







计算。

5）求压缩模量当量值：

兰州交通大学博文学院教案

18

i

S

i

si

A

E

A

E







(2.42)

6）求沉降计算经验系数:通过线性内插查表。

7）最终沉降量：0

1

1

1

()

n

ii

ssii

i

si

p

sszz

E











3.弹性力学法

2

0

0

1

sbp

E









（2.43）

九、应力历史对地基沉降的影响

1.土的应力历史

定义：土体在历史上曾经受到过的应力状态。

先期固结压力\'

c



：土在生成历史中曾受过的最大有效固结压力。

超固结比OCR：先期固结压力与现有土层自重应力之比。

天然土层的三种状态：

超固结状态：OCR大于1；正常固结状态：OCR=1；欠固结土OCR小于1。

2.先期固结压力的\'

c



确定：

（1）Terzaghi和Peek法：

（2）Schmertmann法：

3.考虑应力历史影响的地基最终沉降量计算

（1）正常固结土：试验定先期固结压力和压缩指数；

（2）超固结土：试验定先期固结压力和回弹指数（室内曲线修正为现场原位曲线）；

（3）欠固结土：试验定先期固结压力和压缩指数；

十、地基沉降与时间的关系

1.地基沉降与时间关系计算目的

无粘性土地基上的建筑物透水性强，沉降很快完成；粘性土地基上建筑物透水性，达

到沉降稳定所需时间十分漫长，应考虑地基变形与时间的关系。

2.饱和粘性土的渗透固结

（1）渗透固结：饱和粘性土在压力作用下，孔隙水随时间迁延而排出，同时孔隙体

积也随之缩小，这一过程称为饱和粘性土的渗透固结。孔隙水排出，孔隙水压力减小，有

效应力逐渐增大，或者说孔隙水压力逐渐转化为有效应力。

（2）渗流固结力学模型

3.太沙基一维固结理论

（1）基本假定：

土层是均匀的、完全饱和的；

兰州交通大学博文学院教案

19

土的压缩完全由孔隙体积减小引起，土体和水不可压缩；

土中水的渗流服从达西定律

在渗透固结过程中，土的渗透系数k和压缩系数a视为常数；

外荷一次性无初速施加。

（2）微分方程及解析解

1）微分方程

2

2

v

uu

C

zz







（2.44）

式中1

(1)

v

w

ke

C

a



称为土的竖向固结系数，单位：2/my；

k—土的渗透系数；

1

e—渗流固结前土的孔隙比；

w



—水的重度；

a

—土的压缩系数；

2）解析解

2

2

4

1

41

sin

2

V

mT

m

mz

ue

mH











(2.45)

式中

m

—奇数正整数；

e

—自然对数的底；

—附加应力，不随深度变化；

H

—土层最大排水距离，单总双半；

V

T—时间因子，用下式计算：

1

22

(1)

V

V

w

C

ket

Tt

HaH





（2.46）

3）地基固结度

地基固结度：地基在荷载作用下，对某一深度z处，经历时间t，有效应力与总应

力的比值，称为该点的固结度，即

2

4

,

2

8

1V

ztzt

T

u

zt

Ue













(2.47)

4.地基沉降与时间关系计算

（1）计算地基最终沉降量：

兰州交通大学博文学院教案

20

已知

S

E

值：zi

ii

si

sh

E





已知

a

值：

1

()

1izii

a

sh

e





若有

\'e

曲线：12

1

()

1iii

ee

sh

e







（2）计算附加应力比：

1

2

=









排水面附加应力

不排水面附加应力

（2.48）

（3）假定一系列平均固结度

t

U（一列值）；

（4）计算时间因子（一列值）

（5）计算相应时间t

地基压缩系数计算；

渗透系数换算（73.1510）；

计算固结系数；

求时间因子。

（6）计算时间t的沉降量：

tt

sUs（2.49）

（7）绘制

t

st曲线。

5.地基沉降与时间经验估算法

（1）双曲线式

t

t

ss

at





（2.50）

（2）对数曲线式

(1)at

t

ses（2.51）

6.地基沉降量的组成

（1）瞬时沉降：受荷后立即发生的沉降；

（2）固结沉降：受荷后附加应力使土体发生的沉降，为沉降的主要部分；

（3）次固结沉降：土骨架蠕变产生的沉降。

十一、建筑物沉降观测与地基允许变形值

1.地基变形的特征：沉降量、沉降差、倾斜和局部倾斜。

2.防止地基有害变形的措施

（1）减小沉降量的措施

兰州交通大学博文学院教案

21

（2）减小沉降差的措施

课后习题详解

3.1某教学大楼工程地质勘查结果：地表为素填土，重度3

1

18.0/kNcm，厚度

1

1.50hm；第二层为粉土，重度3

2

19.4/kNcm，厚度

2

3.60hm；第三层为中砂，

重度3

3

19.8/kNcm，厚度

3

1.80hm

；第四层为坚硬整体岩石。地下水位埋深为1.50m。

计算基岩顶面处的自重应力。若第四层为强风化岩石，该处土的自重应力有无变化？

解：第四层不透水，自重应力为上覆土层的水土总重：

112233

181.519.43.619.81.8132.5

cz

hhhkPa

第四层透水，计算有效自重应力：

112233

\'\'181.59.43.69.81.878.48

cz

hhhkPa

3.2某商店地基为粉土，层厚4.80m，地下水位埋深1.10m，地下水位以上粉土呈毛

细饱和状态。粉土的饱和重度320.1/

sat

kNcm。计算粉土层底面处土的自重应力。

解：地下水位以上为饱和重度320.1/

sat

kNcm，土层厚度

1

h

=1.10m,地下水位以

下为浮重度3\'20.11010.1/kNcm，土层厚度

2

4.81.13.7hm

，所以

12

\'20.11.110.13.759.48

czsat

hhkPa

3.3已知某工程为矩形基础，在偏心荷载作用下，基础底面边缘处附加应力

maxmin

150,50kPakPa

，选择一种简单方法，计算此条形基础中心点下，深度分别为

0,

0.25,0.50,1.0,2.03.0bbbbb和

处的地基中的附加应力。

解：如图，可将两个荷载看做一个均布荷载

50pkPa

和一个三角形荷载

100

t

pkPa

共同作用

的结果，且/0xb，附加应力系数查表如下，所以50150

0处：

0

1500.5100100

z

kPa

0.25b处：

0.25

0.96500.4810096

zb

kPa

0.5b处：

0.5

0.82500.4110082

zb

kPa

1.0b处：

1.0

0.552500.2810055.6

zb

kPa

2.0b处：

2.0

0.306500.1610031.3

zb

kPa

3.0b处：

3.0

0.208500.1110021.4

zb

kPa

/zb00.250.51.02.03.0

s

z



1.0000.9600.8200.5520.3060.208

s

t



0.500.480.410.280.160.11

将条形基础作为平面荷载来处

理，将更为简单。无需叠加。

兰州交通大学博文学院教案

22

3.4已知某工程矩形基础，5lb。在中心荷载作用下，基础底面的附加应力

0

100kPa

。采用一种最简单方法，计算此条形基础中心点下，深度分别为0,

0.25,0.50,1.0,2.03.0bbbbb和

处的地基中的附加应力。

解：将矩形基础分成两个条形基础，应用角点法求解，此时10lb，宽度变为原来的

一半，取/10lb，相应的/zb变为原来的2倍，计算结果如下表，所以

0处：

0

220.2510050

zc

pkPa

0.25b处：

0.25

20.239310047.86

zb

kPa

0.5b处：

0.5

20.204610040.92

zb

kPa

1.0b处：

1.0

20.137410027.48

zb

kPa

2.0b处：

2.0

20.075810015.16

zb

kPa

3.0b处：

3.0

20.050610010.12

zb

kPa

3.5解：1

12

1~2

21

0.9520.936

0.16

1000.001

ee

aMPa













1

1~2

1

10.952

12.2

0.16s

e

EMPa

a







中压缩性。

3.6已知某工程矩形基础，长度为

10,14bmlm

，计算深度同为10m，长边中心线

上基础以外6m处A点的竖向附加应力为矩形中心O点的百分之几？

解：应用角点法计算，在矩形中心O点时

5,7bmlm

，此时

/1.4,/2lbzb

，

查表得

c



=0.1034，所以

440.10340.4136

zOc

ppp

在A点时，根据角点法易知

2()2()

zzz

ABCDAHID

,矩形ABCD中，

/4,/2lbzb

，查表得

cI



=0.1350，

在矩形AHID中

/1.2,/2lbzb，

cII

=0.0947

2()2(0.13500.0947)0.0806

zAcIcII

ppp

易知，

/0.19519.5%

zAzO



/zb00.501.02.04.06.0

c



0.25000.23930.20460.13740.07580.0506

OAB

CD

EFG

H

I

兰州交通大学博文学院教案

23

3.7已知某条形基础，宽度为6.0m，承受集中荷载

2400/,0.25PkNmem，计算

距基础边缘3.0m的某A点下9.0m处的附加应力。

解：偏心距

0.25/61emb，基础底面接触（附加）压力呈梯形分布，沿基础长度

方向取1m计算，基底边缘压力为

max

min

6240060.25500

(1)(1)

616300

Re

pkPa

Ab







该基底压力可以看做是

300pkPa

的均布荷载和

200

t

pkPa

的三角形荷载共同作用

的结果，先应用角点法求解均布荷载，取

/10lb

，

b

分别为9和3，

/zb

分别为1和3，

查表得

0.2046,0.0987

cIcII



,所以均布荷载作用下附加应力

1

2()2(0.20460.0987)30063.54

zcIcII

pkPa

三角形荷载

200

t

pkPa

，

/6/61xb

，

/9/61.5zb

，查表得

tc



=0.09，于是

0.0920018

ztct

pkPa

所以，A点下9.0m处的附加应力

63.541881.54

z

kPa

3.9已知某箱型基础，基础地面尺寸

10.010.0mm

，基础高度

h

基础埋深

6dm

，基

础顶面与地面平齐。地下水埋深

2.0m

。地基为粉土，320/

sat

kNm，

5

s

EMPa

；基

础顶面中心集中荷载

8000NkN

，基础自重

3600GkN

，试估算该基础的沉降量。

解：（1）土层自重应力：

4010

cd

d

（2）基础底面接触压力：

80003600

116

1010

PG

kPa

A









（3）基础底面附加应力：

0

dkPa

（4）分层厚度取

0.43

i

hbm

，以下每层

3m

。

（5）地基中的附加应力：用角点法计算，

5.0lbm

，附加应力0

4

cdc



，列表

计算如下：

（6）受压层深度确定。当

6zm

，

cz

100kPa

，

zcz

21.80.2kPa

，总共分两

层。

附加应力计算

深度

z

/m/lb/zb应力系数

c

附加应力

0

4/

zc

kPa

01.000.250036

31.00.60.222932.1

61.01.20.151621.8

兰州交通大学博文学院教案

24

（7）地基沉降计算：如下表。

（8）沉降量：36.6

i

ssmm

沉降计算

土层编号

土层厚度

/

i

hm

土的压缩模量

/

s

EMPa

平均附加应力

/

zi

kPa

沉降量

zi

ii

si

sh

E





13534.120.5

23526.916.1

3.10已知矩形基础底面尺寸

5.64.0mm

，基础埋深

2.0dm

，上部结构总重

6600PkN

，基础及其上填土平均重度320/

m

kNm。地基土表层为人工填土

3

1

17.5/kNm；厚度

6.0m

，第二层为粘土31

11

16.0/,1.0,0.6,kNmeaMPa厚度

1.6m

，

第三层为卵石，

25

s

EMPa

，厚度

5.6m

。求粘土层沉降量。

解：（1）基础底面接触压力：

6600

202334.6

5.64

m

PGP

d

AA

kPa











（2）基础底面附加应力：

0

334.617.52299.6dkPa

图2.20地基压缩剖面图

（3）应用角点法求粘土层顶面和底面的附加应力和平均附加应力，如下表:

（4）沉降量

1

0.6

0.101160048.5

111izi

a

shmm

e





附加应力计算

深度z/m/lb/zb应力系数

c

附加应力

0

4/

zc

kPa平均附加应力/

zi

kPa

41.420.1034123.9

100.8

5.61.42.80.064977.8

3.11某宾馆柱基底面尺寸

4.04.0mm

，基础埋深

2.0dm

，上部结构传至基础顶面的

荷载

4720NkN

，地基表层为细砂，3

11

17.5/,8.0

s

kNmEMPa，厚度

1

6.0hm

，第二

层为粉质粘土

2

3.33

s

EMPa

，厚度

2

3.00hm

，第三层为碎石，

3

22

s

EMPa

，厚度

3

4.5hm

。

用分层总和求粘土层沉降量。

解：解：（1）基础底面接触压力：

4720

202335

44G

N

dkPa

A





（2）基础底面附加应力：

0

33517.52300dkPa

兰州交通大学博文学院教案

25

(3)将粘土分为两层，分别为1.6m和1.4m。地基中附加应力计算如下表：

（4）沉降量计算：如下表。

（5）最终沉降量

附加应力计算

38.721.460.1zi

ii

si

shmm

E





沉降量计算

土层编号

土层厚度

/

i

hm

土的压缩模量

/

s

EMPa

平均附加应力

/

zi

kPa

沉降量

zi

ii

si

sh

E





11.63.3380.538.7

21.43.3350.821.4

3.12某工程矩形基础长，底面尺寸

3.602.00mm

，基础埋深

1.0dm

，地面以上荷重

900NkN

，地基为粉质粘土，31

1

16.0/,1.0,0.4kNmeaMPa，用规范法计算基础中

心O点的最终沉降量。

解：（1）计算受压层深度：

(2.50.4ln)2(2.50.4ln2)4.45

n

zbbm

（2）基底附加应力：

基底接触压力：

900

201145

3.62.0G

N

dkPa

A





基础底面附加应力：

0

145161129dkPa

（3）地基压缩模量

1

1

11

5

0.4s

e

EMPa

a







(4)计算沉降：易知

1

4.45z，沉降计算如下表：

沉降计算表

（5）计算压缩模量当量值：均质土，可取压缩模量

5

s

EMPa

。

深度

z/m

/lb/zb

应力系

数

c



附加应力

0

4/

zc

kPa

4120.0840100.8

5.612.80.050260.2

713.50.034441.3

/lb/zb

0

1

1

1

\'()

n

ii

ii

i

si

p

szz

E









1.801

1.82.20.49957.3

兰州交通大学博文学院教案

26

（6）求沉降计算经验系数：查表得

s



=1.2。

（7）最终沉降量：

\'1.257.368.8

s

ssmm

。

3.13某办公大楼柱基底面尺寸

2.002.00mm

，基础埋深

1.50dm

，上部中心荷载作

用在基础顶面

576NkN

，地基为表层为杂填土，3

1

17.0/kNm，厚度3

1

1.50/hkNm，

第二层为粉土，3

22

18.0/,3

S

kNmEMPa，厚度3

2

4.40/hkNm，第三层为卵石，

3

20

S

EMPa，厚度3

3

6.50/hkNm，用规范法计算基础最终沉降量。

解：（1）计算受压层深度：(2.50.4ln)2(2.50.4ln2)4.45

n

zbbm

（2）基底附加应力：

基底接触压力：

576

201.5174

2.02.0G

N

dkPa

A





基础底面附加应力：

0

174171.5148.5dkPa

（3）地基压缩模量：已知压缩层为第二层，

3

s

EMPa

（4）计算沉降：易知

1

4.45z，沉降计算如下表：

表11沉降计算表

（5）计算压缩模量当量值：均质土，可取压缩模量

3

s

EMPa

；

（6）求沉降计算经验系数：查表内插法得

s



=1.35；

（7）最终沉降量：

\'1.3590.2121.8

s

ssmm

；

3.14某办公大楼柱基底面尺寸

2.402.00mm

，基础埋深

1.50dm

，上部中心荷载作

用在基础顶面

706NkN

，地基土分4层，表层粉质粘土，3

1

18.0/kNm，厚度

3

1

1.50/hkNm，第二层为粘土，3

22

17.0/,1.0,0.6,3

LS

kNmeIEMPa，厚度

3

2

2.5/hkNm，第三层为粉土，

33

20.0,5

S

EMPa，厚度

3

6.60hm，第四层为卵石，

4

25

S

EMPa，厚度3

4

5.80/hkNm，用规范法计算基础最终沉降量。

解：（1）计算受压层深度：

(2.50.4ln)2(2.50.4ln2)4.45

n

zbbm

（2）基底附加应力：

基底接触压力：

706

201.5190.5

2.42.0G

N

dkPa

A





基础底面附加应力：

0

190.5181.5163.5dkPa

（1）地基压缩模量：压缩层为第二层和第三层4.45米底面：23

3,5

ss

EMPaEMPa

；

/lb/zb

0

1

1

1

\'()

n

ii

ii

i

si

p

szz

E









101

12.20.41490.2

兰州交通大学博文学院教案

27

(4)计算沉降：易知

12

2.5,4.45zz，沉降计算如下表：

表11沉降计算表

（2）计算压缩模量当量值：

23

3

2

23

10.6480.6480.443

2.54.45

2.062.427

22

3.8

10.6480.6480.4432.062.427

2.54.45

2235

35

i

S

i

siss

A

AA

EMPa

AA

A

EEE























；

（6）求沉降计算经验系数：查表内插法得

s



=1.32；

（7）最终沉降量：

\'1.32(88.311.5)131.7

s

ssmm；

3.15已知某大厦采用筏板基础，底面尺寸

42.513.3mm

，基础埋深

4.0dm

，基础底

面附加应力

0

214pkPa，基底铺排水砂层。地基为粘土，7.5

S

EMPa，渗透系数

80.610/kcms，厚度

8.00m

，其下为透水砂层，砂层面附加应力

2

160kPa，计算地

基沉降与时间的关系。

解：(1)压缩层平均附加应力(214160)/2187

zi

kPa；

(2)计算地基沉降量:

187

8199.519.95

7.5

zi

ii

si

shmmcm

E





(3)由于双面排水，故附加应力比

1；

（4）假定一系列平均固结度：

25%,50%,75%,90%

t

U，

(5)查曲线横坐标可得：

0.045,0.185,0.58,0.85

V

T

(6)计算相应时间：

373

2222

(1)0.6103.15107.510

0.0886

104

Vs

V

ww

CkEt

ket

Tttt

HaHH







0.51,2.09,6.55,9.59

0.0886

V

T

t

（7）计算沉降量

4.98,9.95,14.93,17.91

t

s

t

Us

（8）绘图。

/lb/zb

0

1

1

1

\'()

n

ii

ii

i

si

p

szz

E









1.201

1.21.250.64888.3

1.22.20.44311.5