球体表面积
-Hi3516
2023年2月15日发(作者：青岛潮汐表)第
12
讲球体的体积和表面积（核心考点讲与练）
球S＝4πR2V＝
4
3
πR3
1.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球
的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径
.
2.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各
侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径
.
题型一：球的体积的有关计算
一、单选题
1
．（
2021·
上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）已知棱长为
1
的正四面体的四个顶点都在一个球面上，
则这个球的体积为（）
A
．
6
π
8
B
．
6
π
4
C
．
3
π
8
D
．
3
π
4
2
．（
2021·
上海
·
闵行中学高二期中）在三棱锥PABC中，已知PA平面
ABC
，
ABAC
，
1AB
，
5AC
，
10PA
，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）．
A
．24πB
．
36π
C
．
72πD
．
144π
二、填空题
3
．（
2021·
上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）一个圆锥形的空杯子上面放一个球形的冰激凌，圆锥
底的直径与球的直径均为
10
，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，正好装满杯子不会溢出，则杯子高度为
___________.
4
．（
2021·
上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）已知球的半径为
3
，则该球的体积为
_________.
5
．（
2021·
上海
·
格致中学高二期中）棱长为
2
的正方体的外接球的表面积为
______
．
6
．（
2021·
上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为
4.5cm
的
半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高
h_____________cm.
能力拓展
方法技巧
考点考向
7
．（
2021·
上海市徐汇中学高二期中）已知球的体积为
36，则该球的半径为
___________.
8
．（
2021·
上海市行知中学高二期中）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径
为
6cm
，深为
1cm
的空穴，则该球的体积是
___cm3．
9
．（
2021·
上海
·
华东师大附属枫泾中学高二期中）半径为1cm的球的体积是
___________3cm
.
10
．（
2021·
上海
·
高二专题练习）两个半径为
1
的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是
________
．
11
．（
2021·
上海市延安中学高二期中）若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比
为
________
．
12
．（
2021·
上海青浦
·
高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中
“
开立圆术
”
日
“
置积尺数，以十六乘之，
九而一，所得开立方除之，即立圆径
.”
意思是
∶
球的体积
V
乘以
16
，除以
9
，再开立方，即为球的直径
d
，
由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为
___________.
13
．（
2021·
上海市市西中学高二期中）一个底面半径为
2cm
的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径
为
2cm
的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了
___________
cm
.
题型二：球的表面积有关计算
一、单选题
1
．（
2021·
上海交大附中高二期中）设
1
z
、
2
zC
，22
1122
240zzzz
，
2
2z
，那么以
1
z
为直径
．．
的球的表
面积为（）
A
．4B
．
16C
．
32
3
D
．
64π
二、填空题
2
．（
2021·
上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，已知正方体
1111
ABCDABCD
的棱长为
2
，长
为
2
的线段
MN
的一个端点
M
在棱
DD
1上运动，点
N
在正方体的底面
ABCD
内运动，则
MN
的中点
P
的轨
迹与正方体从顶点
D
出发的三个面所围成的几何体的表面积是
________.
3
．（
2021·
上海
·
复旦附中高二期中）已知球
1
O
和球
2
O
的体积之比为
8∶27
，那么球
1
O
和球
2
O
的表面积的比
值为
_________
．
4
．（
2021·
上海
·
华东师范大学第三附属中学高二期中）如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半
球的底面圆内，若正方体的边长为
2
，则半球的表面积为
____________.
5
．（
2021·
上海
·
闵行中学高二期中）表面积为24cm
的球的体积是
__________3cm
．
6
．（
2021·
上海市市西中学高二期中）一个与球心距离为1的平面，截球所得的圆面积为4，则这个球的表
面积是
____________.
7
．（
2021·
上海
·
闵行中学高二期末）已知球的表面积为12，则它的体积为
__________.
8
．（
2021·
上海
·
曹杨二中高二期末）在三棱锥
ABCD
中，
AB
、
AC
、
AD
两两垂直且长度均为
6
，定长为
4ll
的线段
MN
的一个端点
M
在棱
AB
上运动，另一个端点
N
在
△ACD
内运动（含边界），若线段
MN
的
中点P的轨迹的面积为
2
，则
l
的值为
______
．
9
．（
2021·
上海
·
高二期中）表面积为4的球的体积为
__________.
一、单选题
1
．（
2019·
上海闵行
·
高二期末）若一个直三棱柱的所有棱长都为
1
，且其顶点都在一个球面上，则该球的表
面积为（）．
A
．
π
B
．
7π
3
C
．
11π
3
D
．
5π
2
．（
2021·
上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高
8cm
，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为
6cm
，如果不计容器的厚
巩固提升
度，则球的体积为
A
．3
500
cm
3
B
．3
866
cm
3
C
．3
1372
cm
3
D
．3
2048
cm
3
3
．（
2021·
上海师范大学第二附属中学高二期中）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学
家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个
“
圆柱容球
”
的几何图形，即圆柱容器里放
了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的
2
3
，并且球的表面积也是圆柱表面
积的
2
3
，若圆柱的表面积是
6π
现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）
A
．
2
B
．
2
3
C
．
πD
．
4
3
二、填空题
4
．（
2021·
上海
·
位育中学高二期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为
________.
5
．（
2021·
上海
·
高二专题练习）有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是
5
厘米，高是
10
厘米，容器内放着
49
个半径为
1
厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为
________
厘米
6
．（
2021·
上海
·
高二专题练习）半径为
3
2
的球的表面积为
__________.
7
．（
2019·
上海市奉贤中学高二期中）已知圆锥底面半径与球的半径都是
lcm
，如果圆锥的体积与球的体积
恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是
_________2cm
.8
．（
2022·
上海浦东新
·
高二期末）已知球
O
的半径为
1
，
则球
O
的表面积为
______.9
．（
2020·
上海师范大学第二附属中学高二期中）关于旋转体的体积，有如下的古
尔丁（
guldin
）定理：
“
平面上一区域
D
绕区域外一直线（区域
D
的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转
一周所得的旋转体的体积，等于
D
的面积与
D
的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积
”
．利用这一
定理，可求得半圆盘
221
0
xy
x
，绕直线
x
2
3
旋转一周所形成的空间图形的体积为
_____
．
10
．（
2019·
上海市延安中学高二期中）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国
古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等
长的正四棱柱分成三组，经
90
榫卯起来
.
若正四棱柱的高为
5
，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进
一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为
__________.
（容器壁的厚度忽略不计，结果保留
）
11
．（
2021·
上海市亭林中学高二期中）如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一
个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h_______
cm
．
12
．（
2021·
上海市松江二中高二阶段练习）如图所示，半径
2R
的球
O
中有一内接
圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于
___________.
13
．（
2021·
上海
·
高二专题练习）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若
球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为
_________.
三、解答题
14
．（
2018·
上海
·
曹杨二中高二期末）如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆
锥形，现把半径为
10cm
的圆形蛋皮等分成
5
个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）．
（
1
）求这种蛋筒的表面积；
（
2
）若要制作
500
个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精确到
0.1L
）
15
．（
2021·
上海
·
高二专题练习）高二
A
班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提
供单球冰激凌的销售服务
.
已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要
1300
元，此桶装冰激凌桶内底面直径为
25
厘
米，冰激凌净高
20
厘米
.
单球冰激凌的平均直径约为
5
厘米，一副一次性杯勺的成本约
1
元
(
其他成本忽略
不计
).
根据前期调查，冰激凌球能全部售完
.
高二
A
班打算将每个单球冰激凌定价为
15
元，你认为这样的定
价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由
.