两条直线的位置关系

两条直线的位置关系

-铁路通信信号

高中数学必修二：两条直线的位

置关系(总29页)

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22

高中数学必修二

第二节:两条直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组







A1x＋B1y＋C1＝0，

A2x＋B2y＋C2＝0

的解．

3．三种距离公式

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离

|P1P2|＝

x2－x1

2＋y2－y1

2

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距

离

d＝

|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0

间距离

d＝

|C1－C2|

A2＋B2

33

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()

(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为

|kx0＋b|

1＋k2

.()

(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×

2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()

A．－3B．－

4

3

C．2D．3

解析：选D直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－

a

2

，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝

2

3

，因为两直线垂直，所以－

a

2

×

2

3

＝－1，即a＝3.

3．(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为

()

B．2－2

－1＋1

解析：选C由题意知

|a－2＋3|

2

＝1，∴|a＋1|＝2，又a>0，∴a＝2－1.

4．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．

44

解析：由





2x－y＝－10，

y＝x＋1

得







x＝－9，

y＝－8.

即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)．

又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，

所以－8＝－9a－2，解得a＝

2

3

.

答案：

2

3

5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是

________．

解析：∵

6

3

＝

m

4

≠

14

－3

，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行

线之间的距离d＝

|－3－7|

32＋42

＝2.

答案：2

考点一两条直线的位置关系基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

两条不同直线的位置关系有平行、相交垂直是其中一种特殊情况两种情况，要求

能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方

程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式命题，难度较易，属于基础题.

1．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny

＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()

A．－10B．－2

55

C．0D．8

解析：选A∵l1∥l2，∴

4－m

m＋2

＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重

合)，∵l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.

2．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的

直线l2互相垂直，则实数a的值为________．

解析：l1的斜率k1＝

3a－0

1－－2

＝a.

当a≠0时，l2的斜率k2＝

－2a－－1

a－0

＝

1－2a

a

.

因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·

1－2a

a

＝－1，解得a＝1.

当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x

轴，显然l1⊥l2.

综上可知，实数a的值为1或0.

答案：1或0

3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使

(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；

(2)l1∥l2；

(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

解：(1)由题意得







m2－8＋n＝0，

2m－m－1＝0，

解得







m＝1，

n＝7.

即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．

66

(2)∵l1∥l2，∴







m2－16＝0，

－m－2n≠0，

解得







m＝4，

n≠－2

或







m＝－4，

n≠2.

即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.

(3)当且仅当2m＋8m＝0，

即m＝0时，l1⊥l2.

又－

n

8

＝－1，∴n＝8.

即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

[怎样快解·准解]

1．解题要“前思后想”

解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”

2．方法要“因题而定”

(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法

①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；

②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.

(2)由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A2

1＋B2

1≠0)

77

l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2

2＋B2

2≠0)

l1与l2垂直的充要条

件

A1A2＋B1B2＝0

l1与l2平行的充分条

件

A1

A2

＝

B1

B2

≠

C1

C2

(A2B2C2≠0)

l1与l2相交的充分条

件

A1

A2

≠

B1

B2

(A2B2≠0)

l1与l2重合的充分条

件

A1

A2

＝

B1

B2

＝

C1

C2

(A2B2C2≠0)

[注意]在判断两直线位置关系时，比例式

A1

A2

与

B1

B2

，

C1

C2

的关系容易记住，在解答选

择、填空题时，建议多用比例式来解答．

考点二距离问题重点保分型考点——师生共研

距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离，多以选择题

或填空题的形式考查，难度偏小，属于基础题.

[典题领悟]

1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小

值为()

解析：选C因为

3

6

＝

4

8

≠

－12

5

，所以两直线平行，

将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，

88

即

|－24－5|

62＋82

＝

29

10

，所以|PQ|的最小值为

29

10

.

2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点

P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．

解析：设点P的坐标为(a，b)．

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．

而AB的斜率kAB＝

－3＋1

4－2

＝－1，

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

∴a－b－5＝0.①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴

|4a＋3b－2|

42＋32

＝2，即4a＋3b－2＝±10，②

由①②联立解得







a＝1，

b＝－4

或









a＝

27

7

，

b＝－

8

7

.

∴所求点P的坐标为(1，－4)或











27

7

，－

8

7

.

答案：(1，－4)或











27

7

，－

8

7

[解题师说]

99

距离问题的常见题型及解题策略

(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角

形的形状等．

(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线

的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．

(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形

式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．

[冲关演练]

1．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()

B．1

D．2

解析：选C因为点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，所以当点P处的切线和直线y

＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线

y＝x2－lnx的导数y′＝2x－

1

x

，令y′＝1，可得x＝1或x＝－

1

2

(舍去)，所以在曲线y＝x2

－lnx上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线y＝x－2的

最小距离为2，故选C.

2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点

M到原点的距离的最小值为()

A．32B．22

C．33D．42

解析：选A依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5

＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所

在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得

|m＋7|

2

＝

|m＋5|

2

⇒|m＋7|＝

1010

|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最

小值为

|－6|

2

＝32.

考点三对称问题题点多变型考点——追根溯源

对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题，中心对称就是点(线)关于点的对称，

轴对称就是点(线)关于线的对称，此类问题多以选择题或填空题的形式考查，难度适中．

常见的命题角度有：

(1)点关于点的对称；(2)点关于线的对称；

(3)线关于点的对称；(4)线关于线的对称．

[题点全练]

角度(一)点关于点的对称

1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段

被点P平分，则直线l的方程为________________．

解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程

得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.

答案：x＋4y－4＝0

[题型技法]若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得







x＝2a－x1，

y＝2b－y1，

进而求解．

角度(二)点关于线的对称

1111

2.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于

A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若

光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()

A．2B．1

解析：选D以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建

立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则

直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0

得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关

于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在

直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝

4－t

4＋t

·(x＋

t)，设△ABC的重心为G，易知G











4

3

，

4

3

.因为重心G











4

3

，

4

3

在光线RQ上，所以有

4

3

＝

4－t

4＋t











4

3

＋t

，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝

4

3

，因为0

4

3

，即|AP|＝

4

3

，故选D.

[题型技法]若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程

组









A













x1＋x2

2

＋B













y1＋y2

2

＋C＝0，

y2－y1

x2－x1

·













－

A

B

＝－1，

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中

B≠0，x1≠x2)．

角度(三)线关于点的对称

3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的

方程为________________．

解析：在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－

5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为

y＋11

－5＋11

＝

x＋12

－3＋12

，即2x－3y－9＝0.

答案：2x－3y－9＝0

1212

[题型技法]线关于点的对称的求解方法

(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再

由两点式求出直线方程；

(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

角度(四)线关于线的对称

4．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________．

解析：法一：联立





2x－y＋3＝0，

x－y＋2＝0，

得







x＝－1，

y＝1.

在直线2x－y＋3＝0上取一点(0,3)，

设其关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)，

则









a

2

－

b＋3

2

＋2＝0，

b－3

a－0

＝－1，

解得







a＝1，

b＝2.

故所求直线方程经过点(－1,1)，(1,2)，

所以该直线方程为

y－1

2－1

＝

x＋1

1＋1

，即x－2y＋3＝0.

法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，

则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，

由











x＋x0

2

－

y＋y0

2

＋2＝0，

x－x0＝－y－y0，

得







x0＝y－2，

y0＝x＋2，

由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，

1313

即x－2y＋3＝0.

答案：x－2y＋3＝0

[题型技法]线关于线的对称的求解方法

(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜

式求解．

(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称

点，最后由两点式求解．

[题“根”探求]

1．“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其

对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．

2．“线关于线的对称”其实质就是“点关于线的对称”，只要在直线上取两个点，求出其

对称点的坐标即可，可统称为“轴对称”．

3．解决对称问题的2个关键点

(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；

(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．

[冲关演练]

1．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，

若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()

A．(－2,4)B．(－2，－4)

C．(2,4)D．(2，－4)

解析：选C设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则

1414









y－2

x＋4

×2＝－1，

y＋2

2

＝2×

－4＋x

2

，

解得







x＝4，

y＝－2，

∴BC所在直线方程为y－1＝

－2－1

4－3

(x－3)，即

3x＋y－10＝0.联立





3x＋y－10＝0，

y＝2x，

解得







x＝2，

y＝4，

则C(2,4)．

2．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点

N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在

直线过点M′，

所以









b－4

a－－3

·1＝－1，

－3＋a

2

－

b＋4

2

＋3＝0，

解得a＝1，b＝0.即M′(1,0)．

又反射光线经过点N(2,6)，

所以所求直线的方程为

y－0

6－0

＝

x－1

2－1

，

即6x－y－6＝0.

答案：6x－y－6＝0

3．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为

x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________．

解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方

程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关

于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为

y－4

1－4

＝

x－3

6－3

，即x＋y－7

＝0.

答案：x＋y－7＝0

1515

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是()

A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0

解析：选C因为直线x－2y－2＝0的斜率为

1

2

，

所以所求直线的斜率k＝－2.

所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，

即2x＋y－2＝0.

2．(2018·北京顺义区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点

位于第四象限，则实数k的取值范围是()

A．(－6，－2)B．(－5，－3)

C．(－∞，－6)D．(－2，＋∞)

解析：选A解方程组







y＝－2x＋3k＋14，

x－4y＝－3k－2，

得







x＝k＋6，

y＝k＋2，

因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6

＞0且k＋2＜0，所以－6＜k＜－2.

3．已知直线l的倾斜角为

3π

4

，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平

行，则实数a的值为()

A．0B．1

C．6D．0或6

解析：选C由直线l的倾斜角为

3π

4

得l的斜率为－1，

1616

因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.

又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，

所以l1的斜率为

3

3－a

，故

3

3－a

＝－1，解得a＝6.

4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的

坐标为()

A．(1,2)B．(2,1)

C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)

解析：选C设P(x,5－3x)，则d＝

|x－5＋3x－1|

12＋－12

＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－

6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．

5．(2018·西安一中检测)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过

定点()

A．(0,4)B．(0,2)

C．(－2,4)D．(4，－2)

解析：选B由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对

称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.

6．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线

l的距离d的最大值为()

A．23

D．215

解析：选B由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋

λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点

的直线系方程．解方程组







x＋y－2＝0，

3x＋2y－5＝0，

可知两直线的交点为

Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝10，即d的最大值

1717

为10.

7．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．

解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x－2y＋1

＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得

y－0

1－0

＝

x－3

1－3

，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

8．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．

解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－

3

2

＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的

直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝













c＋

3

2

，解得c＝－

15

4

，所以l的方程为12x＋

8y－15＝0.

答案：12x＋8y－15＝0

9．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为

________．

解析：由题意及点到直线的距离公式得

|－3a－4＋1|

a2＋1

＝

|6a＋3＋1|

a2＋1

，解得a＝－

1

3

或－

7

9

.

答案：－

1

3

或－

7

9

10．(2018·湘中名校联考)已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直

线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________________．

解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所

以kAB＝

－1－1

0－1

＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－

1

2

，所以直线l1的方程是y－1＝－

1

2

(x

－1)，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

1818

B级——中档题目练通抓牢

1．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l

共有()

A．1条B．2条

C．3条D．4条

解析：选C当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两

条．又|AB|＝3－12＋1－22＝5，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和

为2＋5－2＝5，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直

线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.

2．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移

动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()

B．52

D．152

解析：选B由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y

－10＝0的距离为d＝

|－10|

2

＝52，即P到原点距离的最小值为52.

3．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段

的中点为P













0，

10

a

，则线段AB的长为()

A．11B．10

C．9D．8

1919

解析：选B依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故









x－2y

2

＝0，

2x＋y

2

＝5，

解

得







x＝4，

y＝2，

所以A(4,8)，B(－4,2)，故|AB|＝4＋42＋8－22＝10.

4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，

并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________________．

解析：法一：由方程组





2x＋3y＋1＝0，

x－3y＋4＝0，

解得









x＝－

5

3

，

y＝

7

9

，

即交点为













－

5

3

，

7

9

，

∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，

∴所求直线的斜率为k＝

4

3

.

由点斜式得所求直线方程为y－

7

9

＝

4

3











x＋

5

3

，

即4x－3y＋9＝0.

法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，

由方程组





2x＋3y＋1＝0，

x－3y＋4＝0，

可解得交点为













－

5

3

，

7

9

，

代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，

故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.

法三：由题意可设所求直线的方程为

2020

(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，

即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①

又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，

所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，

所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.

答案：4x－3y＋9＝0

5．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线

l的距离为2，则直线l的方程为________________．

解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得

|k－3|

1＋k2

＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；

当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得

|4－a|

2

＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0

6．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，

b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)由已知可得l2的斜率存在，

∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝

4

3

(矛盾)，

2121

∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．

∵k2＝1－a，k1＝

a

b

，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，

即

a

b

(1－a)＝－1.①

又∵l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即

a

b

＝1－a.③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即

4

b

＝b.④

联立③④，解得







a＝2，

b＝－2

或











a＝

2

3

，

b＝2.

∴a＝2，b＝－2或a＝

2

3

，b＝2.

7．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC

边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

解：依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，

∴lAC的方程为2x＋y－11＝0，

联立





2x＋y－11＝0，

2x－y－5＝0，

得C(4,3)．

设B(x0，y0)，则AB的中点M













x0＋5

2

，

y0＋1

2

，

2222

代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，

联立





2x0－y0－1＝0，

x0－2y0－5＝0，

得B(－1，－3)，∴kBC＝

6

5

，

∴直线BC的方程为y－3＝

6

5

(x－4)，即6x－5y－9＝0.

C级——重难题目自主选做

1．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋

C)＝0表示()

A．过点P且与l垂直的直线

B．过点P且与l平行的直线

C．不过点P且与l垂直的直线

D．不过点P且与l平行的直线

解析：选D因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，

设Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.

若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，

则Ax＋By＋C＋k＝0.

因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，

但在y轴上的截距不相等，

故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．

因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，

所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，

所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P.

2323

2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c

＝0的两个实根，且0≤c≤

1

8

，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

4

解析：选A由题意a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.

又直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0的距离d＝

|a－b|

2

，所以d2＝











|a－b|

2

2＝

a＋b2－4ab

2

＝

－12－4c

2

＝

1

2

－2c，而0≤c≤

1

8

，所以

1

2

－2×

1

8

≤

1

2

－2c≤

1

2

－2×0，得

1

4

≤

1

2

－2c≤

1

2

，所以

1

2

≤d≤

2

2

，故选A.

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立

的()

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

解析：选A直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直的充要条件是6a＋12＝

0，即a＝－2，故选A.

2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为

()

B．42

D．22

2424

解析：选C∵l1∥l2，∴

1

a－2

＝

a

3

≠

6

2a

，解得a＝－1，

∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋

2

3

＝0，

∴l1与l2的距离d＝













6－

2

3

2

＝

82

3

.

3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线

l的方程为()

A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0

解析：选A因为直线AB的斜率为

a＋1－a

a－1－a

＝－1，所以直线l的斜率为1，设直线l

的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点











2a－1

2

，

2a＋1

2

，所以

2a＋1

2

＝

2a－1

2

＋b，解得b

＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.

4．已知定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是

()

解析：选A因为定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短

时，直线AB和直线x－y＝0垂直，设直线AB的方程为x＋y＋m＝0，将A点代入，解得

m＝－1，所以直线AB的方程为x＋y－1＝0，它与x－y＝0联立解得x＝

1

2

，y＝

1

2

，所以

点B的坐标是











1

2

，

1

2

.

5．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线

l的距离d的最大值为()

A．23

2525

D．215

解析：选B由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋

λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点

的直线系方程．解方程组







x＋y－2＝0，

3x＋2y－5＝0，

可知两直线的交点为

Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝10，即d的最大值

为10.

6．若m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0

上，那么

1

m

＋

4

n

的最小值等于________．

解析：设点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(a，b)，则









b－n

a＋m

＝1，

a－m

2

＋

b＋n

2

－1＝0，

解得







a＝1－n，

b＝1＋m.

则(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n，1＋m)，则1－n－(1＋m)＋2＝

0，即m＋n＝2.于是

1

m

＋

4

n

＝

1

2

(m＋n)











1

m

＋

4

n

＝

1

2

×













5＋

n

m

＋

4m

n

≥

1

2

×(5＋2×2)＝

9

2

，当且仅

当m＝

2

3

，n＝

4

3

时等号成立．

答案：

9

2

7．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为

________．

解析：因为kAB＝

5－1

1－4

＝－

4

3

，kDC＝

2－－2

－3－0

＝－

4

3

.

kAD＝

－2－1

0－4

＝

3

4

，kBC＝

2－5

－3－1

＝

3

4

.

则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．

2626

又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，

故四边形ABCD为矩形．

故S＝|AB|·|AD|＝

1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.

答案：25

8.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束

光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落

到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．

解析：从特殊位置考虑．如图所示，

∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，

∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为

E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为

E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．

答案：(4，＋∞)

9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边

所在直线的方程．

解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离

d＝

|－1－5|

1＋9

＝

310

5

.

设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是

x＋3y＋m＝0(m≠－5)，

则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

d＝

|－1＋m|

1＋9

＝

310

5

，

2727

解得m＝－5(舍去)或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是

x＋3y＋7＝0.

设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是

3x－y＋n＝0，

则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

d＝

|－3＋n|

9＋1

＝

310

5

，解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.

10．已知点P(2，－1)．

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；

(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说

明理由．

解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，

－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得

|－2k－1|

k2＋1

＝2，解得k＝

3

4

.

2828

此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO

垂直的直线，如图．

由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，

因为kOP＝－

1

2

，

所以kl＝－

1

kOP

＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0.

所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为

|－5|

5

＝

5.

(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原

点的距离为6的直线．

B级——拔高题目稳做准做

1．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋

C)＝0表示()

A．过点P且与l垂直的直线

B．过点P且与l平行的直线

C．不过点P且与l垂直的直线

2929

D．不过点P且与l平行的直线

解析：选D因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，

设Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.

若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，

则Ax＋By＋C＋k＝0.

因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，

但在y轴上的截距不相等，

故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．

因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，

所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，

所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P.

2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与

bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()

A．平行B．重合

C．垂直D．相交但不垂直

解析：选C由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－

sinA

a

，bx－sinB·y＋

sinC＝0的斜率k2＝

b

sinB

，故k1k2＝－

sinA

a

·

b

sinB

＝－1，则直线sinA·x＋ay－c＝0与直

线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C.

3．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c

＝0的两个实根，且0≤c≤

1

8

，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()

，

1

2

，

2

2

3030

，

1

2

，

1

4

解析：选A由题意a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.

又直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0的距离d＝

|a－b|

2

，所以d2＝











|a－b|

2

2＝

a＋b2－4ab

2

＝

－12－4c

2

＝

1

2

－2c，而0≤c≤

1

8

，所以

1

2

－2×

1

8

≤

1

2

－2c≤

1

2

－2×0，得

1

4

≤

1

2

－2c≤

1

2

，所以

1

2

≤d≤

2

2

，故选A.

4．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线

l的距离为2，则直线l的方程为________________．

解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得

|k－3|

1＋k2

＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；

当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得

|4－a|

2

＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0

5．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，

b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)由已知可得l2的斜率存在，

∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.

3131

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝

4

3

(矛盾)，

∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．

∵k2＝1－a，k1＝

a

b

，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，

即

a

b

(1－a)＝－1.①

又∵l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即

a

b

＝1－a.③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即

4

b

＝b.④

联立③④，解得







a＝2，

b＝－2

或











a＝

2

3

，

b＝2.

∴a＝2，b＝－2或a＝

2

3

，b＝2.

6．一条光线经过点P(2,3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求：

(1)入射光线所在直线的方程；

(2)这条光线从P到Q所经路线的长度．

解：(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，QQ′交l于M点，∵kl＝－1，∴

kQQ′＝1，

3232

∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.

由







x＋y＋1＝0，

x－y＝0，

解得









x＝－

1

2

，

y＝－

1

2

，

∴交点M













－

1

2

，－

1

2

，∴









1＋x′

2

＝－

1

2

，

1＋y′

2

＝－

1

2

，

解得







x′＝－2，

y′＝－2，

∴Q′(－2，－2)．

设入射光线与l交于点N，

则P，N，Q′三点共线，

又P(2,3)，Q′(－2，－2)，

故入射光线所在直线的方程为

y－－2

3－－2

＝

x－－2

2－－2

，

即5x－4y＋2＝0.

(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|

＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，

即这条光线从P到Q所经路线的长度为41.