分式方程解法

分式方程解法

-分水岭算法

1

学好分式方程要走四步：

1．方程的知识框架以及分式方程的概念

2．增根

3．会解可化成一元一次方程的分式方程

4．会列分式方程解应用题

1．方程的知识框架以及分式方程的概念

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是“1”的整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程。

一元一次方程

整式方程一元二次方程

方程：几元几次方程

分式方程

2．增根：

在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根。

徐老师曰：不适合就是使分式方程中的分母为零了。

增根的本质：增根是化成的整式方程的根，但却不是分式方程的根。

【例1】

⑴若

2

326

11

1

xx

x









有增根，则这个方程的增根是______________。

⑵m为何值时，分式方程

2

36

1

xm

xx

xx









有增根？

⑶若方程

61

(1)(1)11

m

xxxx





有增根，则它的增根是()

A．0B．1C．-1D．1和-1

3．会解可化成一元一次方程的分式方程

【例2】

⑴

2

56

xx

xx







分式

2

⑵

54251

24362

xx

xx







4．会列分式方程解应用题

【例3】

⑴有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验

田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克。

设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程()

A．

9001500

300xx





B．

9001500

300xx





C．

9001500

300xx





D．

9001500

300xx





⑵炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台

空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台。设乙队

每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是()

A．

6660

2xx





B．

6660

2xx





C．

6660

2xx





D．

6660

2xx





思想方法再次吐血大总结

1．解分式方程的核心思想就是通过去分母把分式方程化成整式方程，通过解这

个整式方程，从而解出分式方程。

2．计算时的易错点在于去分母时的计算以及忘记检验。

3

在线测试题

温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．方程

12

0

12xx





可能产生的增根x值是()

A．1B．2C．-1或2D．1或2

2．方程

31

2422

x

xx





的解为()

A．

7

4

x

B．

5

3

x

C．

5

3

x

D．

7

4

x

3．为了适应经济发展的需要，某地区的铁路提速改造工程全面开工建设，工程

完成后，从甲站至乙站的旅客列车的平均速度将提高到现在的1.5倍，运行

时间缩短1小时20分钟，已知甲站与乙站相距400千米，若设现在的旅客列

车的平均速度是

x

千米/时，则可的方程组为()

A．

40040020

1

1.560xx



B．

40040020

1

360xx



C．

40040020

1

1.560xx



D．

40040020

1

1.560xx



4

期末测试题

一、选择题

1．下列式子是最简二次根式的是()

A．88B．222nm

C．x3.0D．

2

1

2

2．要把分式方程

xx

1

42

3





化为整式方程，方程两边需要同时乘以()

A．

)2(2xx

B．

x

C．

2x

D．

42x

3．化简

1

32

，甲、乙两同学的解法如下：

甲：

23

)23)(23(

23

23

1











，

乙：23

23

)23)(23(

23

23

23

1

















对于甲、乙两同学的解法，正确的判断是()

A．甲、乙的解法都正确

B．甲正确，乙不正确

C．甲、乙都不正确

D．乙正确，甲不正确

4．下列式子中正确的是()

A．3355

B．

6.06.3

C．13)13(2D．

636

5．给出以下命题：

①若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长必为5；

②对角线相互垂直且相等的四边形是正方形；

③正三角形即是轴对称图形，又是中心对称图形；

④有一个角相等的两个等腰三角形相似。

其中是假命题的有：

A．1个B．2个

C．3个D．4个

6．分别顺次连结：①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形各边中点所得

的四边形为菱形的是()

A．①③B．②④

C．①②④D．①②③④

5

7．如下图，点A、B在双曲线

3

y

x



上，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂

线段，若S阴影＝1，则S

1

＋S

2

＝()

A．2B．3

C．4D．5

S

2

S

1

O

B

A

y

x

8．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝9，CD＝6，则BD＝()

A．4.5B．5

C．3D．4

9．下列调查中，适宜采用全面调查(普查)方式的是()

A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命

B．调查长江流域的水污染情况

C．调查重庆市初中学生的视力情况

D．为保证“神舟七号”的成功发射，对其零部件进行检查

10．已经四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形中点得到的四边形是

()

A．梯形B．矩形

C．正方形D．菱形

二、填空题

11．若分式

1

1

x

x





的值为零，则

x

的值为

12．若214mxmx

是关于

x

的一元二次方程，则

m

的取值范围是。

13．计算

)322)(322(

。

14．若

x35

有意义，则x的取值范围是。

15．如果0

432



z

y

x

，那么

zyx

zyx





的值是。

16．梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，且E、G为AB的三等分点，若AD＝

3，GH＝5，则BC＝__________

17．平行四边形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝8，则边AB的取值范围是

________。

6

18．如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙

0.7m，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下，此时梯子

底端应再远离墙多少米______。

19．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在

'C

处，

'BC

交AD于

E，16AD，8AB，则DE的长是。

E

D

C'

C

B

A

20．若菱形的周长为16cm，相邻两角之比为5∶1，则菱形一组对边之间的距离

为cm。

三、解答题

21．计算：

22

12

239

aa

aaaa







22．已知

a

是一元二次方程2210xx的根，求2

2

1

a

a



23．点P在反比例函数

1

y

x



(0x)的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右

平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点P



，求在第一象限内，经过

点P



的反比例函数图象的解析式。

7

24．黄老师退休在家，为选择一个合适的时间参观2010年上海世博会，他查阅

了5月10日至16日(星期一至星期日)每天的参观人数，得到图1、图2所

示的统计图，其中图1是每天参观人数的统计图，图2是5月15日(星期

六)这一天上午、中午、下午和晚上四个时间段参观人数的扇形统计图。请

你根据统计图解答下面的问题：

⑴5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是哪一天？有多少人？参

观人数最少的又是哪一天？有多少人？

⑵5月15日(星期六)这一天，上午的参观人数比下午的参观人数多多少人

(精确到1万人)？

25．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m、8m，现在要将绿

地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充

后等腰三角形绿地的周长。

C

B

A

26．已知：在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外

角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E。

⑴求证：四边形ADCE为矩形；

⑵当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

(图1)

二

三

四

五

六日

一

40

30

20

10

0

星期

人数(万人)

上海世博会5月10日至16日(星期一

至星期日)每天参观人数的统计图

24

34

22

18

16

18

24

晚上8%

上海世博会5月15日（星期六）四

个时间段参观人数的扇形统计图

下午6%

上午74%

(图2)

中午12%

8

答案

一、选择题

1—5：BAAAD6—10：BCDDD

二、填空题

11．-112．0m≥且1m

13．-1014．x≤

3

5

15．916．6

17．1＜AB＜918．0.8

19．1020．2

三、解答题

21．原式



33

1

232

aa

a

aaaa







13

22

a

aa







13

22

a

aa







22

22

aa

aa







22．∵

a

是一元二次方程2210xx的根，∴2210aa，

∵0a，∴

1

2a

a



，212aa。

∴

2

2

2

11

26aa

aa









。

23．由2

p

x，可得P点坐标为

1

2

2







，，平移后的'P点坐标为

3

4

2







，，

设过'P的反比例函数解析式为

k

y

x



，由'P

3

4

2







，可得6k，

∴解析式为

6

0yx

x



24．⑴周六，34；周一，16；⑵23

25．在RtABC中，90ACB，8AC，6BC，由勾股定理有：10AB，

扩充部分为RtACD扩充成等腰ABD应分以下三种情况：①如图1，当

10ABAD时，可求6CDCB，得ABD的周长为32m．②如图2，

当10ABBD时，可求4CD，由勾股定理得：45AD，得ABD的

周长为2045m，③如图3，当AB为底时，设ADBDx，则

6CDx，由勾股定理得：

25

3

x

，得ABD的周长为

80

m

3

。

9

图3

图2

图1

C

C

C

D

B

D

BD

B

A

A

A

26．⑴证明：在ABC中，ABAC，ADBC

∴BADDAC

∵AN是ABC外角CAM的平分线

∴MAECAE

∴

1

18090

2

DAEDACCAE

又∵ADBC，CEAN

∴90ADCCEA

∴四边形ADCE为矩形．

⑵例如，当

1

2

ADBC

时，四边形ADCE是正方形

证明：∵ABAC，ADBC于D

∴

1

2

DCBC

又

1

2

ADBC

，DCAD

由⑴四边形ADCE为矩形

∴矩形ADCE是正方形。