导数运算

导数运算

-modflow

2023年2月15日发(作者：浅灰色rgb)

精品文档

§3.1导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x

1

到x

2

的平均变化率

函数y＝f(x)从x

1

到x

2

的平均变化率为

fx

2

－fx

1



x

2

－x

1

，若Δx＝x

2

－x

1

，Δy＝f(x

2

)－f(x

1

)，则平

均变化率可表示为

Δy

Δx

.

2．函数y＝f(x)在x＝x

0

处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x

0

处的瞬时变化率lim

Δx→0

Δy

Δx

＝lim

Δx→0

fx

0

＋Δx－fx

0



Δx

为函数y＝f(x)在x

＝x

0

处的导数，记作f′(x

0

)或y′|x＝x

0

，即f′(x

0

)＝lim

Δx→0

Δy

Δx

＝lim

Δx→0

fx

0

＋Δx－fx

0



Δx

.

(2)几何意义

函数f(x)在点x

0

处的导数f′(x

0

)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x

0

，f(x

0

))处的切线的斜

率．相应地，切线方程为y－f(x

0

)＝f′(x

0

)(x－x

0

)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝lim

Δx→0

fx＋Δx－fx

Δx

为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

精品文档

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinxf′(x)＝cos_x

f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axln_a

f(x)＝exf′(x)＝ex

f(x)＝log

a

x(a>0，

且a≠1)

f′(x)＝

1

xlna

f(x)＝lnx

f′(x)＝

1

x

5．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)







fx

gx

′＝

f′xgx－fxg′x

[gx]2

(g(x)≠0)．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x

0

)与(f(x

0

))′表示的意义相同．(×)

(2)求f′(x

0

)时，可先求f(x

0

)再求f′(x

0

)．(×)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)

(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)

(6)函数f(x)＝x2lnx的导函数为f′(x)＝2x·

1

x

＝2.(×)

2．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.

答案2

解析设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，

∴f(t)＝lnt＋t

∴f′(t)＝

1

t

＋1，

∴f′(1)＝2.

3．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()

精品文档

A．－1B．±1C．1D．±3

答案B

解析由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a

＝3a2.

又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·(－

1

3

)＝－1，

∴即a2＝1，a＝±1，故选B.

4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是

()

答案D

解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，

说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.

又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0

处相交，

说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0

处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

5．已知点P在曲线y＝

4

ex＋1

上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是

________．

答案[

3

4

π，π)

解析∵y＝

4

ex＋1

，∴y′＝

－4ex

ex＋12

＝

－4ex

e2

x＋2ex＋1

＝

－4

ex＋

1

ex

＋2

.

∵ex>0，∴ex＋

1

ex

≥2，

∴y′∈[－1,0)，∴tanα∈[－1,0)．

又α∈[0，π)，∴α∈[

3π

4

，π)．

精品文档

题型一利用定义求函数的导数

例1利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x

0

处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x

0

处的切

线与曲线f(x)＝x3的交点．

思维启迪掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．

解f′(x

0

)＝lim

x→x

0

fx－fx

0



x－x

0

＝lim

x→x

0

x3－x3

0

x－x

0

＝lim

x→x

0

(x2＋xx0

＋x2

0

)＝3x2

0

.

曲线f(x)＝x3在x＝x0

处的切线方程为

y－x3

0

＝3x2

0

·(x－x

0

)，

即y＝3x2

0

x－2x3

0

，由









y＝x3，

y＝3x2

0

x－2x3

0

，

得(x－x0

)2(x＋2x

0

)＝0，解得x＝x

0

，x＝－2x

0

.

若x0

≠0，则交点坐标为(x

0

，x3

0

)，(－2x

0

，－8x3

0

)；若x

0

＝0，则交点坐标为(0,0)．

思维升华求函数f(x)的导数步骤：

(1)求函数值的增量Δy＝f(x

2

)－f(x

1

)；

(2)计算平均变化率

Δy

Δx

＝

fx

2

－fx

1



x

2

－x

1

；

(3)计算导数f′(x)＝lim

Δx→0

Δy

Δx

.

(1)函数y＝x＋

1

x

在[x，x＋Δx]上的平均变化率

Δy

Δx

＝________；该函数在x＝1

处的导数是________．

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x

0

∈(a，b)，则lim

h→0

fx

0

＋h－fx

0

－h

h

的值为

()

A．f′(x

0

)B．2f′(x

0

)

C．－2f′(x

0

)D．0

答案(1)1－

1

xx＋Δx

0(2)B

精品文档

解析(1)∵Δy＝(x＋Δx)＋

1

x＋Δx

－x－

1

x

＝Δx＋

1

x＋Δx

－

1

x

＝Δx＋

－Δx

xx＋Δx

.

∴

Δy

Δx

＝1－

1

xx＋Δx

.y′|

x＝1

＝lim

Δx→0

Δy

Δx

＝0.

(2)lim

h→0

fx

0

＋h－fx

0

－h

h

＝2×lim

h→0

fx

0

＋h－fx

0

－h

2h

＝2f′(x0

)．

题型二导数的运算

例2求下列函数的导数：

(1)y＝ex·lnx；

(2)y＝x









x2＋

1

x

＋

1

x3

；

思维启迪求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．

解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·

1

x

＝ex(lnx＋

1

x

)．

(2)∵y＝x3＋1＋

1

x2

，∴y′＝3x2－

2

x3

.

思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，

这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函

数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；

求下列函数的导数．

(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(2)y＝sin

x

2

(1－2cos2

x

4

)；

解(1)方法一∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)

＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝3x2＋12x＋11.

精品文档

方法二y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′

＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝3x2＋12x＋11.

(2)∵y＝sin

x

2

(－cos

x

2

)＝－

1

2

sinx，

∴y′＝(－

1

2

sinx)′＝－

1

2

(sinx)′＝－

1

2

cosx.

题型三导数的几何意义

例3已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．

解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，

又f(2)＝－2，

∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，

即x－y－4＝0.

(2)设切点坐标为(x

0

，x3

0

－4x2

0

＋5x

0

－4)，

∵f′(x

0

)＝3x2

0

－8x

0

＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x2

0

－8x

0

＋5)(x－2)，

又切线过点(x0

，x3

0

－4x2

0

＋5x

0

－4)，

∴x3

0

－4x2

0

＋5x

0

－2＝(3x2

0

－8x

0

＋5)(x

0

－2)，

整理得(x0

－2)2(x

0

－1)＝0，解得x

0

＝2或x

0

＝1，

∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.

思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：

(1)当曲线y＝f(x)在点(x

0

，f(x

0

))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切

线方程是x＝x0

；

精品文档

(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x

0

，f(x

0

))处的

切线方程是y－f(x0

)＝f′(x

0

)(x－x

0

)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据

已知点在切线上求解．

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3

相切，求实数a、b、c的值．

解∵y′＝2ax＋b，

∴抛物线在点Q(2，－1)处的切线斜率为

k＝y′|

x＝2

＝4a＋b.

∴4a＋b＝1.①

又∵点P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②

4a＋2b＋c＝－1.③

联立①②③解方程组，得









a＝3，

b＝－11，

c＝9.

∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.

一审条件挖隐含

典例：(12分)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C

1

，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C

2

，已知过

C

1

与C

2

的一个交点的两切线互相垂直．

(1)求a，b之间的关系；

(2)求ab的最大值．

审题路线图

C

1

与C

2

有交点

↓(可设C

1

与C

2

的交点为(x

0

，y

0

))

过交点的两切线互相垂直

↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)

两切线的斜率互为负倒数

精品文档

↓导数的几何意义

利用导数求两切线的斜率：

k

1

＝2x

0

－2，k

2

＝－2x

0

＋a

↓等价转换

(2x

0

－2)(－2x

0

＋a)＝－1①

↓(交点(x

0

，y

0

)适合解析式)









y

0

＝x2

0

－2x

0

＋2

y

0

＝－x2

0

＋ax

0

＋b

，即2x2

0

－(a＋2)x

0

＋2－b＝0②

↓注意隐含条件方程①②同解

a＋b＝

5

2

↓消元

ab＝a









5

2

－a

＝－









a－

5

4

2＋

25

16

当a＝

5

4

时，ab最大且最大值为

25

16

.

规范解答

解(1)对于C

1

：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，[1分]

对于C2

：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，[2分]

设C1

与C

2

的一个交点为(x

0

，y

0

)，

由题意知过交点(x0

，y

0

)的两切线互相垂直．

∴(2x

0

－2)(－2x

0

＋a)＝－1，

即4x2

0

－2(a＋2)x

0

＋2a－1＝0①

又点(x0

，y

0

)在C

1

与C

2

上，

故有









y

0

＝x2

0

－2x

0

＋2

y

0

＝－x2

0

＋ax

0

＋b

⇒2x2

0

－(a＋2)x

0

＋2－b＝0②

由①②消去x0

，可得a＋b＝

5

2

.[6分]

(2)由(1)知：b＝

5

2

－a，

精品文档

∴ab＝a









5

2

－a

＝－









a－

5

4

2＋

25

16

.[9分]

∴当a＝

5

4

时，(ab)

最大值

＝

25

16

.[12分]

温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切

入点是两条曲线有交点P(x

0

，y

0

)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到

审题的思维过程.

方法与技巧

1．f′(x

0

)代表函数f(x)在x＝x

0

处的导数值；(f(x

0

))′是函数值f(x

0

)的导数，而函数值f(x

0

)

是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0

))′＝0.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的

应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换

的等价性，避免不必要的运算失误．

失误与防范

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者

包括了前者．

3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A组专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题

1．设f(x)＝xlnx，若f′(x

0

)＝2，则x

0

的值为()

A．e2B．eC.

ln2

2

D．ln2

答案B

解析由f(x)＝xlnx得f′(x)＝lnx＋1.

精品文档

根据题意知lnx0

＋1＝2，所以lnx

0

＝1，因此x

0

＝e.

2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()

A．－1B．－2C．2D．0

答案B

解析f′(x)＝4ax3＋2bx，

∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.

3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()

A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0

答案A

解析切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0

，y

0

)，则k＝4x3

0

＝4，∴x

0

＝1，

∴切点为(1,1)，

即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.

4．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为()

A.

1

12

B.

1

6

C.

1

3

D.

1

2

答案B

解析求导得y′＝3x2，所以y′＝3x2|

x＝1

＝3，

所以曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，

结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，

三个交点的坐标分别是(

2

3

，0)，(1,0)，(1,1)，

于是三角形的面积为

1

2

×(1－

2

3

)×1＝

1

6

，故选B.

5．已知f

1

(x)＝sinx＋cosx，f

n＋1

(x)是f

n

(x)的导函数，即f

2

(x)＝f

1

′(x)，f

3

(x)＝f

2

′(x)，…，f

n

＋1

(x)＝f

n

′(x)，n∈N*，则f

2015

(x)等于()

A．－sinx－cosxB．sinx－cosx

C．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx

答案A

解析∵f

1

(x)＝sinx＋cosx，

∴f

2

(x)＝f

1

′(x)＝cosx－sinx，

精品文档

∴f

3

(x)＝f

2

′(x)＝－sinx－cosx，

∴f

4

(x)＝f

3

′(x)＝－cosx＋sinx，

∴f

5

(x)＝f

4

′(x)＝sinx＋cosx，

∴f

n

(x)是以4为周期的函数，

∴f

2015

(x)＝f

3

(x)＝－sinx－cosx，故选A.

二、填空题

6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________.

答案6

解析对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，

得f′(x)＝6x＋2f′(2)．

令x＝2，得f′(2)＝－12.

再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.

7．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝

f(x)在点P处的切线方程是__________．

答案x－y－2＝0

解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切

线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，

所以切线方程为x－y－2＝0.

8．若函数f(x)＝

1

2

x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

答案[2，＋∞)

解析∵f(x)＝

1

2

x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋

1

x

.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

x＋

1

x

－a＝0，∴a＝x＋

1

x

≥2.

三、解答题

9．求下列函数的导数．

(1)y＝xnlgx；

(2)y＝

1

x

＋

2

x2

＋

1

x3

；

精品文档

(3)y＝

sinx

xn

；

解(1)y′＝nxn－

1lgx＋xn·

1

xln10

＝xn－

1(nlgx＋

1

ln10

)．

(2)y′＝(

1

x

)′＋(

2

x2

)′＋(

1

x3

)′

＝(x－

1)′＋(2x－

2)′＋(x－

3)′

＝－x－

2－4x－

3－3x－

4

＝－

1

x2

－

4

x3

－

3

x4

.

(3)y′＝(

sinx

xn

)′＝

xnsinx′－xn′sinx

x2

n

＝

xncosx－nxn－

1sinx

x2

n

＝

xcosx－nsinx

xn＋

1

.

10．已知曲线y＝

1

3

x3＋

4

3

.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

解(1)∵P(2,4)在曲线y＝

1

3

x3＋

4

3

上，且y′＝x2，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|

x＝2

＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝

1

3

x3＋

4

3

与过点P(2,4)的切线相切于点A









x

0

，

1

3

x3

0

＋

4

3

，则切线的斜率为y′|x

＝x0

＝x2

0

.

∴切线方程为y－









1

3

x3

0

＋

4

3

＝x2

0

(x－x

0

)，

即y＝x2

0

·x－

2

3

x3

0

＋

4

3

.

∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x2

0

－

2

3

x3

0

＋

4

3

，

精品文档

即x3

0

－3x2

0

＋4＝0，∴x3

0

＋x2

0

－4x2

0

＋4＝0，

∴x2

0

(x

0

＋1)－4(x

0

＋1)(x

0

－1)＝0，

∴(x

0

＋1)(x

0

－2)2＝0，解得x0

＝－1或x

0

＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

B组专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

1．在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于

π

4

，且横、纵坐标都为整

数的点的个数是()

A．0B．1C．2D．3

答案A

解析依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1得3≤x2<

10

3

，

显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的

切线的倾斜角小于

π

4

，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.

2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的大致图象是()

答案A

解析∵f(x)＝x2＋bx＋c＝









x＋

b

2

2－

b2

4

＋c，

由f(x)的图象的顶点在第四象限得－

b

2

>0，∴b<0.

又f′(x)＝2x＋b，斜率为正，纵截距为负，故选A.

3．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的

倾斜角互补，则a的值为________．

答案

27

8

解析设切点坐标为(t，t3－at＋a)．

由题意知，f′(x)＝3x2－a，

切线的斜率为k＝y′|x＝t

＝3t2－a，①

精品文档

所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②

将点(1,0)代入②式得，－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，

解之得，t＝0或t＝

3

2

.

分别将t＝0和t＝

3

2

代入①式，得k＝－a和k＝

27

4

－a，

由题意得它们互为相反数得a＝

27

8

.

4．设函数f(x)＝ax－

b

x

，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并

求此定值．

解(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝

7

4

x－3.

当x＝2时，y＝

1

2

.又f′(x)＝a＋

b

x2

，

于是





2a－

b

2

＝

1

2

，

a＋

b

4

＝

7

4

，

解得









a＝1，

b＝3.

故f(x)＝x－

3

x

.

(2)设P(x

0

，y

0

)为曲线上任一点，由y′＝1＋

3

x2

知曲线在点P(x0

，y

0

)处的切线方程为y－

y

0

＝









1＋

3

x2

0

(x－x

0

)，

即y－









x

0

－

3

x

0

＝









1＋

3

x2

0

(x－x

0

)．

令x＝0，得y＝－

6

x

0

，

从而得切线与直线x＝0的交点坐标为









0，－

6

x

0

.

令y＝x，得y＝x＝2x0

，

从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,

2x

0

)．

所以点P(x0

，y

0

)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝

1

2







－

6

x

0

|2x

0

|

＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定

精品文档

值为6.

5．设有抛物线C：y＝－x2＋

9

2

x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

解(1)设点P的坐标为(x

1

，y

1

)，则y

1

＝kx

1

，①

y

1

＝－x2

1

＋

9

2

x

1

－4，②

①代入②得x2

1

＋(k－

9

2

)x

1

＋4＝0.

∵P为切点，∴Δ＝(k－

9

2

)2－16＝0得k＝

17

2

或k＝

1

2

.

当k＝

17

2

时，x1

＝－2，y

1

＝－17.

当k＝

1

2

时，x1

＝2，y

1

＝1.

∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝

1

2

.

(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③

将③代入抛物线方程得x2－

13

2

x＋9＝0.

设Q点的坐标为(x2

，y

2

)，即2x

2

＝9，

∴x

2

＝

9

2

，y2

＝－4.

∴Q点的坐标为(

9

2

，－4)．